向量和向量组
- 一、向量的线性相关性
- 二、极大线性无关组、等价向量组和向量组的秩
方程组
- 一、齐次/非齐次方程组
- - 克拉默法则求解
- 三、考法
- - 1.解含参数的线性方程组
  - 2.求两个方程组的公共解和同解
  - 3.抽象型方程组
  - - 性质
    - 判定是否为基础解系
    - 解和系数的关系

向量和向量组

一、向量的线性相关性

线性表出
如果向量 β \beta β对于向量组 α 1 , α 2 . . . α m \alpha_1, \alpha_2...\alpha_m α1,α2...αm来说，存在m个常数 k 1 , k 2 . . . k m k_1, k_2...k_m k1,k2...km使得 β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . k m α m \beta=k_1\alpha_1+ k_2\alpha_2+...k_m\alpha_m β=k1α1+k2α2+...kmαm那么称向量 β \beta β能够被向量组 α 1 , α 2 . . . α m \alpha_1, \alpha_2...\alpha_m α1,α2...αm线性表出。

上述线性表出、线性相关和线性无关的定义会在证明题中反复用到，请牢记

线性相关、线性无关的证明主要从定义和性质两方面入手

定理：向量组部分相关，整体必然相关；整体无关，部分必然无关
定理：向量组线性相关，则增加向量必相关；向量组线性无关；则减少向量后必然无关

二、极大线性无关组、等价向量组和向量组的秩

1.极大线性无关组
在向量组 α 1 , α 2 . . . α s \alpha_1, \alpha_2...\alpha_s α1,α2...αs中，如果存在部分向量组 α i 1 , α i 2 . . . α i r \alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}...\alpha_{i_r} αi1,αi2...αir满足

α i 1 , α i 2 . . . α i r \alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}...\alpha_{i_r} αi1,αi2...αir线性无关
向量组中任一向量都可以由 α i 1 , α i 2 . . . α i r \alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}...\alpha_{i_r} αi1,αi2...αir线性表出

则称向量组 α i 1 , α i 2 . . . α i r \alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}...\alpha_{i_r} αi1,αi2...αir是原向量组的极大线性无关组

极大线性无关组的求解

2.等价向量组

向量组直接使用三秩相等是最快速的：r(A)=r(B)=r(A|B)
向量组等价和矩阵等价是两个不同的概念，矩阵等价要同行，但是向量组等价只要求同维数，向量个数可以不等。

方程组

AB=C可表明：
C的行可由B的行表示，C的列可由A的列表示

一、齐次/非齐次方程组

齐次方程组解向量性质和基础解系
1.有解的条件
当r(A)=n时，方程组有唯一零解，向量组线性无关
当r(A)=r<n时，方程组有非零解，并且有n-r个线性无关解

齐次线性方程组有非零解的充要条件是r(A)<n，基础解系是针对解向量空间来说的
齐次/非齐次的解的结构

非齐次线性方程组求解

克拉默法则求解

见例题5.1

三、考法

1.解含参数的线性方程组

第一种方法：
化为行阶梯形方程组

TIPS：将线性方程组矩阵化后的矩阵，只能进行行变换，不能进行列变换

2.求两个方程组的公共解和同解

公共解：

同解：

注意：矩阵等价的条件是 r ( A ) = r ( B ) = r ( A ∣ B ) r(A)=r(B)=r(A|B) r(A)=r(B)=r(A∣B)，要和方程组同解作区分

3.抽象型方程组

性质

(1)(2)(4)(5)中表示的是齐次方程组有零解/无穷解推导不出非齐次方程组的解情况，但是非齐次方程组有零解/无穷解可推导出齐次方程有零解/无穷解

判定是否为基础解系

满足三个条件：

是方程组的解
线性无关
向量个数s=n-r(A)
则为齐次方程组的基础解系

还有一种考法就是用基础解系表示方程组

解和系数的关系

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