信号与系统(Python) 学习笔记 (6) 拉普拉斯变换 Laplace Transform
- 【总目录】
- (1) 简介 Intro
- (2) 傅里叶 Fourier
- 常用函数的傅里叶变换汇总
- (3) LTI 系统 与 滤波器
- 二次抑制载波振幅调制接收系统 Python
- (4) 取样 Sampling
- (5) 离散傅里叶 Discrete Fourier
- (6) 拉普拉斯变换 Laplace Transform
文章目录
- 6. 拉普拉斯变换
- 6.1. 拉普拉斯变换 Laplace Transform
- 6.1.1 双边拉普拉斯变换的定义
- 6.1.2 收敛域
- 6.1.3 单边拉氏变换的定义
- 6.1.4 单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
- 6.1.5 常见信号的拉普拉斯变换
- 6.2. 拉普拉斯变换的性质
- 6.2.1 线性性质
- 6.2.2 尺度变换
- 6.2.3 时移性质
- 6.2.4. 复频移特性
- 6.2.5. 时域微分特性
- 6.2.6. 时域积分特性
- 6.2.7. 复频域微分和积分
- 6.2.8. 时域卷积定理
- 6.2.9. 复频域卷积定理
- 6.2.10. 初值 终值 定理
- 6.3. 拉普拉斯反变换
- 6.3.1. 拉普拉斯反变换
- 6.3.2. 部分分式展开法
6. 拉普拉斯变换
6.1. 拉普拉斯变换 Laplace Transform
6.1.1 双边拉普拉斯变换的定义
有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因 e−σt{\color{blue}e^{-\sigma t}}e−σt (σ{\color{red}\sigma}σ 为实常数）乘信号 f(t)f(t)f(t), 适当选取 σ\sigmaσ 的值， 使乘积信号 f(t)e−σtf(t) e^{-\sigma t}f(t)e−σt 当 t→∞t\to \inftyt→∞ 时 信号幅度趋近于 000, 从而使 f(t)e−σtf(t) e^{-\sigma t}f(t)e−σt 的傅里叶变换存在。
Fb(σ+jω)=F[f(t)e−σt]=∫−∞∞f(t)e−σte−jωtdt=∫−∞∞f(t)e−(σ+jω)tdt\begin{aligned}F_b ({\color{red}\sigma} + j \omega) & =\mathfrak{F}\big[ f(t) {\color{red}e^{-\sigma t} }\big] \\ & = \int^{\infty}_{-\infty}f(t) {\color{red}e^{-\sigma t}} e^{-j\omega t}dt \\ & = \int^{\infty}_{-\infty}f(t) e^{-({\color{red}\sigma} + j\omega)t} dt \end{aligned}Fb(σ+jω)=F[f(t)e−σt]=∫−∞∞f(t)e−σte−jωtdt=∫−∞∞f(t)e−(σ+jω)tdt相应的傅里叶逆变换为:
f(t)e−σt=12π∫−∞∞Fb(σ+jω)ejωtdωf(t){\color{red}e^{-\sigma t}} = \frac{1}{2\pi} \int^{\infty}_{-\infty} F_b ({\color{red}\sigma} + j\omega) e^{j\omega t} d \omegaf(t)e−σt=2π1∫−∞∞Fb(σ+jω)ejωtdω
f(t)=12π∫−∞∞Fb(σ+jω)e(σ+jω)tdωf(t) = \frac{1}{2\pi} \int^{\infty}_{-\infty} F_b ({\color{red}\sigma} + j\omega) e^{({\color{red}\sigma} +j\omega) t} d \omegaf(t)=2π1∫−∞∞Fb(σ+jω)e(σ+jω)tdω令 s=σ+jω,dω=ds/j{\color{red}s = \sigma + j\omega}, \; d \omega = ds/js=σ+jω,dω=ds/j 有:
Fb(s)=∫−∞∞f(t)e−stdtF_b ({\color{red}s}) = \int^{\infty}_{-\infty}f(t) e^{-{\color{red}s}t} dtFb(s)=∫−∞∞f(t)e−stdt
