数学----常见函数求导过程

常见函数求导过程

前言

看了之前的导数，有了一个结论，一般导函数的表示如下：

f ′ ( t ) = lim ⁡ Δ t → 0 f ( t + Δ t ) − f ( t ) Δ t f'(t) = \lim\limits_{Δt\to 0}\frac{f(t + Δt) - f(t)}{ Δt} f′(t)=Δt→0limΔtf(t+Δt)−f(t)

我们常用还是喜欢把自变量变成x

f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x f'(x) = \lim\limits_{Δx\to 0}\frac{f(x + Δx) - f(x)}{ Δx} f′(x)=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x) ①

一次函数

一次函数，如 f ( x ) = 2 x + 1 f(x) = 2x + 1 f(x)=2x+1
那我们该如何对其进行求导呢，可以直接代入①式

f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x f'(x) = \lim\limits_{Δx\to 0}\frac{f(x + Δx) - f(x)}{ Δx} f′(x)=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)

= lim ⁡ Δ x → 0 2 ( x + Δ x ) + 1 − ( 2 x + 1 ) Δ x \lim\limits_{Δx\to 0}\frac{2(x+Δx) + 1 - (2x + 1)}{ Δx} Δx→0limΔx2(x+Δx)+1−(2x+1)

= lim ⁡ Δ x → 0 2 Δ x Δ x \lim\limits_{Δx\to 0}\frac{2Δx}{ Δx} Δx→0limΔx2Δx

= 2

可以看出，这里的 f ( x ) = 2 x + 1 f(x) = 2x + 1 f(x)=2x+1的导函数是一个常量 f ′ ( x ) = 2 f'(x) = 2 f′(x)=2
由 f ( x ) = 2 x + 1 f(x) = 2x + 1 f(x)=2x+1的函数图形其实也能够看出来，它的变化率【斜率】一直没有发生变化

二次函数

一次函数，如 f ( x ) = x 2 + 1 f(x) = x^2 + 1 f(x)=x2+1
我们继续使用①式代入

f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x f'(x) = \lim\limits_{Δx\to 0}\frac{f(x + Δx) - f(x)}{ Δx} f′(x)=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)

= lim ⁡ Δ x → 0 ( x + Δ x ) 2 + 1 − ( x 2 + 1 ) Δ x \lim\limits_{Δx\to 0}\frac{(x+Δx)^2 + 1 - (x^2+1)}{ Δx} Δx→0limΔx(x+Δx)2+1−(x2+1)

= lim ⁡ Δ x → 0 2 x Δ x + Δ x 2 Δ x \lim\limits_{Δx\to 0}\frac{2xΔx+Δx^2}{ Δx} Δx→0limΔx2xΔx+Δx2

= lim ⁡ Δ x → 0 2 x + Δ x \lim\limits_{Δx\to 0}2x+Δx Δx→0lim2x+Δx

由于 Δ x Δx Δx是趋于0的，所以最终结果如下

f ′ ( x ) = 2 x f'(x) = 2x f′(x)=2x

我们继续看二次函数的图像，其实也能够看出，它的变化率是先减后增，其实也对应着我们的导函数
f ′ ( x ) = 2 x f'(x) = 2x f′(x)=2x ，是先负后正

再回到我们的①式，

f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x f'(x) = \lim\limits_{Δx\to 0}\frac{f(x + Δx) - f(x)}{ Δx} f′(x)=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x) ①

可以看出如下结果：
当分数上下正负同号的时候，导数为正，意思就是 x x x增加的时候，函数增加，函数式递增
当分数上下正负不同号的时候，导数为负，意思就是 x x x增加的时候，函数反而减小，函数式递减
当分子=0，导数=0，意思就是 x x x增加的时候，函数不发生变化

`结论：`

`①导数为负，函数递减`

`②导数为正，函数递增`

`③导数为0，函数不变化`

还有其他的函数求导，例如 e x ， x a ， a x ， l i n x s i n x c o s x e^x，x^a ， a^x，linx sinx cosx ex，xa，ax，linxsinxcosx等要麻烦一些，后面推导