文章目录

向量组及其线性组合
- 一、向量
- 二、线性表示
- - 1. 线性组合的定义
  - 2. 线性表示的定义
  - 3. 线性表示的充要条件
- 三、向量组等价
- - 1. 向量组等价定义
  - 2. 向量组线性表示的充要条件
  - 3. 向量组等价的充要条件
  - 4. 向量组线性表示的必要条件
向量组的线性相关性## 一、线性相关与线性无关
- 1. 线性相关与线性无关定义
- 2. 线性相关的充要条件
- 3. 线性无关的充要条件
- 4. 线性相关与线性无关的结论
向量组的秩
- 一、向量组的秩的定义
- 二、性质

向量组及其线性组合

一、向量

定义：nnn个有次序的数a1,a2,⋯,ana_{1},a_{2},\cdots,a_{n}a1,a2,⋯,an所组成的数组称为nnn维向量，这nnn个数称为该向量的nnn个分量，第iii个数aia_{i}ai称为第iii个分量

向量可以使行向量，也可以是列向量

二、线性表示

1. 线性组合的定义

给定向量组A:a1,a2,⋯,amA:a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}A:a1,a2,⋯,am，对于任何一组实数k1,k2,⋯,kmk_{1},k_{2},\cdots,k_{m}k1,k2,⋯,km，表达式k1a1+k2a2+⋯+kmamk_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+\cdots+k_{m}a_{m}k1a1+k2a2+⋯+kmam称为向量组AAA的一个线性组合，k1,k2,⋯,knk_{1},k_{2},\cdots,k_{n}k1,k2,⋯,kn称为这个线性组合的系数

2. 线性表示的定义

给定向量组A:a1,a2,⋯,amA:a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}A:a1,a2,⋯,am和向量bbb，如果存在一组数λ1,λ2,⋯,λm\lambda_{1},\lambda_2,\cdots,\lambda_{m}λ1,λ2,⋯,λm，使b=λ1a1+λ2a2+⋯+λmamb=\lambda_1a_{1}+\lambda_{2}a_{2}+\cdots+\lambda_ma_mb=λ1a1+λ2a2+⋯+λmam，则向量bbb是向量组AAA的线性组合，这时称向量bbb能由向量组AAA线性表示

3. 线性表示的充要条件

向量bbb能由向量组A:a1,a2,⋯,amA:a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}A:a1,a2,⋯,am线性表示的充要条件是矩阵A=(a1,a2,⋯,am)A=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{m})A=(a1,a2,⋯,am)的秩等于矩阵B=(a1,a2,⋯,am,b)B=(a_1,a_2,\cdots,a_m,b)B=(a1,a2,⋯,am,b)的秩

(a1⋯am)(λ1⋮λm)=b=λ1a1+⋯+λmam\begin{pmatrix}a_1 & \cdots & a_m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1\\\vdots\\\lambda_m\end{pmatrix}=b=\lambda_1a_1+\cdots+\lambda_{m}a_{m}(a1⋯am)⎝⎜⎛λ1⋮λm⎠⎟⎞=b=λ1a1+⋯+λmam
即Ax=bAx=bAx=b有解⇔r(A)=r(A∣b)=m\Leftrightarrow r(A)=r(A|b)=m⇔r(A)=r(A∣b)=m

三、向量组等价

1. 向量组等价定义

设有两个向量组A:a1,a2,⋯,amA:a_{1},a_2,\cdots,a_mA:a1,a2,⋯,am及B:b1,b2,⋯,blB:b_{1},b_{2},\cdots,b_{l}B:b1,b2,⋯,bl，若BBB组中的每个向量都能由向量组AAA线性表示，则称向量组BBB能由向量组AAA线性表示。若向量组AAA与向量组BBB能相互线性表示，则称两个向量组等价

2. 向量组线性表示的充要条件

向量组B:b1,b2,⋯,blB:b_{1},b_{2},\cdots,b_{l}B:b1,b2,⋯,bl能由向量组A:a1,a2,⋯,amA:a_{1},a_2,\cdots,a_mA:a1,a2,⋯,am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,⋯,am)A=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{m})A=(a1,a2,⋯,am)的秩等于矩阵(A,B)=(a1,⋯,am,b1,⋯,bl)(A,B)=(a_{1},\cdots,a_{m},b_{1},\cdots,b_{l})(A,B)=(a1,⋯,am,b1,⋯,bl)的秩，即R(A)=R(A,B)R(A)=R(A,B)R(A)=R(A,B)

