【图论】新年好（最短路的综合问题）

一、前言

这道题目的时间复杂度卡的很死，需要在算法设计和细节上仔仔细细的考虑才能通过。非常考验对最短路算法的基础理解和灵活运用，是一道值得细细品味的图论题。

二、题面分析

题目链接：Acwing：新年好

重庆城里有 n 个车站，m 条 双向 公路连接其中的某些车站。每两个车站最多用一条公路连接，从任何一个车站出发都可以经过一条或者多条公路到达其他车站，但不同的路径需要花费的时间可能不同。在一条路径上花费的时间等于路径上所有公路需要的时间之和。佳佳的家在车站 1，他有五个亲戚，分别住在车站 a,b,c,d,e。过年了，他需要从自己的家出发，拜访每个亲戚（顺序任意），给他们送去节日的祝福。怎样走，才需要最少的时间？输入格式
第一行：包含两个整数 n,m，分别表示车站数目和公路数目。第二行：包含五个整数 a,b,c,d,e，分别表示五个亲戚所在车站编号。以下 m 行，每行三个整数 x,y,t，表示公路连接的两个车站编号和时间。输出格式
输出仅一行，包含一个整数 T，表示最少的总时间。数据范围
1≤n≤50000,
1≤m≤1e5,
1<a,b,c,d,e≤n,
1≤x,y≤n,
1≤t≤100
输入样例：
6 6
2 3 4 5 6
1 2 8
2 3 3
3 4 4
4 5 5
5 6 2
1 6 7
输出样例：
21

分析：第一眼反应以为是Floyd解题，然后看到数据范围直接傻了。然后想到先枚举所有可能的路线再依次求最短路，然后马上想到时间复杂度也不允许。在仔细想想后，我们找到一个突破口----亲戚一共只有5个，只要我们能先预处理好5个亲戚和自己的最短距离，然后再进行DFS遍历，时间复杂度就可以刚刚好达到我们的目的。但是即使思路是对的，在代码实现上也要万分小心。有很多细节都是要注意到。

三、代码详解

//#pragma GCC optimize(2)
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 2e5 + 7;int n, m;
int p[6];  //简单的离散化处理
int h[N], e[N], ne[N], w[N], id = 1;
int dist[6][N];  //dist[i][j]：编号为i的点到点j的距离
bool ch[N];  //dijkstra查重
bool st[6];  //dfs查重void add(int a, int b, int c)
{ne[id] = h[a];h[a] = id;e[id] = b;w[id] = c;id++;
}
int dfs(int step, int now, int res)  //步数、当前点的编号、已经走的距离
{if (step == 6)  //到6就说明走完5步了{return res;  //返回答案}int ans = INF;  //定义一个足够大的初始答案for (int i = 1; i <= 5; i++)  //枚举每一个亲戚{if (!st[i])  //如果这个点没走过{st[i] = true;ans = min(ans, dfs(step + 1, i, res + dist[now][p[i]]));   //找最小值st[i] = false;   //时光回溯}}return ans;   //返回最后的答案
}
void dijkstra(int s, int dist[ ])  //放进起点和到起点距离的数组,由于这里数组放进去的是地址，所以会直接修改全局变量
{mem(ch, 0);mem(dist, INF);priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> q;   //小根堆，不要写成了大根堆dist[s] = 0;  //起点距离为0q.push({ 0, s });  //放进优先队列while (q.size()){auto te = q.top();q.pop();int d = te.first;int idx = te.second;if (ch[idx] == 1)  //同一个点不被用来更新两次continue;ch[idx] = 1;for (int i = h[idx]; ~i; i = ne[i]){int j = e[i];if (dist[j] > d + w[i]){dist[j] = d + w[i];q.push({ dist[j], j });}}}}void solve()
{mem(dist, INF);mem(h, -1);cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= 5; i++)cin >> p[i];while (m--){int a, b, c;cin >> a >> b >> c;add(a, b, c);add(b, a, c);}p[0] = 1;for (int i = 0; i <= 5; i++)  //5次dijkstra更新，多了一点都会tle掉dijkstra(p[i], dist[i]);cout << dfs(1, 0, 0);//DFS跑......
}int main()
{std::ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0), cout.tie(0);solve();return 0;
}

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