求一个图,每一个点的度数都为K并且必须至少要有一个桥.

构造题:

仅仅有k为奇数的时候有解, 构造这种一个图,左边一团有 k+1 个点 , 右边一团也有 k+1 个点, 中间经过 m1 , m2 连着一个桥.

假设左右两团是全然图,则每一个点的度数都为k, 如今考虑怎样通过m1,m2连接起来而又不改变度数.

显然这个图是对称的,仅仅考虑左边和点m1,m1和m2是一个桥,要连一条边,m1 和左边的团某个点A要连在一起,又要连一条边,这时A点的度数多了,要和团里的其它点B断掉一条边,为了保持B的度数不变,B再连一条边到m1,这时m1的度就至少为3了,然后将m1的度补全. 每次从左边团中删掉一条边,然后将这条边的两个点连到m1上就能够了.m1的度每次添加2,所以假设k为奇数的话都能够用这个方案构造出来.

1

YES
2 1
1 2

import java.util.*;
import java.math.*;public class Main
{int k,midl,midr;boolean[][] edge = new boolean[330][330];boolean[] used = new boolean[330];void cut_and_link(int from,int to,int goal){int tk=k-3;while(tk>0){boolean flag=false;for(int i=from;i<to&&flag==false;i++){if(used[i]==true) continue;for(int j=i+1;j<to;j++){if(i==2*k+4||i==4+k||i==1+k||i==1) continue;if(j==2*k+4||j==4+k||j==1+k||j==1) continue;if(used[j]==true) continue;if(edge[i][j]==true){used[i]=used[j]=true;//cutedge[i][j]=edge[j][i]=false;//linkedge[i][goal]=edge[goal][i]=true;edge[j][goal]=edge[goal][j]=true;// flagflag=true;break;}}}tk-=2;}}void build_tuan(int from ,int to){for(int i=from;i<=to;i++){for(int j=i+1;j<=to;j++){edge[i][j]=edge[j][i]=true;}}}void sovle(int k){midl=k+2; midr=k+3;build_tuan(1,k+1);edge[1][midl]=edge[midl][1]=true;edge[1][k+1]=edge[k+1][1]=false;edge[k+1][midl]=edge[midl][k+1]=true; cut_and_link(2,k+1,midl);edge[midl][midr]=edge[midr][midl]=true;build_tuan(k+4,2*k+4);edge[2*k+4][midr]=edge[midr][2*k+4]=true;edge[k+4][2*k+4]=edge[2*k+4][k+4]=false;edge[k+4][midr]=edge[midr][k+4]=true;cut_and_link(k+4,2*k+4,midr);}Main(){Scanner in = new Scanner(System.in);k=in.nextInt();if(k%2==0){System.out.println("No");return ;}System.out.println("Yes");if(k==1){System.out.println("2 1\n1 2");}else{sovle(k);int num=2*k+4,cnt=0;for(int i=1;i<=num;i++)for(int j=i+1;j<=num;j++)if(edge[i][j]) cnt++;System.out.printf("%d %d\n",num,cnt);for(int i=1;i<=num;i++){for(int j=i+1;j<=num;j++){if(edge[i][j]){System.out.printf("%d %d\n",i,j);}}}}}public static void main(String[] args){new Main();}
}