f(t)=12πj∫σ−j∞σ+j∞Fb(s)estdsf({\color{red}t}) = \frac{1}{2\pi {\color{blue}j}} \int^{{\color{blue}\sigma+ j}\infty}_{{\color{blue}\sigma -j}\infty} F_b ({\color{blue}s}) e^{{\color{blue}s}{\color{red} t}} d {\color{blue}s}f(t)=2πj1∫σ−j∞σ+j∞Fb(s)estdsFb(s)F_b(s)Fb(s) 称为 f(t)f(t)f(t) 的双边拉氏变换（或象函数），
f(t)f(t)f(t) 称为Fb(s)F_b(s)Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）
6.1.2 收敛域
只有选择适当的 σ\sigmaσ 值才能使积分收敛，信号 f(t)f(t)f(t) 的双边拉普拉斯变换存在
收敛域：使 f(t)f(t)f(t) 拉氏变换存在的 σ\sigmaσ 取值范围。
例1: 因果信号 f1(t)=eαtε(t)f_1(t) = e^{\alpha t} \varepsilon (t)f1(t)=eαtε(t), 求其拉普拉斯变换:
F1b(s)=∫0∞eαte−stdt=1s−α[1−limt→∞e−(σ−α)te−jωt]={1s−α,Re[s]=σ>α不定,Re[s]=σ=α无界,Re[s]=σ<α\begin{aligned}F_{1b}(s) & = \int^{\infty}_0 e^{\alpha t} e^{-st}dt\\& = \frac{1}{s-\alpha} \big[ 1-\lim_{t\to\infty} e^{-(\sigma-\alpha)t} e^{-j\omega t}\big] \\ & = \begin{cases}\frac{1}{s-\alpha} ,\; &\mathcal{Re}[s] = \sigma > \alpha \\ 不定, \; &\mathcal{Re}[s] = \sigma = \alpha \\ 无界 ,\; &\mathcal{Re}[s] = \sigma < \alpha \end{cases}\end{aligned}F1b(s)=∫0∞eαte−stdt=s−α1[1−t→∞lime−(σ−α)te−jωt]=⎩⎪⎨⎪⎧s−α1,不定,无界,Re[s]=σ>αRe[s]=σ=αRe[s]=σ<α- 可见，对于因果信号，仅当 Re[s]=σ>α\mathcal{Re}[s]=\sigma>\alphaRe[s]=σ>α 时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。
例2: 反因果信号 f2(t)=eβtε(−t)f_2(t) = e^{\beta t} \varepsilon (-t)f2(t)=eβtε(−t), 求其拉普拉斯变换:
F2b(s)=∫−∞0eβte−stdt=−1s−β[1−limt→−∞e−(σ−β)te−jωt]={−1s−β,Re[s]=σ<β不定,Re[s]=σ=β无界,Re[s]=σ>β\begin{aligned}F_{2b}(s) & = \int^0_{-\infty} e^{\beta t} e^{-st}dt\\& = \frac{-1}{s-\beta} \big[ 1-\lim_{t\to-\infty} e^{-(\sigma-\beta)t} e^{-j\omega t}\big] \\ & = \begin{cases}\frac{-1}{s-\beta} ,\; &\mathcal{Re}[s] = \sigma < \beta \\ 不定, \; &\mathcal{Re}[s] = \sigma = \beta \\ 无界 ,\; &\mathcal{Re}[s] = \sigma > \beta \end{cases}\end{aligned}F2b(s)=∫−∞0eβte−stdt=s−β−1[1−t→−∞lime−(σ−β)te−jωt]=⎩⎪⎨⎪⎧s−β−1,不定,无界,Re[s]=σ<βRe[s]=σ=βRe[s]=σ>β- 可见，对于反因果信号，仅当 Re[s]=σ<β\mathcal{Re}[s]=\sigma<\betaRe[s]=σ<β 时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。
- 可见，对于反因果信号，仅当 Re[s]=σ<β\mathcal{Re}[s]=\sigma<\betaRe[s]=σ<β 时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。
