说明与环境配置

生成一个线段的方法主要有三种:

直线方程法
数字差分分析DDA算法
中点算法, (Bresenham 算法)
我所采用的实现方式:
OPENGL1.1库 + VS2019

环境配置

https://blog.csdn.net/BoyInC0de/article/details/90079870

扫描转换直线段

方法一: 直线方程法

该方法根据直线的几何方程来群定线段路径上的像素位置

方程: y=mx+by=mx + by=mx+b
通俗来讲, 只要确定m\ m m和b\ b b, 就可以通过不断将xi\ x_i xi代入方程计算像素(xi,yi)\ (x_i, y_i) (xi,yi)的值

那么对于区间[x0,x1]\ [x_0,x_1] [x0,x1]只要将其离散化到k0,k1....kn\ k_0,k_1....k_n k0,k1....kn,
其中 ki+1=ki+1,k0=x0,kn=x1\ k_{i+1} = k_i+1, k_0=x_0, k_n=x_1 ki+1=ki+1,k0=x0,kn=x1
我们就可以通过yi=mxi+b\ y_i=mx_i+b yi=mxi+b计算纵坐标
然后通过取整得到y\ y y坐标
取整:
{(ki,yi)}i=0n→{(ki,yi,r)}i=0n\left\{ (k_i,y_i) \right\}_{i=0}^n \to \left\{ (k_i,y_{i,r}) \right\}_{i=0}^n {(ki,yi)}i=0n→{(ki,yi,r)}i=0n
yi,r=round(yi)=(int)(yi+0.5)\ y_{i,r} = round(y_i)=(int) (y_i + 0.5) yi,r=round(yi)=(int)(yi+0.5)
和后两种算法相比, 该算法具有很明显的弊端.
运算特点: 乘法+加法+取整浮点运算

代码描述: 算法比较简单, 暂无代码.

方法二: 数字差分分析DDA算法

方法:
yi+1=mxi+1+b=m(xi+1)+b=mxi+b+m=yi+m\begin{aligned} y_{i+1} & = mx_{i+1}+b \\ & = m(x_i+1) + b \\ & = mx_i + b + m \\ & = y_i + m \\ \end{aligned} yi+1=mxi+1+b=m(xi+1)+b=mxi+b+m=yi+m

运算特点: 加法+取整浮点运算

代码描述:

void CALLBACK draw(){     //都是全局变量glColor3f(rc, gc, bc);m = (float)dy / dx;y = y_0;for (x = x0; x <= x1; x++) {glBegin(GL_POINTS);glVertex2i(x,(int)(y+0.5));glEnd();y += m;}glFinish();
}

方法三: 中点算法

方法:
直线的隐式方程: F(x,y)=Ax+By+C=0F(x,y)=Ax+By+C=0F(x,y)=Ax+By+C=0
该式中:
A=y0−y1=−ΔyB=x1−x0=ΔxC=x0∗y1−x1∗y0\begin{aligned} A &= y_0 - y_1 = -\Delta y \\ B &= x_1 - x_0 = \Delta x \\ C &= x_0 * y_1 - x_1*y_0 \\ \end{aligned} ABC=y0−y1=−Δy=x1−x0=Δx=x0∗y1−x1∗y0
直线具有正负划分性,
直线上方的点: F(x,y)>0\ F(x,y) \gt 0 F(x,y)>0
直线下方的点: F(x,y)<0\ F(x,y) \lt 0 F(x,y)<0
直线上的点: F(x,y)=0\ F(x,y) = 0 F(x,y)=0

有了正负划分性, 我们可以想象像素点组成了一条蛇, 它沿着直线, 在直线两侧游走.
一会大于0, 一会小于0.

那么这条蛇的出发点就是(x0,y0)\ (x_0,y_0) (x0,y0), 那么它的下一个点应该是什么呢?
也就是说根据(xi,yi,r)\ (x_i,y_{i,r}) (xi,yi,r) 如何确定他的下一个像素点(xi+1,yi+1,r)\ (x_{i+1},y_{i+1,r}) (xi+1,yi+1,r), (y_{i,r}是取整后的坐标)

这里我们根据所取点间的中点M与直线的位置构造一个函数判别式:
d=F(M)=F(xi+1,yi,r+0.5)d=F(M)=F(x_i+1,y_{i,r}+0.5) d=F(M)=F(xi+1,yi,r+0.5)
这个函数的意义是 M点位于直线的上方还是下方, 也就是说, 算完(xi,yi,r)\ (x_i,y_{i,r}) (xi,yi,r)以后, xi\ x_i xi加上1也就是点E\ E E
再点E再向上加0.5个点位, 就是点M\ M M, 而我们只要将M\ M M坐标代入直线方程,
就可以根据正负来判断它是在直线上面还是下面

如果d≥0\ d\geq0 d≥0, 中点M在线段上方, 取点E
如果d<0\ d\lt0 d<0, 中点M在线段下方, 取点NE

接下来取包括初始点在内的连续三个点, 做一个计算, 参考图:

