CodeForces - 1453D Checkpoints(概率+构造)

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题目大意：需要设计一个游戏关卡，由 01 字符串组成，1 表示存档点，0 表示普通关卡，规定每一步可以从第 i 个关卡前进到第 i + 1 个关卡，不过有 1/2 的概率会成功，剩下 1/2 的概率会失败，失败的话会返回最近的存档点重新开始，现在问如何设计关卡，可以使得到达终点的期望为 k

题目分析：首先不难看出，每经过一个存档点后，前面的关卡都已经对后续的期望没有影响了，换句话说相邻的两个存档点组成的一段关卡是互相独立的

所以我们只需要分析诸如 11 , 101 , 1001 , ... 也就是相邻两个存档点之间 0 的个数与期望的关系即可

首先不难看出，如果是 11 的话，那么第一步如果失败，那么第二步按理来说会成功，所以期望是 2

101 的话，自己手玩一下不难看出期望是 6，根据手玩的过程也不难看出期望的递推式是 f[ i ] = ( f[ i - 1 ] + 1 ) * 2

打个表去 OIES 找一下规律，可以发现公式就是 $f[n]=2^n-2$

结合上文中提到的，相邻两个存档点组成的一段关卡是相互独立的，就可以对题目中给出的 k 进行二进制拆分了，每次用 2^1 和 2^x 去构造，操作复杂度大概是 n * ( n - 1 ) / 2 ，n 是 60，最后结果远小于 2000

又因为此处最小只能构造出 2^1 = 2，无法构造出 2^0 = 1，所以奇数一律无解

代码：

//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
//#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=1e6+100;int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.ans.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);int w;cin>>w;while(w--){LL n;scanf("%lld",&n);if(n&1){puts("-1");continue;}vector<int>ans;for(int i=1;i<=60;i++)if((n>>i)&1){ans.push_back(1);//2if(i>1)//2^n-2{for(int j=1;j<i-1;j++)ans.push_back(0);ans.push_back(1);}}printf("%d\n",ans.size());for(auto it:ans)printf("%d ",it);puts("");}return 0;
}

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