【 MATLAB 】DFS 和 DTFT 之间的关系

上篇博文讲了DFS和z变换之间的关系：【 MATLAB 】DFS 与 z 变换之间的关系

这篇博文接着看DFS 和 DTFT 之间的关系，文章同样是从我的其他博文中抽取处理的，目的就是怕这种显然而重要的知识点被淹没。

为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式（分析公式）：

$\tilde X(k) = DFS[\tilde x(n)] = \sum_{n = 0}^{N-1}\tilde x(n)W_N ^{nk}$ （1）

其中：

$W_N = e^{-j \frac{2\pi}{N}}$

综合公式：

$\tilde x(n) = IDFS[\tilde X(n)] = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}\tilde X(k)W_N^{-nk}$ （2）

为了方便后面讨论，给出z变换公式供使用。

设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，

$x(n) = \left\{\begin{matrix} nonzero, &0 \leq n \leq N-1 \\ 0 ,& else \end{matrix}\right.$ （3）

那么，能求它的 z 变换为：

$X(z) = \sum_{n = 0}^{N-1}x(n)z^{-n}$ （4）

现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列 $\tilde x(n)$ ，即

$x(n) = \left\{\begin{matrix} \tilde x(n), &0 \leq n \leq N-1 \\0, & else \end{matrix}\right.$ （5）

接着讨论DFS和DTFT的关系。

我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：

先给出DTFT的公式：

$X(e^{jw})=\sum_{n = 0}^{N-1}x(n)e^{-jwn}=\sum_{n = 0}^{N-1}\tilde x(n)e^{-jwn}$ （6）

对比z变换的公式（4），不难看出：

$X(e^{jw}) = X(z)|_{z = e^{jw}}$ （7）

为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。

从（7）式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。

上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS $\tilde X(k)$ 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。

结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS $\tilde X(k)$ 是对DTFT $X(e^{jw})$ 上的等间隔采样。采样间隔为 $w_1 = \frac{2\pi}{N}$ ，下面我们正式推导二者间的关系。

式（6）为:

$X(e^{jw})=\sum_{n = 0}^{N-1}x(n)e^{-jwn}=\sum_{n = 0}^{N-1}\tilde x(n)e^{-jwn}$

DFS为：

$\tilde X(k) = DFS[\tilde x(n)] = \sum_{n = 0}^{N-1}\tilde x(n)W_N ^{nk}$

$W_N = e^{-j \frac{2\pi}{N}}$

可以看出，

$\tilde X(k) = X(e^{jw})|_{w = \frac{2\pi}{N}k}$ （8）

令

$w_1 = \frac{2\pi}{N}and w_k = \frac{2\pi}{N}k = kw_1$ （9）

这样，

$DFS \tilde X(k) = X(e^{jw_k})=X(e^{jkw_1})$ （10）

这意味着 DFS 可以通过以 $w_1 = \frac{2\pi}{N}$ 为间隔对DTFT均匀采样而得到。

由z变换和DFTF之间关系：

$X(e^{jw}) = X(z)|_{z = e^{jw}}$

以及式子（14）：

$\tilde X(k) = X(e^{jw})|_{w = \frac{2\pi}{N}k}$

可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。

间隔 $w_1 = \frac{2\pi}{N}$ 是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。

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