算法提高课-图论-单源最短路的综合应用-AcWing 342. 道路与航线:最短路dijkstra、拓扑排序 、综合题、好题
题目分析
来源：acwing
分析：
道路：双向，边权非负，
航线：单向，边权可正可负，且无环。
根据题意，点可以分为很多团（连通块），团内部只有道路（道路是双向的，而且是连通的，所以不能存在航线，否则有环，矛盾）；而航线是在团与团之间。航向满足什么呢？ 团与团之间的航线也是无环的，是满足拓扑序的。所以，团与团之间是有向无环图。
本题：
- 如果边权非负，可以用dijkstra算法。时间复杂度是O(mlogn)
- 如果是拓扑图，不管边权是正是负，均可按拓扑序扫描，时间复杂度是线性的。
思路是：先把每个团看成1个点，用拓扑序扫描来处理；然后对于每个团，内部使用dijkstra算。
- 先读入所有双向道路，然后dfs所有连通块，计算两个数组：
id[]:存储每个点属于哪个连通块；
vector< int> block[]:存储每个连通块里有哪些点 - 输入所有航线，同时统计出每个连通块的入度。
- 按照拓扑序依次处理每个连通块。先将所有入度为0的连通块的编号加入队列。
- 每次从队头取出一个连通块的编号bid
- 将该block[bid]中的所有点加入堆中，然后对堆中的所有点跑dijkstra算法。
- 每次取出堆中距离最小的点ver。
- 然后遍历所有与ver相邻的点j。
如果id[ver] == id[j]，如果j能被更新，则把j插入到堆中；
如果id[ver] != id[j],则将id[j] 这个连通块的入度-1，如果减到0，则将其插入到拓扑排序的队列中。
ac代码
#include<bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
const int N = 25010, M = 150010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, mr, mp, S;
int h[N],e[M],w[M],ne[M],idx;
int id[N]; //每个点属于哪个连通块
vector<int> block[N]; // 每个连通块中有哪些点
int bcnt; // 连通块的个数
int dist[N];
bool st[N];
int din[N];// 每个连通块的入度queue<int> q;void add(int a, int b, int c){e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}// 把连通的点放到连通块中
void dfs(int u, int bid){id[u] = bid; // u这点放到bid这个block中block[bid].push_back(u);// 遍历连通的所有临边for(int i = h[u]; ~i; i = ne[i]){int j = e[i];if(!id[j]) dfs(j, bid); // 都放到bid这个连通块中}}// 求每个连通块内部的最短路
void dijkstra(int bid){priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;for(auto ver : block[bid]) heap.push({dist[ver],ver});while(heap.size()){auto t = heap.top();heap.pop();int ver = t.y, distance = t.x;if(st[ver]) continue;st[ver] = true;for(int i = h[ver]; ~i; i = ne[i]){int j = e[i];if(dist[j] > dist[ver] + w[i]){dist[j] = dist[ver] + w[i];if(id[j] == id[ver]) heap.push({dist[j], j});}if(id[j] != id[ver] && -- din[id[j]] == 0)q.push(id[j]);}}
}void topsort(){memset(dist, 0x3f, sizeof dist);dist[S] = 0;for(int i = 1; i <= bcnt; i ++){if(!din[i])q.push(i); // 把入度为零的连通块加入队列中}while(q.size()){int t = q.front();q.pop();dijkstra(t); //对编号为t的连通块进行dijkstra}}int main(){cin >> n >> mr >> mp >> S;memset(h, -1, sizeof h);while(mr --){int a, b, c;scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);add(a, b, c), add(b, a, c);}// 所有的点分类到不同的连通块// 放在id[]数组中for(int i = 1; i <= n; i ++){if(!id[i])dfs(i, ++ bcnt); }// 读入航线while(mp --){int a, b, c;scanf("%d%d%d",&a, &b, &c);add(a, b, c);din[id[b]] ++; // 后者所在连通块的入度+1}topsort();for(int i = 1; i <= n; i ++)if(dist[i] > INF/ 2) puts("NO PATH");else printf("%d\n", dist[i]);
}题目来源
https://www.acwing.com/problem/content/344/
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