微积分的核心是极限(Limit)，求导(Derivative)是微积分的重要内容，本质就是求极限。导数公式有很多, 靠死记还是比较麻烦的，但这又是微积分的基础，不然接下去导数的应用(求切线、求法线、增减性、求极值、求凹凸性等)都没法学，更不用说导数的逆运算——求积分了。所以本文想系统的梳理一下求导法则及常见函数求导公式，争取利用最少的知识把下面公式都推导出来。

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一、导数的定义

AB弦的斜率是

可以类比平均速度和瞬时速度)，可以得到求导公式：

(Differentiation from first principle)

也可以用如下公式求

那么根据上述定义，我们计算几个常见的求导公式。

（1）

（2）

因为

所以

（3）

注：

（4）

注：

（5）

又因为

所以

这里，令

所以

那么

注：根据

如果

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二、导数的四则运算及复合函数求导(The chain rule)

设

Scalar muptiplication rule:

Addition rule:

The product rule:

The quotient rule:

对于

（1）The product rule

（2）The quotient rule

根据导数的乘法与除法法则，我们就可以计算

比如下面计算一下

其他三个也可以类似的推导得到，所以只需要记住

接下去讲一个非常重要的复合函数求导——链式法则(The chain rule)：

若

用莱布尼兹表示，若

学了链式法则，那么我们就可以推导

则根据

和链式法则有

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三、隐函数求导

把能够写成

接下去我们根据隐函数求导来推导一下求导公式表中的剩下公式。

（1）

，则

,两边对x进行求导可得：

,那么

。

又因为

,

所以

那么我们也可以知道

类似的我们也可以算得剩下三个反三角函数的导数

（2）

,则

,两边对x求导可得

,

又因为

所以

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总结，我们通过导数的定义，推导了导数四则运算法则、链式法则，以及借助隐函数求导，把常见函数求导公式都推导了一遍。所以我们只需要记忆一些最基本的定义、最常见的函数求导就够了，其它复杂的忘记了现推一下也很快知道了。

这是我认为的推导常见函数求导公式比较顺的一个思路，可能还有更好的，欢迎交流讨论~

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