【计算机图形学】中点画线法实现任意斜率直线的绘制

一、中点画线法原理简介

1.建立基础

中点画线法的建立基础是数值微分画线法（DDA），其作为改进算法，沿用了DDA算法的增量思想，针对影响DDA算法效率的两点：（1）采用了浮点加法（2）浮点数在显示输出时需要取整；进行了改进，即中点画线法直接采用了整数的加法、比较。

2.具体分析

这里具体分析直线斜率 k ∈[0,1] 的情况，其他情况可以类推。
对于起始点(x0,y0)、结束点(x1,y1)，有A=y0-y1、B=x1-x0、C=(x1-x0)(x0-x1)、k=(y1-y0)/(x1-x0)
设函数F(x,y) = Ax+By+C，则F(x,y)将平面分为三部分：
1）F(x,y) = 0，点在直线上
2）F(x,y) > 0，点在直线的上方
3）F(x,y) < 0，点在直线的下方
在画线过程中，对于每个当前像素点(xi,yi)，每次在最大位移方向，即x方向上前进一步，在y方向上是否前进取决于前一格中点和直线的位置关系。

如上图所示，可判断中点Mid和直线的位置关系，来确定下一点的选取，令d为判别式：
1）d=F(xi+1,yi+0.5) = 0，Mid在直线上，可选取Pu/Pd，这里我们统一规定选取Pd
2）d=F(xi+1,yi+0.5) > 0，Mid在直线的上方，直线离Pd较近，选取Pd，则下一点y方向上不变
3）d=F(xi+1,yi+0.5) < 0，Mid在直线的下方，直线离Pu较近，选取Pu，则下一点y方向上前进
利用增量思想，每下一步的d的判别可以基于本步d的正负情况，分本步d<0和d>=0两种情况讨论。
1）d < 0: 本步选取Pu(xi+1,yi+1)，则下一步中点(xi+2,yi+1.5):
dnew=F(xi+2,yi+1.5)
dnew=A(xi+2)+B(yi+1.5)+C
dnew=[A(xi+1)+B(yi+0.5)+C]+A+B
dnew=d+A+B
2）d >= 0: 本步选取Pd(xi+1,yi)，则下一步中点(xi+2,yi+0.5):
dnew=F(xi+2,yi+0.5)
dnew=A(xi+2)+B(yi+0.5)+C
dnew=[A(xi+1)+B(yi+0.5)+C]+A
dnew=d+A
在画线过程中每一点的情况都分析完了，也易得结束画线的条件。接下来只要确定初始值就能顺利地画线了。对于起始点(x0,y0)，下一步中点为(x0+1,y0+0.5)：
d0=F(x0+1,y0+0.5)
d0=A(x0+1)+B(y0+0.5)+C
d0=[Ax0+By0+C]+A+0.5B
d0=A+0.5B
可以发现d0的计算中涉及到了浮点数0.5，为了改进我们可以用2d0代替d0，因为后续计算中只考虑d的正负，则扩大两倍不会对结果有所影响。此时的新d0为：
d0=2F(x0+1,y0+0.5)
d0=2A(x0+1)+2B(y0+0.5)+2C
d0=2[Ax0+By0+C]+2A+B
d0=2A+B

对于k值的其他情况也可以照此分析，注意在k>1和k<-1时，每一步的最大位移方向是y方向，即每次在y方向上前进一步，在x方向上需要判断中点和直线关系。

3.分析总结

k∈[0,1]	k ∈(1,+∞)	k∈[-1,0)	k∈(-∞,-1)
d0=2A+B	d0=A+2B	d0=2A-B	d0=A-2B
d<0：d+=2(A+B)；x+=1;y+=1;	d<0：d+=2B；y+=1;	d<0：d+=2A；x+=1;	d<0：d+=2(A-B)；y-=1;x+=1;
d>=0：d+=2A；x+=1;	d>=0：d+=2(A+B)；y+=1;x+=1	d>=0：d+=2(A-B)；x+=1;y-=1;	d>=0：d-=2B；y-=1;

二、代码实现

/*
程序：中点画线法画任意斜率直线
编译环境：Visual C++ 6.0 EasyX_20200109(beta)
作者ID：weixin_43536824
邮箱：changye303@163.com
*/
#include <easyx.h>
#include <graphics.h>
#include <conio.h>
#include <stdio.h>

//初始参数double A = y0-y1;double B = x1-x0;double k = -1*A/B;int x,y,d,t;

//要求x1>=x0，若x1<x0则互换两点if(x1<x0){t=x1;x1=x0;x0=t;t=y1;y1=y0;y0=t;}

//分四种情况,x,y,d均为整型
//情况1：if(k >= 0 && k <= 1){d = (int)(2*A+B);x = x0;y = y0;moverel(x,y);while(x != x1){if(d <= 0){x++;y++;d+=(int)(2*(A+B));lineto(x,y);}else{x++;d+=(int)(2*A);lineto(x,y);}}}

//情况2：
if(k>1){d = (int)(A+2*B);x = x0;y = y0;moverel(x,y);  while(y != y1){if(d < 0){y+=1;d+=(int)(2*B);lineto(x,y);}else{y+=1;x+=1;d+=(int)(2*(A+B));lineto(x,y);}}
}

 //情况3：if(k >= -1 && k < 0){d = (int)(2*A-B);x = x0;y = y0;moverel(x,y);while(x != x1){if(d < 0){x+=1;d+=(int)(2*A);lineto(x,y);}else{x+=1;y-=1;d+=(int)(2*(A-B));lineto(x,y);}    }}

//情况4：if(k < -1){d = (int)(A-2*B);x = x0;y = y0;moverel(x,y);while(y != y1){if(d < 0){y-=1;x+=1;d+=(int)(2*(A-B));lineto(x,y);}else{y-=1;d-=(int)(2*B);lineto(x,y);}}}

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