常见函数求导及求导法则

函数连续：
若 f(x)f(x)f(x) 满足， lim⁡x→0[f(x0+Δx)−f(x0)]=0\lim_{x\to \ 0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0x→ 0lim[f(x0+Δx)−f(x0)]=0
则成 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 连续
定义：
设函数 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 的某个邻域有定义，当自变量 xxx 在 x0x_0x0 取得增量 Δx\Delta xΔx，对应自变量取得增量 Δy\Delta yΔy，若 lim⁡Δx→0ΔyΔx\lim_{\Delta x\to0 }\frac{\Delta y}{\Delta x}limΔx→0ΔxΔy 存在，那么称函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在 x0x_0x0 处可导，并将这个极限称做 y=(x)y=(x)y=(x) 在 x0x_0x0 处的导数，记为 f′(x0)f'(x_0)f′(x0)
f′(x0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxf'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}f′(x0)=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)
常用函数求导

常数函数 f(x)=Cf(x)=Cf(x)=C，f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0
f(x)=xn(n∈N∗)f(x)=x^n(n\in N^{*})f(x)=xn(n∈N∗)
当 n=1n=1n=1 时，f(x)=1f(x)=1f(x)=1
当 n>1n>1n>1 时，
f′(x)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx=lim⁡Δx→0(x+Δx)n−xnΔx=lim⁡Δx→0nxn−1+(n2)xn−2Δx+⋯+Δxn−1=nxn−1f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\ =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x}\\ =\lim_{\Delta x\to 0}nx^{n-1}+\binom{n}{2}x^{n-2}\Delta x+\dots +\Delta x^{n-1}=nx^{n-1}f′(x)=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)=Δx→0limΔx(x+Δx)n−xn=Δx→0limnxn−1+(2n)xn−2Δx+⋯+Δxn−1=nxn−1
幂函数 f(x)=xμ(μ∈R)f(x)=x^{\mu}(\mu\in R)f(x)=xμ(μ∈R)，设 xxx 在 f(x)f(x)f(x) 的定义域内且 x≠0x\neq 0x=0
引理1：
lim⁡x→0loga(1+x)x=lim⁡x→0loga(1+x)1x=1ln⁡(a)\lim_{x\to 0}\frac{log_a(1+x)}{x}=\lim_{x\to 0}log_a(1+x)^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{\ln (a)}x→0limxloga(1+x)=x→0limloga(1+x)x1=ln(a)1

引理2：
lim⁡x→0(1+x)μ−1x=lim⁡x→0(1+x)μ−1ln⁡(1+x)μ∗μln⁡(1+x)xlim⁡t→0tln⁡(1+t)∗lim⁡x→0μln⁡(1+x)x=μ\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^{\mu}-1}{x}\\ = \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{\mu}-1}{\ln (1+x)^{\mu}}*\frac{\mu \ln (1+x)}{x}\\\lim_{t\to 0}\frac{t}{\ln (1+t)}*\lim_{x\to 0}\frac{\mu \ln (1+x)}{x}=\mu x→0limx(1+x)μ−1=x→0limln(1+x)μ(1+x)μ−1∗xμln(1+x)t→0limln(1+t)t∗x→0limxμln(1+x)=μ
故f′(x)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx=lim⁡Δx→0(x+Δx)μ−xμΔx=lim⁡Δx→0xμ−1∗(1+Δxx)μ−1Δxx=μxμ−1f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\ =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^{\mu}-x^{\mu}}{\Delta x}\\ =\lim_{\Delta x\to 0}x^{\mu -1}*\frac{(1+\frac{\Delta x}{x})^{\mu}-1}{\frac{\Delta x}{x}}=\mu x^{\mu-1}f′(x)=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)=Δx→0limΔx(x+Δx)μ−xμ=Δx→0limxμ−1∗xΔx(1+xΔx)μ−1=μxμ−1
f(x)=sin⁡xf(x)=\sin xf(x)=sinx 的导数
引理 lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1limx→0xsinx=1
运用夹逼法，得面积关系有 tan⁡x>x>sin⁡x→cos⁡x<sin⁡xx<1\tan x>x>\sin x \to \cos x<\frac{\sin x}{x}<1tanx>x>sinx→cosx<xsinx<1进而得证（可以自行百度）
故有
f′(x)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx=lim⁡Δx→0sin⁡(x+Δx)−sin⁡xΔxf'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}f′(x)=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)=Δx→0limΔxsin(x+Δx)−sinx
和差化积
lim⁡Δx→0sin⁡(x+Δx)−sin⁡xΔx=lim⁡Δx→02sin⁡Δx2cos⁡(x+Δx2)Δx=cos⁡x\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}\\ =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2\sin \frac{\Delta x}{2}\cos (x+\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}=\cos xΔx→0limΔxsin(x+Δx)−sinx=Δx→0limΔx2sin2Δxcos(x+2Δx)=cosx
同理可得，(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x(cosx)′=−sinx
f(x)=ax(a>0,a≠1)f(x)=a^{x}(a>0,a\neq 1)f(x)=ax(a>0,a=1) 的导数
引理 lim⁡x→0ax−1x=ln⁡a\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln alimx→0xax−1=lna
令 t=ax−1t=a^x-1t=ax−1,lim⁡x→0ax−1x=lim⁡t→0tloga(t+1)=ln⁡a\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\lim_{t\to 0}\frac{t}{log_a(t+1)}=\ln alimx→0xax−1=limt→0loga(t+1)t=lna
f′(x)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx=axlim⁡Δx→0aΔx−1Δx=ln⁡a∗axf'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\= a^x\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=\ln a*a^xf′(x)=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)=axΔx→0limΔxaΔx−1=lna∗ax
f(x)=log⁡ax(a>0,a≠1)f(x)=\log_a x(a>0,a\neq 1)f(x)=logax(a>0,a=1) 的导数
f′(x)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx=lim⁡Δx→01Δxlog⁡ax+Δxx=lim⁡Δx→01x∗xΔxlog⁡a(1+Δxx)=1xln⁡af'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\Delta x}\log_a\frac{x+\Delta x}{x}=\\ \lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{x}*\frac{x}{\Delta x}\log_a(1+\frac{\Delta x}{x})=\frac{1}{x\ln a}f′(x)=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)=Δx→0limΔx1logaxx+Δx=Δx→0limx1∗Δxxloga(1+xΔx)=xlna1
于是我们有 (ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\frac{1}{x}(lnx)′=x1

