抽象型行列式的计算
- 思路
- 例题
- 1 正交矩阵及单位矩阵恒等变形
- 2 向量形式
- 3 不可逆 --> 行列式为0 --> 特征值
- 4 遇到伴随和逆，立马将所有伴随换作逆
- 5 有相同矩阵的，合并同类项后用E代表合并前，而不是1
- 6 特征值的应用
- 7 对于|A+B|，巧妙运用E的恒等变形
- 8 低阶矩阵伴随的行列式可以换成矩阵的n-1方
- 9 a~ij~=±A~ij~ <--> A^T^=±A^*^
初等变换矩阵的应用
- 1 初等变换矩阵的逆
- 2 初等变换矩阵行列式的值
- 3 倍乘矩阵行列变换易混，如E~12~(3)，行变换时为第一行的3倍加到第2行；列变换时第2列的3倍加到第一列
伴随矩阵与可逆矩阵
- 1 熟用A^*^=|A|A^-1^
- 2 可逆<-->行列式不为0<-->特征值全部非0
- 3 秩常与特征值关联使用
- 4 A=0,特征值全为0；f(A)=0，对应的f(λ)也全为0
- 5 可逆矩阵具有可交换性
- 6 类似于算(A-E)^-1^时，用多项式除法
向量组的相关、无关、秩
- 1 秩＜向量个数，必线性相关；本身无关，延长必无关
- 2 一个矩阵A右乘一个列满秩矩阵P，即r(AP)=r(A)，不改变该矩阵A的本身的秩；向量组等价：r(A)=r(B)=r(A|B)；判断等价时往往需要借助系数矩阵
- 3 整体无关，部分必无关；部分无关，加进一个相关，加进去的能被其他表示
- 4 β能被表示，后面就不用管β；当k=0时C错误，k≠0时D错误
- 5 初等行变换不会改变列向量组的相关性和表示系数
- 6 伴随矩阵的秩只能是n、1、0
- 7 矩阵的秩不会越乘越大：r(AB)≤min{r(A),r(B)}
- 8 A~m×n~，B~n×s~，AB=0，r(A)+r(B)≤n
- 9 可逆矩阵可以看做若干次初等变换；经过初等（行/列）变换的矩阵与原矩阵（行/列）等价；（行/列）等价比矩阵等价强
- 10 向量组线性无关，其组成的矩阵的秩就是向量组的个数；被表示的向量组秩肯定小于表示它的向量组的秩
- 11 向量组A可被向量组B表出，则r(A)≤r(B)
- 12 矩阵等价和向量组等价的区别
方程组
- 1 基础解系相互之间需要满足线性无关、个数为n-r(A)、每个都是解三个条件
- 2 非奇特的系数相加须为1；齐通要求个数相等、秩相等和互相线性无关
- 3 非齐次的解进行组合，系数为0是齐次的解，系数为1是非齐次的解
- 4 α~1~、α~2~、α~3~是AX=β的三个无关解，则α~1~-α~2~、α~1~-α~3~是AX=0的两个无关解；基础解系的个数是固定的，如果已知基础解系个数至少为2，选项只有1，必然错误
- 5 A^*^A=|A|E=0，从而得出A的每一个列向量都是A^*^X=0的解；基础解系的向量个数为n-r(A) <--> r(A)=n-基础解系的向量个数
- 求通解，先求秩，n-秩即为基础解系个数；列向量之间的线性组合关系可以转化为方程组解向量

抽象型行列式的计算

思路

例题

1 正交矩阵及单位矩阵恒等变形

2 向量形式

3 不可逆 --> 行列式为0 --> 特征值

4 遇到伴随和逆，立马将所有伴随换作逆

5 有相同矩阵的，合并同类项后用E代表合并前，而不是1

6 特征值的应用

运用秩一矩阵和迹

7 对于|A+B|，巧妙运用E的恒等变形

另一解法：未知的不断往已知的条件转化

8 低阶矩阵伴随的行列式可以换成矩阵的n-1方

注：交换行列式的两行（列），行列式反号

9 a_ij=±A_ij <–> A^T=±A^*

初等变换矩阵的应用

1 初等变换矩阵的逆

2 初等变换矩阵行列式的值

3 倍乘矩阵行列变换易混，如E₁₂(3)，行变换时为第一行的3倍加到第2行；列变换时第2列的3倍加到第一列

伴随矩阵与可逆矩阵

1 熟用A^*=|A|A^-1

2 可逆<–>行列式不为0<–>特征值全部非0

秩一矩阵可以表示为αα^T，其迹为平方和α^Tα，特征值为一个迹和全0

3 秩常与特征值关联使用

4 A=0,特征值全为0；f(A)=0，对应的f(λ)也全为0

5 可逆矩阵具有可交换性

6 类似于算(A-E)^-1时，用多项式除法

向量组的相关、无关、秩

1 秩＜向量个数，必线性相关；本身无关，延长必无关

2 一个矩阵A右乘一个列满秩矩阵P，即r(AP)=r(A)，不改变该矩阵A的本身的秩；向量组等价：r(A)=r(B)=r(A|B)；判断等价时往往需要借助系数矩阵

