常见的拉普拉斯变换对

对于有理分式，求解拉氏逆变换最常用的方式是部分分式分解法。一个有理分式可以表示为
H(s)=B(s)A(s)=∑n=0Nbnsn∑m=0MamsmH(s) = \frac{B(s)}{A(s)} = \frac{\displaystyle\sum_{n=0}^{N} b_n s^n}{\displaystyle\sum_{m=0}^{M} a_m s^m}H(s)=A(s)B(s)=m=0∑Mamsmn=0∑Nbnsn

部分分式分解建立在极点分解的基础。极点即是分母 A(s)A(s)A(s) 的根，它有三中类型，即单根极点、共轭复根极点和重根极点，根据三种极点类型，该分式可以分解为

H(s)=∑iAis−pi+∑jBjs+Cj(s+αj)2+βj2+∑m∑r=1kDr(s−pm)rH(s) = \sum_{i} \frac{A_i}{s-p_i} + \sum_{j} \frac{B_j s + C_j}{(s+\alpha_j)^2 + \beta_j^2} + \sum_{m} \sum_{r=1}^{k} \frac{D_r}{(s-p_m)^r} H(s)=i∑s−piAi+j∑(s+αj)2+βj2Bjs+Cj+m∑r=1∑k(s−pm)rDr

其中，

pip_ipi 是单根极点，对应的是阶跃信号、指数信号的变换式；
αj±jβj\alpha_j \pm j \beta_jαj±jβj 是共轭复根极点，对应的是正弦信号和正弦衰减信号的变换式；
pmp_mpm 是 kkk 阶重根极点，对应的是斜变信号以及和斜变信号相乘的信号的变换式；
若有理分式为假分式，则可能存在直流项或正幂次项，对应的是冲激信号或高阶冲激信号。

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