P5535 【XR-3】小道消息（伯特兰-切比雪夫定理）

题意：

有 n 个人，其中第 i 个人的衣服上有一个数 i+1。小 X 发现了一个规律：当一个衣服上的数为 i 的人在某一天知道了一条信息，他会在第二天把这条信息告诉衣服上的数为 j 的人，其中 gcd(i,j)=1（即 i,j的最大公约数为 1）。在第 0 天，小 X 把一条小道消息告诉了第 k 个人，小 X 想知道第几天时所有人都会知道这条小道消息。

可以证明，一定存在所有人都知道了这条小道消息的那一天。

提示：你可能需要用到的定理——伯特兰-切比雪夫定理。

数据范围：2<=n<=1e14，1<=k<=n

解法：

伯特兰-切比雪夫定理:
若整数n>3,则至少存在一个质数p,符合n<p<2n−2.
另一个稍弱说法:
对于所有大于1的整数n,至少存在一个质数p,符合n<p<2n.回到本题:
题目中第k个人的数字是k+1,为了方便书写,下面的k和n表示号码为k和n:
1.k是质数:
(1):k*2>n,那么k与所有数互质,第一天就结束.
(2):k*2<=n,那么第一天之后只剩下k的倍数未被标记,
因为k的范围是[2,n],因此n>=4,n/2>1,那么n/2满足伯特兰-切比雪夫定理,
根据定理,一定存在一个质数p,n/2<p<n,那么又变成情况(1)了,两天结束.2.k是合数:
因为k是合数,那么一开始不与所有数互质,第一天肯定不能结束,
因为k的范围是[2,n],k是合数则k>=4,那么n>=4,n/2>1,那么n/2满足伯特兰-切比雪夫定理,
根据定理,一定存在一个质数p,n/2<p<n,那么又变成质数的情况(1)了,两天结束.综上:
k是质数且k*2>n,那么一天结束,
其他情况两天结束.

code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxm=5e3+5;
bool isprime(int x){for(int i=2;i*i<=x;i++){if(x%i==0)return 0;}return 1;
}
signed main(){ios::sync_with_stdio(0);int n,k;cin>>n>>k;n++,k++;//别忘了+1if(isprime(k)&&k*2>n){cout<<1<<endl;}else{cout<<2<<endl;}return 0;
}

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