例3: 双边信号
f3(t)=f1(t)+f2(t)={eβt,t<0eαtt>0\begin{aligned}f_3(t) = f_1(t) + f_2(t) = \begin{cases}e^{\beta t}, & t<0 \\ e^{\alpha t} &t>0 \end{cases}\end{aligned}f3(t)=f1(t)+f2(t)={eβt,eαtt<0t>0- 仅当 β>α\beta > \alphaβ>α 其收敛域为 α<Re[s]<β\alpha< \mathcal{Re} [s] <\betaα<Re[s]<β 的一个带状区域，如图所示。
- 仅当 β>α\beta > \alphaβ>α 其收敛域为 α<Re[s]<β\alpha< \mathcal{Re} [s] <\betaα<Re[s]<β 的一个带状区域，如图所示。
双边拉氏变换必须标出收敛域。
对于双边拉普拉斯变换而言，Fb(s)F_b(s)Fb(s) 和收敛域一起，可以唯一地确定 f(t)f(t)f(t)。即
f(t)⟷一一对应Fb(S)+收敛域f(t) \overset{\text{一一对应}}{\longleftrightarrow} F_b(S) + {\color{blue} \text{收敛域}}f(t)⟷一一对应Fb(S)+收敛域不同的信号可以有相同的 Fb(s)F_b(s)Fb(s) ，但收敛域不同。
6.1.3 单边拉氏变换的定义
- 通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。
- 这样, t<0t<0t<0 时, f(t)=0f(t) = 0f(t)=0。 从而拉氏变换式写为:
F(s)=∫0−∞f(t)e−stdtF(s) = \int^{\infty}_{0_-} f(t) e^{-st} dtF(s)=∫0−∞f(t)e−stdt- 称为单边拉氏变换。 简称拉氏变换。
- 其收敛域一定是 Re[s]>αRe[s]>\alphaRe[s]>α ，可以省略。
- F(s)=L[f(t)]F(s) = \mathfrak{L}[f(t)]F(s)=L[f(t)]
L[f(t)]=F(s)=def∫0∞f(t)e−stdt\mathfrak{L}[f(t)] = F(s) \overset{\text{def}}{=} \int^{\infty}_{0} f(t) e^{-st} dtL[f(t)]=F(s)=def∫0∞f(t)e−stdt - f(t)=L−1[F(s)]f(t) = \mathfrak{L}^{-1}[F(s)]f(t)=L−1[F(s)]
L−1[F(s)]=f(t)=def[12πj∫σ−j∞σ+j∞Fb(s)estds]ε(t)\mathfrak{L}^{-1}[F(s)] =f(t) \overset{\text{def}}{=} \Big[\frac{1}{2\pi j} \int^{\sigma+ j\infty}_{\sigma -j\infty} F_b (s) e^{s t} d s\Big]\varepsilon(t)L−1[F(s)]=f(t)=def[2πj1∫σ−j∞σ+j∞Fb(s)estds]ε(t)
f(t)⟷1-to-1F(s){\color{red}f(t)\overset{\text{1-to-1}}{\longleftrightarrow} F(s)}f(t)⟷1-to-1F(s)
6.1.4 单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
F(s)=∫0∞f(t)e−stdt,Re[s]>σ0F(s) = \int^{\infty}_{0} f(t) e^{-st} dt, \; \mathcal{Re}[s] >\sigma_0F(s)=∫0∞f(t)e−stdt,Re[s]>σ0
F(jω)=∫0∞f(t)e−jωtdtF(j\omega) = \int^{\infty}_{0} f(t) e^{-j\omega t} dtF(jω)=∫0∞f(t)e−jωtdt
要讨论其关系，f(t)f(t)f(t) 必须为因果信号:
根据收敛坐标 σ0<0\sigma_0<0σ0<0 的值可分为以下三种情况:
σ0<0\sigma_0<0σ0<0，即 F(s)F(s)F(s) 的收敛域包含 jωj\omegajω 轴，则 f(t)f(t)f(t) 的傅里叶变换存在，并且