简单说明：r(A)=r(A,bi)r(A)=r(A,b_{i})r(A)=r(A,bi)

3. 向量组等价的充要条件

向量组A:a1,a2,⋯,amA:a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}A:a1,a2,⋯,am与向量组B:b1,b2,⋯,blB:b_{1},b_{2},\cdots,b_{l}B:b1,b2,⋯,bl等价的充要条件是R(A)=R(B)=R(A,B)R(A)=R(B)=R(A,B)R(A)=R(B)=R(A,B)，其中AAA和BBB是向量组AAA和BBB所构成的矩阵

化简后类似于(A∣B)=(110101001001)(A|B)=\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&&&1&&\\0&1&&0&1&\\0&0&1&0&0&1\end{array}\right)(A∣B)=⎝⎛100101100101⎠⎞。只关注RRR，数字随便写的

4. 向量组线性表示的必要条件

设向量组B:b1,b2,⋯,blB:b_{1},b_2,\cdots,b_lB:b1,b2,⋯,bl能由向量组A:a1,a2,⋯,amA:a_1,a_2,\cdots,a_mA:a1,a2,⋯,am线性表示，则R(b1,b2,⋯,bl)≤R(a1,a2,⋯,am)R(b_1,b_2,\cdots,b_{l})\leq R(a_1,a_2,\cdots,a_m)R(b1,b2,⋯,bl)≤R(a1,a2,⋯,am)

化简后类似于(A∣B)=(110101001000)(A|B)=\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&&&1&&\\0&1&&0&1&\\0&0&1&0&0&0\end{array}\right)(A∣B)=⎝⎛100101100100⎠⎞。只关注RRR，数字随便写的

例1：设a1=(1122),a2=(1213),a3=(1−140),b=(1031)a_{1}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix},a_{2}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \\ 3\end{pmatrix},a_{3}=\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 4 \\ 0\end{pmatrix},b=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix}a1=⎝⎜⎜⎛1122⎠⎟⎟⎞,a2=⎝⎜⎜⎛1213⎠⎟⎟⎞,a3=⎝⎜⎜⎛1−140⎠⎟⎟⎞,b=⎝⎜⎜⎛1031⎠⎟⎟⎞，证明向量bbb能由向量组a1,a2,a3a_1,a_2,a_3a1,a2,a3线性表示，并求出表示式
(a1a2a3b)→(111101−2−100000000)\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & a_3 & b\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}(a1a2a3b)→⎝⎜⎜⎛100011001−2001−100⎠⎟⎟⎞
（问能不能用线性表示只需要化简到这里就行了，不需要化成行最简形式）
∵r(a1a2a3)=r(a1a2a3b)=2\because r \begin{pmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & a_3 & b\end{pmatrix}=2∵r(a1a2a3)=r(a1a2a3b)=2
∴b\therefore b∴b可由a1,a2,a3a_1,a_2,a_3a1,a2,a3表示
(a1a2a3b)→(103201−2−100000000)\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & a_3 & b\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}(a1a2a3b)→⎝⎜⎜⎛100001003−2002−100⎠⎟⎟⎞
n−r=3−2=1n-r=3-2=1n−r=3−2=1
∴ξ=(−321),η=(−210)\therefore \xi=\begin{pmatrix}-3 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix},\eta=\begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}∴ξ=⎝⎛−321⎠⎞,η=⎝⎛−210⎠⎞
∴η+kξ=(2−3k−1+2kk)\therefore \eta+k \xi=\begin{pmatrix}2-3k \\ -1+2k \\ k\end{pmatrix}∴η+kξ=⎝⎛2−3k−1+2kk⎠⎞
故b=(2−3k)a1+(−1+2k)a2+ka3(kb=(2-3k)a_{1}+(-1+2k)a_{2}+ka_{3}\quad(kb=(2−3k)a1+(−1+2k)a2+ka3(k为任意常数)))

