求导法则

常数乘法法则
ddt(cu)=cdudt,c是常数\frac{d}{dt}(cu)=c\frac{du}{dt},\quad c是常数 dtd(cu)=cdtdu,c是常数
加法法则
ddt(u+v)=dudt+dvdt\frac{d}{dt} (u+v)=\frac{du}{dt}+\frac{dv}{dt} dtd(u+v)=dtdu+dtdv
乘法法则
(uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv'(uv)′=u′v+uv′
除法法则
(uv)′=u′v−uv′v2(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2} (vu)′=v2u′v−uv′
链式法则
dydt=dydxdxdt\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt} dtdy=dxdydtdx

隐函数微分

之前给出的函数都是y=f(x)y=f(x)y=f(x)的形式。隐函数就是类似于x2+y2−1=0x^2 + y^2 - 1 =0x2+y2−1=0这样的函数，yyy的表达式没有直接给出。
之前已经讲过了对指数求导公式，当指数是整数的情况：
ddx(xa)=axa−1,a=0,1,2...\frac{d}{dx}(x^a)=ax^{a-1},\quad a=0,1,2... dxd(xa)=axa−1,a=0,1,2...
现在将指数扩展到有理数域，a=m/na=m/na=m/n。上述公式也成立。

反函数求导

对于函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)，它的反函数就是x=g(y)x=g(y)x=g(y)，或者记作g=f−1(x)g=f^{-1}(x)g=f−1(x)。相当于定义域和值域交换了一下。

参考资料

视频：链式法则和高阶求导
视频：隐函数微分和逆函数求导
课件：Lecture 4 Chain Rule, and Higher Derivatives
课件：Lecture 5 ImplicitDifferentiation and Inverses

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MIT 18.01 Single Variable Calculus（单变量微积分）课堂笔记【4】——求导法则，隐函数微分和反函数求导

求导法则

隐函数微分

反函数求导

参考资料

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