函数求导法则：
定理：如果函数 u=u(x),v=v(x)u=u(x),v=v(x)u=u(x),v=v(x) 在 xxx 均具有导数，那么它们的和，差，积，商（分母不为0），都在 xxx 点具有导数

[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x)[u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x)
[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+v′(x)u(x)[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+v'(x)u(x)[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+v′(x)u(x)
[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v2(x)[\frac{u(x)}{v(x)}]'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}[v(x)u(x)]′=v2(x)u′(x)v(x)−u(x)v′(x)

法则1略

法则2证明：
[u(x)v(x)]′=lim⁡h→0u(x+h)v(x+h)−u(x)v(x)h=lim⁡h→0[u(x+h)−u(x)hv(x+h)−u(x)v(x+h)−v(x)h]=u′(x)v(x)+v′(x)u(x)[u(x)v(x)]'=\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}\\=\lim_{h\to 0}[\frac{u(x+h)-u(x)}{h}v(x+h)-u(x)\frac{v(x+h)-v(x)}{h}]\\=u'(x)v(x)+v'(x)u(x)[u(x)v(x)]′=h→0limhu(x+h)v(x+h)−u(x)v(x)=h→0lim[hu(x+h)−u(x)v(x+h)−u(x)hv(x+h)−v(x)]=u′(x)v(x)+v′(x)u(x)
其中 lim⁡h→0v(x+h)=v(x)\lim_{h\to 0}v(x+h)=v(x)limh→0v(x+h)=v(x) 是因为 v(x)v(x)v(x) 在点 xxx 连续
法则3 证明：
[u(x)v(x)]′=lim⁡h→0u(x+h)v(x+h)−u(x)v(x)h=lim⁡h→0[u(x+h)v(x)−u(x)v(x+h)hv(x+h)v(x)]=lim⁡h→0[(u(x+h)−u(x))v(x)−u(x)(v(x+h)−v(x))hv(x+h)v(x)]=(u′(x)v(x)−u(x)v′(x))v2(x)[\frac{u(x)}{v(x)}]'=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{u(x+h)}{v(x+h)}-\frac{u(x)}{v(x)}}{h}\\=\lim_{h\to 0}[\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h)}{hv(x+h)v(x)}]\\=\lim_{h\to 0}[\frac{(u(x+h)-u(x))v(x)-u(x)(v(x+h)-v(x))}{hv(x+h)v(x)}]\\=\frac{(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))}{v^2(x)}[v(x)u(x)]′=h→0limhv(x+h)u(x+h)−v(x)u(x)=h→0lim[hv(x+h)v(x)u(x+h)v(x)−u(x)v(x+h)]=h→0lim[hv(x+h)v(x)(u(x+h)−u(x))v(x)−u(x)(v(x+h)−v(x))]=v2(x)(u′(x)v(x)−u(x)v′(x))
复合函数求导法则：
定理：若干 u=g(x)u=g(x)u=g(x) 在点 xxx 可导，而 y=f(u)y=f(u)y=f(u) 在点 u=g(x)u=g(x)u=g(x) 可导，那么复合函数 y=f[g(x)]y=f[g(x)]y=f[g(x)]在点 xxx 可导，其导函数为
dydx=f′(u)∗g′(x)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f'(u)*g'(x)dxdy=f′(u)∗g′(x)
证明：
lim⁡Δu→0ΔyΔu=f′(u)\lim_{\Delta u\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta u}=f'(u)Δu→0limΔuΔy=f′(u)
那么我们有