向量组的线性相关性## 一、线性相关与线性无关

1. 线性相关与线性无关定义

给定向量组A:a1,a2,⋯,amA:a_1,a_2,\cdots,a_mA:a1,a2,⋯,am，如果存在不全为零的数k1,k2,⋯,kmk_1,k_2,\cdots,k_mk1,k2,⋯,km，使k1a1+k2a2+⋯+kmam=0k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m=0k1a1+k2a2+⋯+kmam=0，则称向量组AAA是线性无关的，否则称它线性无关

2. 线性相关的充要条件

向量组a1,a2,⋯,ama_1,a_2,\cdots,a_ma1,a2,⋯,am线性相关的充要条件是它所构成的矩阵A=(a1,a2,⋯,am)A=(a_1,a_2,\cdots,a_m)A=(a1,a2,⋯,am)的秩小于向量个数mmm。即，r(a1⋯am)<mr(a_{1}\cdots a_m)<mr(a1⋯am)<m，其中mmm是向量个数

Ax=(a1⋯am)(x1⋮xn)=OAx=\begin{pmatrix}a_{1}\cdots a_{m}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{pmatrix}=OAx=(a1⋯am)⎝⎜⎛x1⋮xn⎠⎟⎞=O

3. 线性无关的充要条件

向量组线性无关的充要条件是R(A)=mR(A)=mR(A)=m

4. 线性相关与线性无关的结论

若向量组：A:a1,a2,⋯,amA:a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}A:a1,a2,⋯,am线性相关，则向量组B:a1,a2,⋯,am,am+1B:a_{1},a_{2},\cdots,a_{m},a_{m+1}B:a1,a2,⋯,am,am+1也线性相关。反言之，若向量组BBB线性无关，则向量组AAA也线性无关。即部分相关，则整体相关。

k1a1+⋯+kmam+km+1am+1=0k_{1}a_{1}+\cdots+k_{m}a_{m}+k_{m+1}a_{m+1}=0k1a1+⋯+kmam+km+1am+1=0，令km+1=0k_{m+1}=0km+1=0，由于AAA线性相关，则BBB线性相关
mmm个nnn维向量组成的向量组，当维数nnn小于向量个数mmm时一定线性相关。特别的，n+1n+1n+1个nnn维向量一定线性相关

A=[]n×m≤min⁡{m,n}=n<mA=[\quad]_{n\times m}\leq\min\{m,n\}=n<mA=[]n×m≤min{m,n}=n<m
设向量组A:a1,a2,⋯,amA:a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}A:a1,a2,⋯,am线性相关，而向量组B:a1,a2,⋯,am,bB:a_{1},a_{2},\cdots,a_{m},bB:a1,a2,⋯,am,b线性相关，则向量bbb必能由向量组AAA线性表示，且表示式是唯一的

Ax=bAx=bAx=b
r(a1⋯am)=m=r(a1⋯amb)r \begin{pmatrix}a_{1} & \cdots & a_{m}\end{pmatrix}=m=r \begin{pmatrix}a_{1} & \cdots & a_{m} & b\end{pmatrix}r(a1⋯am)=m=r(a1⋯amb)
Ax=(a1⋯am)x=b⇒x1a1+x2a2+⋯+xmam=bAx=\begin{pmatrix}a_{1} & \cdots & a_{m}\end{pmatrix}x=b \Rightarrow x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+\cdots+x_{m}a_{m}=bAx=(a1⋯am)x=b⇒x1a1+x2a2+⋯+xmam=b