初始点: (x0,y0)\ (x_0,y_0) (x0,y0) , 中点: M(x0+1,y0+0.5)\ M(x_0+1,y_0+0.5) M(x0+1,y0+0.5) 代入F(x,y)\ F(x,y) F(x,y)
设d=F(x0+1,y0+0.5)=A(x0+1)+B(y0+0.5)+C=(y0−y1)(x0+1)+(x1−x0)(y0+0.5)+x0y1−x1y0=y0−y1+0.5(x1−x0)=A+0.5B\begin{aligned} 设d=F(x_0+1,y_0+0.5) &= A(x_0+1) + B(y_0 + 0.5) + C \\ &= (y_0-y_1)(x_0+1)+(x_1-x_0)(y_0+0.5)+x_0y_1-x_1y_0 \\ &= y_0-y_1+0.5(x_1-x_0) \\ &= A+0.5B \end{aligned} 设d=F(x0+1,y0+0.5)=A(x0+1)+B(y0+0.5)+C=(y0−y1)(x0+1)+(x1−x0)(y0+0.5)+x0y1−x1y0=y0−y1+0.5(x1−x0)=A+0.5B
接下来判定再下一个像素, (xi+2,yi+1,r)\ (x_{i}+2, y_{i+1,r}) (xi+2,yi+1,r)
第一种情况上一点的:d≥0\ d\geq0 d≥0:
初始点: (x0,y0)\ (x_0,y_0) (x0,y0) , 第一个点: M(x0+1,y0)\ M(x_0+1,y_0) M(x0+1,y0), 那么第二个点(x0+2,y0+0.5)\ (x_0+2,y_0+0.5) (x0+2,y0+0.5) 代入F(x,y)
F(x0+2,y0+0.5)=A(x0+2)+B(y0+0.5)+C=(y0−y1)(x0+2)+(x1−x0)(y0+0.5)+x0y1−x1y0=(y0−y1)+0.5(x1−x0)+(y0−y1)=A+0.5B+A=d+A\begin{aligned} F(x_0+2,y_0+0.5) &= A(x_0+2) + B(y_0 + 0.5) + C \\ &= (y_0-y_1)(x_0+2)+(x_1-x_0)(y_0+0.5)+x_0y_1-x_1y_0 \\ &=(y_0-y_1)+0.5(x_1-x_0) + (y_0 - y_1) \\ &= A+0.5B+A \\ &=d + A \end{aligned} F(x0+2,y0+0.5)=A(x0+2)+B(y0+0.5)+C=(y0−y1)(x0+2)+(x1−x0)(y0+0.5)+x0y1−x1y0=(y0−y1)+0.5(x1−x0)+(y0−y1)=A+0.5B+A=d+A
第二种情况上一点的:d<0\ d\lt0 d<0:
初始点: (x0,y0)\ (x_0,y_0) (x0,y0) , 第一个点: M(x0+1,y0+0.5)\ M(x_0+1,y_0+0.5) M(x0+1,y0+0.5), 那么第二个点(x0+2,y0+1.5)\ (x_0+2,y_0+1.5) (x0+2,y0+1.5) 代入F(x,y)
F(x0+2,y0+1.5)=A(x0+2)+B(y0+1.5)+C=(y0−y1)(x0+2)+(x1−x0)(y0+1.5)+x0y1−x1y0=y0−y1+0.5(x1−x0)+(y0−y1)+(x1−x0)=A+0.5B+A+B=d+A+B\begin{aligned} F(x_0+2,y_0+1.5) &= A(x_0+2) + B(y_0 + 1.5) + C \\ &= (y_0-y_1)(x_0+2)+(x_1-x_0)(y_0+1.5)+x_0y_1-x_1y_0 \\ &= y_0-y_1+0.5(x_1-x_0)+(y_0-y_1)+(x_1-x_0) \\ &= A+0.5B+A+B \\ &=d+A+B \end{aligned} F(x0+2,y0+1.5)=A(x0+2)+B(y0+1.5)+C=(y0−y1)(x0+2)+(x1−x0)(y0+1.5)+x0y1−x1y0=y0−y1+0.5(x1−x0)+(y0−y1)+(x1−x0)=A+0.5B+A+B=d+A+B
观察第一种情况: d\ d d 的增量是A\ A A ( 即−Δy-\Delta y−Δy )
观察第二种情况: d\ d d 的增量是A+B\ A+B A+B ( 即 −(Δy−Δx)-(\Delta y-\Delta x )−(Δy−Δx) )
那么采用归纳法:
d0=A+0.5Bdi+1={di+A,di>0di+A+B,di≤0\begin{aligned} d_0 &= A+0.5B \\ d_{i+1} &= \begin{cases} d_i + A, & \text{$d_i\gt 0$} \\ d_i + A+B, & \text{$d_i\leq 0$} \end{cases} \end{aligned} d0di+1=A+0.5B={di+A,di+A+B,di>0di≤0
接下来做一个优化: 用2d来代替d
增量都是整数, 只有初始值包含小数, 可以用2d代替d, 2a改写成a + a
这样一来, 算法中只有整数变量, 不含乘除法, 可用硬件实现.

