CodeForces - 468C Hack it!(构造+数位dp)

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题目大意：求出一段区间 [l,r][l,r][l,r] 的数位和对 aaa 取模后为 000。更具体的，设 f(x)f(x)f(x) 为 xxx 的数位和，本题需要求出一对 [l,r][l,r][l,r] ，满足 ∑i=lrf(i)≡0(moda)\sum\limits_{i=l}^{r}f(i)\equiv0\pmod ai=l∑rf(i)≡0(moda)

题目分析：假设一个上界为 inf=10kinf=10^{k}inf=10k，则一个数为 xxx 且 x<infx<infx<inf 时显然满足 f(x+inf)=f(x)+1f(x+inf)=f(x)+1f(x+inf)=f(x)+1

令 solve(l,r)=∑i=lrf(i)(moda)solve(l,r)=\sum\limits_{i=l}^{r}f(i)\pmod asolve(l,r)=i=l∑rf(i)(moda)，那么 solve(1,inf)=psolve(1,inf)=psolve(1,inf)=p

此时如果左右区间同时加一，得到 solve(2,inf+1)=solve(1,inf)−f(1)+f(1+inf)=p+1solve(2,inf+1)=solve(1,inf)-f(1)+f(1+inf)=p+1solve(2,inf+1)=solve(1,inf)−f(1)+f(1+inf)=p+1

如此递推下去不难看出 solve(1+k,inf+k)≡p+ksolve(1+k,inf+k)\equiv p+ksolve(1+k,inf+k)≡p+k

所以令 k=a−solve(1,inf)k=a-solve(1,inf)k=a−solve(1,inf) 就构造出一组答案为 [1+k,inf+k][1+k,inf+k][1+k,inf+k] 了

因为 aaa 的上限只有 1e181e181e18，所以取 inf=1e18inf=1e18inf=1e18 就可以了，当然更大的十的幂次也是可以的

最后 solve(1,1e18)solve(1,1e18)solve(1,1e18) 可以直接用数位 dp 求解

代码：

// Problem: Hack it!
// Contest: Virtual Judge - CodeForces
// URL: https://vjudge.net/problem/CodeForces-468C
// Memory Limit: 262 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
const LL M=1e18;
LL mod;
LL dp[70][200][2];
int b[70],cnt;
LL dfs(int pos,int sum,bool limit) {if(pos==-1) return sum;if(dp[pos][sum][limit]!=-1) return dp[pos][sum][limit];int up=limit?b[pos]:9;LL ans=0;for(int i=0;i<=up;i++) ans=(ans+dfs(pos-1,sum+i,limit&&i==up))%mod;return dp[pos][sum][limit]=ans;
}
LL solve(LL x) {memset(dp,-1,sizeof(dp));cnt=0;while(x) {b[cnt++]=x%10;x/=10;}return dfs(cnt-1,0,1);
}
int main()
{#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);read(mod);LL k=mod-solve(M);printf("%lld %lld\n",1+k,M+k);return 0;
}

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