线性代数/判断向量组是否线性相关/定义与例题

向量组线性相关

定义
例题

定义

向量组 α1,α2,⋯,αs(s⩾1)\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\geqslant1)α1,α2,⋯,αs(s⩾1) 称为线性相关,如果有数域 PPP 中不全为零的数 k1,k2,⋯,ksk_1,k_2,\cdots,k_sk1,k2,⋯,ks,使

k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0

例题

判断下列向量组是否线性相关：
α1=[−2−5−3−4],α2=[−511310],α3=[−3−7−1−6],α4=[−13−30−12−26],\begin{aligned} \alpha_1=\begin{bmatrix}\phantom{-}2\\-5\\\phantom{-}3\\-4\end{bmatrix}, \alpha_2=\begin{bmatrix}-5\\11\\3\\10\end{bmatrix}, \alpha_3=\begin{bmatrix}-3\\\phantom{-}7\\-1\\\phantom{-}6\end{bmatrix}, \alpha_4=\begin{bmatrix}\phantom{-}13\\-30\\\phantom{-1}2\\-26\end{bmatrix}, \end{aligned}α1=⎣⎢⎢⎡−2−5−3−4⎦⎥⎥⎤,α2=⎣⎢⎢⎡−511310⎦⎥⎥⎤,α3=⎣⎢⎢⎡−3−7−1−6⎦⎥⎥⎤,α4=⎣⎢⎢⎡−13−30−12−26⎦⎥⎥⎤,

例题来源：《高等代数学习指导书》.丘维声著.第二版.P76

设 k1,k2,k3,k4∈Rk_1,k_2,k_3,k_4\in Rk1,k2,k3,k4∈R 满足 k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3+k_4\alpha_4=0k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0

即：

{2k1−5k2−3k3+13k4=0−5k1+11k27k3−30k4=03k1+3k2−1k3+2k4=0−4k1+10k26k3−26k4=0\left\{\begin{aligned} 2k_1&-5k_2&-3k_3&+13k_4&=0\\ -5k_1&+11k_2&7k_3&-30k_4&=0\\ 3k_1&+3k_2&-1k_3&+2k_4&=0\\ -4k_1&+10k_2&6k_3&-26k_4&=0\\ \end{aligned}\right.⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧2k1−5k13k1−4k1−5k2+11k2+3k2+10k2−3k37k3−1k36k3+13k4−30k4+2k4−26k4=0=0=0=0

写成矩阵形式即为：

[2−5−313−5117−3033−12−4106−26][k1k2k3k4]=[0000]\begin{bmatrix} 2&-5&-3&13\\ -5&11&7&-30\\ 3&3&-1&2\\ -4&10&6&-26\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\\k_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}⎣⎢⎢⎡2−53−4−511310−37−1613−302−26⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡k1k2k3k4⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡0000⎦⎥⎥⎤

经过矩阵的初等行变换，我们得到上面的方程组与下面的方程组等价：

[10−23730113−5300000000][k1k2k3k4]=[0000]\begin{bmatrix} 1&0&-\frac{2}{3}&\frac{7}{3}\\ 0&1&\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\\k_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}⎣⎢⎢⎡10000100−32310037−3500⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡k1k2k3k4⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡0000⎦⎥⎥⎤

显然,系数矩阵的行列式等于零,从而方程有非零解。所以向量组线性相关

如果题目只问向量组是否相关，可以只作答到这一步。下面的步骤是为了求出一组不为零的系数k

方程的一般解为

{x1=23x3−73x4x2=−13x3+53x4\left\{\begin{aligned} x_1&=\frac{2}{3}x_3-\frac{7}{3}x_4\\ x_2&=-\frac13x_3+\frac53x_4 \end{aligned}\right.⎩⎪⎨⎪⎧x1x2=32x3−37x4=−31x3+35x4

其中一个特解为

k1=3,k2=−2,k3=1,k4=−1k_1=3,k_2=-2,k_3=1,k_4=-1k1=3,k2=−2,k3=1,k4=−1

从而：

3α1−2α2+α3−α4=03\alpha_1-2\alpha_2+\alpha_3-\alpha_4=03α1−2α2+α3−α4=0

总结：

设 k1α1+k2α2+⋯+knαn=0k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=0k1α1+k2α2+⋯+knαn=0

把 1. 中的方程写成矩阵的形式，化成阶梯型行列式，即可判断是否存在非零解

求出一组非零解

2021年1月4日19:26:01

如有问题请在评论区留言

2021年6月26日有改动

2021年12月13日23:03:53 排版有改动

线性代数/判断向量组是否线性相关/定义与例题相关推荐

线性代数-向量组的线性相关
n维向量及其运算 a = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) a=(x_1,x_2,...,x_n) a=(x1,x2,...,xn)是行向量, a = ( x 1 , x ...
由一道题目看抽象向量组的线性相关问题
由一道题目看抽象向量组的线性相关问题 @(数学) 方法:观察法 || 定理 ||过渡矩阵已知向量组α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性无关,则下面的向量组线性相关 ...
【线性代数】向量组及其线性组合
一.向量及向量组的基本定义二.线性组合的定义三.向量组与向量的线性表示四.向量组的线性表示.向量组等价使用Numpy计算 import numpy as np A=np.mat([[1,1,1 ...
两个向量组线性相关是不是也能说成两个向量组等价向量组等价线性相关向量组等价和矩阵等价的区别
目录两个向量组线性相关是不是也能说成两个向量组等价向量组等价线性相关
【线性代数】向量组的线性相关性
文章目录向量组及其线性组合一.向量二.线性表示 1. 线性组合的定义 2. 线性表示的定义 3. 线性表示的充要条件三.向量组等价 1. 向量组等价定义 2. 向量组线性表示的充要条件 3. ...
【线性代数】向量组的秩与最大线性无关向量组
目录一.向量组的秩的定义二.求最大线性无关向量组三.总结一.向量组的秩的定义矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念,关于矩阵的秩,详见之前文章[线性代数]矩阵的秩与线性方程组. 二.求最大线性无 ...
线性代数：向量组的线性相关性
向量组的线性相关性 1.向量组:多个向量组成的, 向量组的线性相关性? 题目: 前提:向量:之前用一条线表示,坐标判断向量和向量之间的关系: 这个向量能不能用另外一个向量表示.能就线性相关.对应坐标成 ...
matlab 向量方程组,Matlab 线性代数(二)--向量组的线性相关性及方程组的特解
1. %求齐次线性方程组的通解 clear A=[2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19]; %输入系数矩阵A b=[-2;7;-23;43 ...
matlab判断向量组线性相关性的三种方法
求行列式法 det 初等行变换法 rref 求秩法 rank ;表示列向量,,表示行向量 format rat v1 = [-9;7;3]; v2 = [3;34;-24]; v3 = [-6;-4; ...

线性代数/判断向量组是否线性相关/定义与例题

向量组线性相关

定义

例题

线性代数/判断向量组是否线性相关/定义与例题相关推荐

最新文章

热门文章