使用蒙特卡罗模拟期权定价

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期权是一种合约，它赋予买方在未来某个时间点以特定价格买卖资产的权利。这些被称为衍生品的合约的交易有多种原因，但一种常见的用法是来对冲当资产价格以不利方式变动，所产生的风险敞口。

期权，即买入或卖出的权利，也是有价格的。 Black Scholes 模型描述了一种确定期权公平价格的方法，但还有许多其他方法可以确定价格。

期权，及其价值

欧式期权只有在未来达到预定日期（称为到期日）后才能使用（或行使），可以用字母 T 表示。

看涨期权赋予期权持有人以已知价格购买的权利。如果资产的到期价格（用 ST 表示）高于执行价格 K ，则看涨期权会赚钱，否则就一文不值。

CT=max(0,ST−K)

同样，看跌期权是出售资产的权利。当资产在到期日价格ST低于执行价格K时，看跌期权会赚钱，否则就一文不值。

PT=max(0,K−ST)

以下是到期时看跌期权和看涨期权的收益图。我们的资产价格是 x 轴，收益是 y 轴。

风险中性估值

为了使用蒙特卡罗模拟为期权定价，我们使用风险中性估值，其中衍生品的公允价值是其未来收益的预期价值。

因此，在到期前的任何日期，用 t 表示，期权的价值是其到期收益预期的现值 T 。

Ct=PV(E[max(0,ST−K)])

Pt=PV(E[max(0,K−ST)])

在风险中性估值下，我们假设标的资产将平均获得无风险利率。因此，要计算任何时间 t 的期权收益，我们要按该利率对收益进行贴现。现在我们有一种计算现值 PV 的方法。

$\begin{equation*} C_t = e^{-r(T-t)} E[max(0, S_T- K)] \end{equation*}$

上面的公式中，除了St ，所有这些变量都是已知的，因此St是我们的模拟将提供的。

为了给期权定价，我们将创建一个模拟，为资产 St 最终价格提供许多观察结果。通过平均所有的回报，我们得到了对回报的期望值。

模拟资产价格

Black Scholes 模型中使用的股票价格行为模型假设我们有一个已知的波动性，我们有一个无风险利率，并且资产的价格遵循几何布朗运动。

几何布朗运动是一个随机过程，其中随机变量的对数服从正态分布。这种类型的过程通过对数正态分布来分配价格。

所以现在我们有一个计算时间 T 时刻资产价格的方法：

$\begin{equation*} S_T = S_t e^{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)+\sigma\sqrt{T-t} \epsilon} \end{equation*}$

为此，我们需要知道：

r 是我们要贴现的无风险利率。 σ 是波动率，即股票回报的年化标准差。 (T-t) 给了我们年化的到期时间。例如，对于 30 天选项，这将是 30/365=0.082... S 是在时间 t 标的资产的价格。 ϵ 是我们的随机值。它的分布必须是标准正态（均值为 0.0，标准差为 1.0）

期权定价

为了在模拟过程中为期权定价，我们生成资产可能在到期时的许多价格，计算每个生成价格的期权收益，将它们平均，然后对最终价值进行贴现。

在创建完整模拟之前，我们将通过一个包含10次运行的小示例。假设我们有一个具有以下价值的资产：S = 100.00 美元和 σ = 20%，我们想为半年到期的看涨期权定价，执行价为 110.00 美元，我们的无风险利率是 1%。

随机变量	资产价格	收益	贴现收益
1.3620	120.64	10.64	10.58
-0.7784	89.13	0.00	0.00
-0.9408	87.11	0.00	0.00
0.2227	102.69	0.00	0.00
-0.0364	98.99	0.00	0.00
-1.4303	81.28	0.00	0.00
-0.8306	88.47	0.00	0.00
1.5155	123.28	13.28	13.21
-1.5679	79.71	0.00	0.00
-1.6718	78.55	0.00	0.00

将折扣收益值平均，得出我们的看涨期权价格为 2.38 美元。我们执行的模拟越多，价格就越准确。

现在我们可以看到模拟如何生成价格，让我们构建一个可以为期权定价的小型 Python 脚本，看看它是否与真实情况相符。让我们看一下实际的例子。

为真实期权定价

在下图中，我们有一个谷歌看涨期权的报价，行使价为 860.00 美元，将于 2013 年 9 月 21 日到期。我们还可以看到它的最后交易价格是14.50 美元。这个例子给了我们尝试定价时，期权的一个目标价格。

此处未指定的是波动性、无风险利率、当前的股票价格。波动率是一个相当复杂的话题，因此就本文而言，我们将假设我们知道该特定期权的波动率为 20.76%。而股票当前价格可以通过查看各种来源找到，为857.29 美元。

对于无风险利率，我们可以使用与我们选择的到期时间相同的美国 LIBOR 利率；我们的期权在大约三周后到期，由于没有三周利率，我们将使用两周利率来近似，即 0.14%。

接下来是Python代码的实现，首先我们将写下我们将如何生成资产价格。

def generate_asset_price(S,v,r,T):return S * exp((r - 0.5 * v**2) * T + v * sqrt(T) * gauss(0,1.0))

我们知道所有的输入值，所以我们可以像这样设定它们：

S = 857.29 # underlying price
v = 0.2076 # vol of 20.76%
r = 0.0014 # rate of 0.14%
T = (datetime.date(2013,9,21) - datetime.date(2013,9,3)).days / 365.0print generate_asset_price(S,v,r,T)
>>> 862.1783726682384

现在我们需要能够计算这个生成价格的回报。回想一下之前我们说过看涨期权在到期时价值是 ST-K 或 0，我们将其表示为一个函数，并应用于我们生成的资产价格。

def call_payoff(S_T, K):return max(S_T - K, 0.0)print call_payoff(862.18, 860)
>>> 2.1799999999

完整的模拟

现在让我们将各模块代组合，并为 Google 期权定价。

import datetime
from random import gauss
from math import exp, sqrtdef generate_asset_price(S,v,r,T):return S * exp((r - 0.5 * v**2) * T + v * sqrt(T) * gauss(0,1.0))def call_payoff(S_T,K):return max(0.0,S_T-K)S = 857.29 # underlying price
v = 0.2076 # vol of 20.76%
r = 0.0014 # rate of 0.14%
T = (datetime.date(2013,9,21) - datetime.date(2013,9,3)).days / 365.0
K = 860.
simulations = 90000
payoffs = []
discount_factor = math.exp(-r * T)for i in xrange(simulations):S_T = generate_asset_price(S,v,r,T)payoffs.append(call_payoff(S_T, K))price = discount_factor * (sum(payoffs) / float(simulations))
print 'Price: %.4f' % price

程序运行结果如下，这与我们在市场上观察到的此 Google 期权的价格相匹配。

Price: 14.5069

需要注意的是，我们刚刚计算的谷歌期权实际上是一个美式期权，我们只是把它定价成欧式期权，没有考虑期权可以提前行权的可能性，尽管如此，我们仍然得出了正确的价格。

这是因为，非派息股票（例如文中举例的 Google）的美式看涨期权的价格与欧式看涨期权的价格相同。理论上，当股票不支付股息时，提前行权并不是最佳选择。如果期权永远不会提前行权，那么美式期权的价格可以像欧式期权一样进行计算。

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