ΔyΔu=f′(u)+α(Δu)\frac{\Delta y}{\Delta u}=f'(u)+\alpha(\Delta u)ΔuΔy=f′(u)+α(Δu)
其中 α(Δu)\alpha(\Delta u)α(Δu) 是 Δu→0\Delta u\to 0Δu→0 时的无穷小，那么
Δy=f′(u)Δu+α(Δu)ΔuΔyΔx=f′(u)ΔuΔx+α(Δu)ΔuΔx\Delta y=f'(u)\Delta u+\alpha(\Delta u)\Delta u\\ \frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(u)\frac{\Delta u}{\Delta x}+\alpha(\Delta u)\frac{\Delta u}{\Delta x}Δy=f′(u)Δu+α(Δu)ΔuΔxΔy=f′(u)ΔxΔu+α(Δu)ΔxΔu
由于 g(x)g(x)g(x) 连续，所以 Δx→0\Delta x\to 0Δx→0 时，Δu→0\Delta u\to 0Δu→0，所以 lim⁡Δx→0α(Δu)=0\lim_{\Delta x\to 0}\alpha(\Delta u)=0limΔx→0α(Δu)=0
所以
dxdy=f′(u)∗g′(x)\frac{\text{d}x}{\text{d}y}=f'(u)*g'(x)dydx=f′(u)∗g′(x)
还有一些常见函数的求导
(tanx)′=(sinxcosx)′=cos2x+sin2xcos2x=sec2x(tan\ x)'=(\frac{sin\ x}{cos\ x})'=\frac{cos^2\ x+sin^2\ x}{cos^2\ x}=sec^2\ x(tan x)′=(cos xsin x)′=cos2 xcos2 x+sin2 x=sec2 x
(cotx)′=cosxsinx=−1sin2x=−csc2x(cot\ x)'=\frac{cos\ x}{sin\ x}=\frac{-1}{sin^2\ x}=-csc^2\ x(cot x)′=sin xcos x=sin2 x−1=−csc2 x
(secx)′=(1cosx)′=sinxcos2x=secxtanx(sec\ x)'=(\frac{1}{cos\ x})'=\frac{sin\ x}{cos^2\ x}=sec\ xtan \ x(sec x)′=(cos x1)′=cos2 xsin x=sec xtan x
(cscx)′=1sinx=−cosxsin2x=−cscxcotx(csc\ x)'=\frac{1}{sin\ x}=\frac{-cos\ x}{sin^2\ x}=-csc\ xcot\ x(csc x)′=sin x1=sin2 x−cos x=−csc xcot x
(arcsinx)′=1(siny)′=1cosy=11−sin2y=11−x2(arcsin\ x)'=\frac{1}{(sin\ y)'}=\frac{1}{cos\ y}=\frac{1}{\sqrt{1-sin^2\ y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(arcsin x)′=(sin y)′1=cos y1=1−sin2 y1=1−x21
(arccosx)′=1(cosy)′=−1siny=−11−x2(arccos\ x)'=\frac{1}{(cos\ y)'}=-\frac{1}{sin\ y}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(arccos x)′=(cos y)′1=−sin y1=−1−x21
(arctanx)′=1sec2y=11+tan2y=11+x2(arctan\ x)'=\frac{1}{sec^2 y}=\frac{1}{1+tan^2 y}=\frac{1}{1+x^2}(arctan x)′=sec2y1=1+tan2y1=1+x21
(arccotx)′=−1csc2y=−11+x2(arccot\ x)'=\frac{-1}{csc^2\ y}=-\frac{1}{1+x^2}(arccot x)′=csc2 y−1=−1+x21
莱布尼兹公式
(uv)(n)=∑i=0n(ni)u(i)v(n−i)(uv)^{(n)}=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}u^{(i)}v^{(n-i)}(uv)(n)=i=0∑n(in)u(i)v(n−i)

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常见函数求导及求导法则

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