3 整体无关，部分必无关；部分无关，加进一个相关，加进去的能被其他表示

4 β能被表示，后面就不用管β；当k=0时C错误，k≠0时D错误

5 初等行变换不会改变列向量组的相关性和表示系数

6 伴随矩阵的秩只能是n、1、0

7 矩阵的秩不会越乘越大：r(AB)≤min{r(A),r(B)}

E是m×m方阵，所以A和B的秩都是≥m，又A的行数是m，B的列数是m，所以A的行向量、B的列向量满秩，线性无关

8 A_m×n，B_n×s，AB=0，r(A)+r(B)≤n

9 可逆矩阵可以看做若干次初等变换；经过初等（行/列）变换的矩阵与原矩阵（行/列）等价；（行/列）等价比矩阵等价强

10 向量组线性无关，其组成的矩阵的秩就是向量组的个数；被表示的向量组秩肯定小于表示它的向量组的秩

11 向量组A可被向量组B表出，则r(A)≤r(B)

12 矩阵等价和向量组等价的区别

方程组

1 基础解系相互之间需要满足线性无关、个数为n-r(A)、每个都是解三个条件

行列式的值不等于0，代表可逆，也代表秩等于阶数

2 非奇特的系数相加须为1；齐通要求个数相等、秩相等和互相线性无关

3 非齐次的解进行组合，系数为0是齐次的解，系数为1是非齐次的解

4 α₁、α₂、α₃是AX=β的三个无关解，则α₁-α₂、α₁-α₃是AX=0的两个无关解；基础解系的个数是固定的，如果已知基础解系个数至少为2，选项只有1，必然错误

5 A^A=|A|E=0，从而得出A的每一个列向量都是A^X=0的解；基础解系的向量个数为n-r(A) <–> r(A)=n-基础解系的向量个数

求通解，先求秩，n-秩即为基础解系个数；列向量之间的线性组合关系可以转化为方程组解向量

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目录

抽象型行列式的计算

思路

例题

1 正交矩阵及单位矩阵恒等变形

2 向量形式

3 不可逆 --> 行列式为0 --> 特征值

4 遇到伴随和逆，立马将所有伴随换作逆

5 有相同矩阵的，合并同类项后用E代表合并前，而不是1

6 特征值的应用

7 对于|A+B|，巧妙运用E的恒等变形

8 低阶矩阵伴随的行列式可以换成矩阵的n-1方

9 aij=±Aij <–> AT=±A*

初等变换矩阵的应用

1 初等变换矩阵的逆

2 初等变换矩阵行列式的值

3 倍乘矩阵行列变换易混，如E12(3)，行变换时为第一行的3倍加到第2行；列变换时第2列的3倍加到第一列

伴随矩阵与可逆矩阵

1 熟用A*=|A|A-1

2 可逆<–>行列式不为0<–>特征值全部非0

3 秩常与特征值关联使用

4 A=0,特征值全为0；f(A)=0，对应的f(λ)也全为0

5 可逆矩阵具有可交换性

6 类似于算(A-E)-1时，用多项式除法

向量组的相关、无关、秩

1 秩＜向量个数，必线性相关；本身无关，延长必无关

2 一个矩阵A右乘一个列满秩矩阵P，即r(AP)=r(A)，不改变该矩阵A的本身的秩；向量组等价：r(A)=r(B)=r(A|B)；判断等价时往往需要借助系数矩阵

3 整体无关，部分必无关；部分无关，加进一个相关，加进去的能被其他表示

4 β能被表示，后面就不用管β；当k=0时C错误，k≠0时D错误

5 初等行变换不会改变列向量组的相关性和表示系数

6 伴随矩阵的秩只能是n、1、0

7 矩阵的秩不会越乘越大：r(AB)≤min{r(A),r(B)}

8 Am×n，Bn×s，AB=0，r(A)+r(B)≤n

9 可逆矩阵可以看做若干次初等变换；经过初等（行/列）变换的矩阵与原矩阵（行/列）等价；（行/列）等价比矩阵等价强

10 向量组线性无关，其组成的矩阵的秩就是向量组的个数；被表示的向量组秩肯定小于表示它的向量组的秩

11 向量组A可被向量组B表出，则r(A)≤r(B)

12 矩阵等价和向量组等价的区别

方程组

1 基础解系相互之间需要满足线性无关、个数为n-r(A)、每个都是解三个条件

2 非奇特的系数相加须为1；齐通要求个数相等、秩相等和互相线性无关

3 非齐次的解进行组合，系数为0是齐次的解，系数为1是非齐次的解

4 α1、α2、α3是AX=β的三个无关解，则α1-α2、α1-α3是AX=0的两个无关解；基础解系的个数是固定的，如果已知基础解系个数至少为2，选项只有1，必然错误

5 A*A=|A|E=0，从而得出A的每一个列向量都是A*X=0的解；基础解系的向量个数为n-r(A) <–> r(A)=n-基础解系的向量个数

求通解，先求秩，n-秩即为基础解系个数；列向量之间的线性组合关系可以转化为方程组解向量

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5 A^A=|A|E=0，从而得出A的每一个列向量都是A^X=0的解；基础解系的向量个数为n-r(A) <–> r(A)=n-基础解系的向量个数