但是, 这只是斜率 0≤m≤10\leq m\leq 10≤m≤1的情况
按照上面的归纳法, 通过计算, 便可以得到以下方程:

0≤m≤10\leq m\leq 10≤m≤1:
d0=2A+Bdi+1={di+2A,di>0di+2A+2B,di≤0di<0时,y增1\begin{aligned} d_0 &= 2A+B \\ d_{i+1} &= \begin{cases} d_i + 2A, & \text{$d_i\gt 0$} \\ d_i + 2A+2B, & \text{$d_i\leq 0$} \end{cases} \\ d_i&\lt 0时, y增1 \end{aligned} d0di+1di=2A+B={di+2A,di+2A+2B,di>0di≤0<0时,y增1

m>1m\gt 1m>1:
d0=A+2Bdi+1={di+2A+2B,di>0di+2B,di≤0di>0时,x增1\begin{aligned} d_0 &= A+2B \\ d_{i+1} &= \begin{cases} d_i + 2A +2B, & \text{$d_i\gt 0$} \\ d_i +2B, & \text{$d_i\leq 0$} \end{cases} \\ d_i&\gt 0时, x增1 \end{aligned} d0di+1di=A+2B={di+2A+2B,di+2B,di>0di≤0>0时,x增1

−1≤m≤0-1\leq m\leq 0−1≤m≤0:
d0=2A−Bdi+1={di+2A−2B,di>0di+2A,di≤0di>0时,y减1\begin{aligned} d_0 &= 2A-B \\ d_{i+1} &= \begin{cases} d_i + 2A-2B, & \text{$d_i\gt 0$} \\ d_i + 2A, & \text{$d_i\leq 0$} \end{cases} \\ d_i&\gt 0时, y减1 \end{aligned} d0di+1di=2A−B={di+2A−2B,di+2A,di>0di≤0>0时,y减1

m<−1m\lt -1m<−1:
d0=A−2Bdi+1={di−2B,di>0di+2A−2B,di≤0di<0时,x增1\begin{aligned} d_0 &= A-2B \\ d_{i+1} &= \begin{cases} d_i - 2B, & \text{$d_i\gt 0$} \\ d_i + 2A - 2B, & \text{$d_i\leq 0$} \end{cases} \\ d_i&\lt 0时, x增1 \end{aligned} d0di+1di=A−2B={di−2B,di+2A−2B,di>0di≤0<0时,x增1

代码描述:

#include <windows.h>
#include <GL.H>
#include <GLAUX.H>
#include <GLU.H>
#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
//添加这3条语句
#pragma comment (lib, "opengl32.lib")
#pragma comment (lib, "glu32.lib")
#pragma comment (lib, "glaux.lib")
//#pragma comment( linker, "/subsystem:\"windows\" /entry:\"mainCRTStartup\"" ) //这句是不让控制台窗体出现，如果想要出现，去掉即可。
inline void init() //初始化
{glClearColor(0.0, 0.0, 0.0, 1.0);//黑色背景
}
//绘制图形函数
float r = 1, g = 0, b = 0;
float x = 30.0f, y = 30.0f;
float R1, R2;
float pi = 3.1415926f;
int i;
int x0; int y_0; int x1; int y_1; float rc; float gc; float bc;void CALLBACK draw()
{float dx = x1 - x0, dy = y_1 - y_0;float m = 0;if (dx != 0) m = dy / dx;else return;if (x0 > x1){int t = x1; x1 = x0; x0 = t;t = y_1; y_1 = y_0; y_0 = t;}int d = 0;int d1 = d, d2 = d;int a = y_0 - y_1, b = x1 - x0, c = x0 * y_1 - x1 * y_0;glColor3f(rc, gc, bc);d = a + a + b;d1 = a + a;d2 = (a + b) + (a + b);int x = x0;int y = y_0;for (int i = x0; i < x1; i++){if (d < 0){y++;d += d2;}else d += d1;x++;glBegin(GL_POINTS);glVertex2i(x, y);glEnd();}glFinish();
}void set(int x0, int y_0, int x1, int y_1, float rc, float gc, float bc) {::x0 = x0;  ::x1 = x1; ::y_0 = y_0;   ::y_1 = y_1;   ::rc = rc; ::gc = gc; ::bc = bc;
}void CALLBACK change(){set(100, 500, 350, 550, 0.0f, 1.0f, 0.0f);  draw();
}void main()
{auxInitDisplayMode(AUX_SINGLE | AUX_RGBA);auxInitPosition(100, 0, 1000, 1000);auxInitWindow("CGOpenGL");init();auxIdleFunc(change);auxMainLoop( draw );
}

所有代码下载与效果展示:

该代码采用包含直线段绘制的两种算法:
**中点算法, 和 DDA算法. **
分别采用两种算法描绘出4种不同斜率的直线, 外加一条单独处理的垂直x轴的直线. 有明确的注释.
虽然OpenGL1.1库文件较老, 但不论是对于教学还是实践, 对理解直线段算法都具有重要意义.

下载地址: https://download.csdn.net/download/boyinc0de/11206604

效果展示:

其中左侧图形为: 中点算法绘制
中间竖线为: 特殊处理
右侧图形为: DDA算法绘制

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