例1：已知向量组a1,a2,a3a_{1},a_{2},a_{3}a1,a2,a3线性无关，b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a1b_{1}=a_{1}+a_{2},b_{2}=a_{2}+a_{3},b_{3}=a_{3}+a_{1}b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a1，试证向量组b1,b2,b3b_{1},b_{2},b_{3}b1,b2,b3线性无关
(b1b2b3)=(a1a2a3)(101110011)⇒B=AC\begin{pmatrix}b_1 & b_2 & b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \Rightarrow B=AC(b1b2b3)=(a1a2a3)⎝⎛110011101⎠⎞⇒B=AC
∵∣C∣=2≠0\because |C|=2\ne0∵∣C∣=2=0
∴C\therefore C∴C可逆
∴r(B)=r(AC)≤min⁡{r(A),r(C)}=3\therefore r(B)=r(AC)\leq\min\{r(A),r(C)\}=3∴r(B)=r(AC)≤min{r(A),r(C)}=3
∵BC−1=A\because BC^{-1}=A∵BC−1=A
又∵3=r(A)=r(BC−1)≤min⁡{r(B),r(C−1)}≤r(B)\because3=r(A)=r(BC^{-1})\leq\min\{r(B),r(C^{-1})\}\leq r(B)∵3=r(A)=r(BC−1)≤min{r(B),r(C−1)}≤r(B)
∴r(B)≥3\therefore r(B)\geq3∴r(B)≥3
又∵r(B)≤3\because r(B)\leq3∵r(B)≤3
∴r(B)=3\therefore r(B)=3∴r(B)=3
故b1,b2,b3b_{1},b_{2},b_{3}b1,b2,b3线性无关

向量组的秩

一、向量组的秩的定义

设向量组AAA，如果在AAA中能选出rrr个向量a1,a2,⋯,ara_{1},a_{2},\cdots,a_{r}a1,a2,⋯,ar，满足

向量组A0:a1,a2,⋯,arA_0:a_{1},a_{2},\cdots,a_{r}A0:a1,a2,⋯,ar线性无关
向量组AAA中任意r+1r+1r+1个向量（如果AAA中有r+1r+1r+1个向量的话）都线性相关

那么称向量组A0A_{0}A0是向量组AAA的一个最/极大线性无关向量组（简称最大无关组）；最大无关组所含向量个数rrr称为向量组AAA的秩，记作RAR_{A}RA

二、性质

矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩
设向量组A0:a1,a2,⋯,arA_{0}:a_{1},a_{2},\cdots,a_{r}A0:a1,a2,⋯,ar是向量组AAA的一个部分组，且满足
- 向量组A0A_{0}A0线性无关
- 向量组AAA的任一向量都能由向量组A0A_{0}A0线性表示
那么向量组A0A_{0}A0便是向量组AAA的一个最大无关组
向量组b1,b2,⋯,blb_{1},b_{2},\cdots,b_{l}b1,b2,⋯,bl能由向量组a1,a2,⋯,ama_{1},a_{2},\cdots,a_{m}a1,a2,⋯,am线性表示的充要条件是R(a1,a2,⋯,am)=R(a1,⋯,am,b1,⋯,bl)R(a_{1},a_{2},\cdots,a_{m})=R(a_{1},\cdots,a_{m},b_{1},\cdots,b_{l})R(a1,a2,⋯,am)=R(a1,⋯,am,b1,⋯,bl)
若向量组BBB能由向量组AAA线性表示，则RB≤RAR_{B}\leq R_{A}RB≤RA

求向量组的最大无关组相关问题

将向量组组成矩阵，进行初等行变换为行阶梯形（求极大无关组）/行最简形（求极大无关组和表示）
所有第一个非零元素所对应的列向量构成一个极大无关组

例1：设矩阵A=(2−1−11211−2144−62−2436−979)A=\begin{pmatrix}2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 4 & -6 & 2 & -2 & 4 \\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9\end{pmatrix}A=⎝⎜⎜⎛2143−11−66−1−22−911−272449⎠⎟⎟⎞，求矩阵AAA的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示
A⇒(10−10401−1030001−300000)A \Rightarrow\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}A⇒⎝⎜⎜⎛10000100−1−100001043−30⎠⎟⎟⎞
则极大无关组为(2143),(−11−66),(11−27)\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 4 \\ 3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ -6 \\ 6\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -2 \\ 7\end{pmatrix}⎝⎜⎜⎛2143⎠⎟⎟⎞,⎝⎜⎜⎛−11−66⎠⎟⎟⎞,⎝⎜⎜⎛11−27⎠⎟⎟⎞
列向量从左到右分别设为α1,α2,⋯,α5\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{5}α1,α2,⋯,α5
α3=−α1−α2,α5=4α1+α2−α4\alpha_3=-\alpha_1-\alpha_2,\alpha_5=4\alpha_1+\alpha_2-\alpha_4α3=−α1−α2,α5=4α1+α2−α4

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