F(jω)=F(s)∣s=jωF(j\omega)=F(s)\big\vert_{s=j\omega}F(jω)=F(s)∣∣s=jω- 如 f(t)=e−2tε(t)⟷F(s)=1/(s+2),σ>−2f(t) = e^{-2t} \varepsilon(t) \longleftrightarrow F(s) = 1/(s+2), \; \sigma >-2f(t)=e−2tε(t)⟷F(s)=1/(s+2),σ>−2
- 则 F(jω)=1/(jω+2)F(j\omega) = 1/(j\omega+2)F(jω)=1/(jω+2)
σ0=0\sigma_0=0σ0=0，即 F(s)F(s)F(s) 的收敛边界为 jωj\omegajω 轴，则
F(jω)=limσ→0F(s)F(j\omega)=\lim_{\sigma\to0}F(s)F(jω)=σ→0limF(s)- 如 f(t)=ε(t)⟷F(s)=1/sf(t) = \varepsilon(t) \longleftrightarrow F(s) = 1/sf(t)=ε(t)⟷F(s)=1/s
- 则
F(jω)=limσ→01σ+jω=limσ→0σσ2+ω2+limσ→0−jωσ2+ω2=πδ(ω)+1jω\begin{aligned} F(j\omega) &=\lim_{\sigma\to0}\frac{1}{\sigma+j\omega}\\ & = \lim_{\sigma\to0} \frac{\sigma}{\sigma^2 + \omega^2} + \lim_{\sigma\to0}\frac{-j\omega}{\sigma^2+\omega^2} \\&= \pi \delta(\omega) +\frac{1}{j\omega}\end{aligned}F(jω)=σ→0limσ+jω1=σ→0limσ2+ω2σ+σ→0limσ2+ω2−jω=πδ(ω)+jω1
σ0>0\sigma_0>0σ0>0，即 F(jω)F(j\omega)F(jω) 不存在。
- 如 f(t)=e2tε(t)⟷F(s)=1/(s−2),σ>2f(t) = e^{2t} \varepsilon(t) \longleftrightarrow F(s) = 1/(s-2), \; \sigma >2f(t)=e2tε(t)⟷F(s)=1/(s−2),σ>2
- 则其傅里叶变换 F(jω)F(j\omega)F(jω) 不存在
6.1.5 常见信号的拉普拉斯变换
δ(t)⟵⟶1,σ>−∞ε(t)⟵⟶1s,σ>01⟵⟶1s,σ>0es0t⟵⟶1s−s0,σ>Re[s0]cos(ω0t)=ejω0t+e−jω0t2⟵⟶ss2+ω02sin(ω0t)=ejω0t−e−jω0t2j⟵⟶ω0s2+ω02fT(t)⟵⟶11−e−sT∫0TfT(t)e−stdtδT(t)⟵⟶11−e−sT\begin{aligned} \displaystyle \delta(t) \longleftarrow & \longrightarrow 1,\; \sigma > -\infty \\ \varepsilon(t)\longleftarrow & \longrightarrow \frac{1}{s},\; \sigma > 0 \\ 1 \longleftarrow & \longrightarrow \frac{1}{s},\; \sigma >0 \\ e^{s_0 t} \longleftarrow & \longrightarrow \frac{1}{s-s_0}, \; \sigma > \mathcal{Re}[s_0] \\ \cos(\omega_0 t) = \frac{e^{j\omega_0 t} + e^{-j\omega_0 t}}{2} \longleftarrow & \longrightarrow \frac{s}{s^2 +\omega_0^2} \\ \sin(\omega_0 t) = \frac{e^{j\omega_0 t} - e^{-j\omega_0 t}}{2j} \longleftarrow & \longrightarrow \frac{\omega_0}{s^2 +\omega_0^2} \\ f_T(t) \longleftarrow & \longrightarrow \frac{1}{1-e^{-sT}} \int^{T}_{0} f_T(t) e^{-st} dt \\ \delta_T(t) \longleftarrow & \longrightarrow \frac{1}{1-e^{-sT}} \end{aligned}δ(t)⟵ε(t)⟵1⟵es0t⟵cos(ω0t)=2ejω0t+e−jω0t⟵sin(ω0t)=2jejω0t−e−jω0t⟵fT(t)⟵δT(t)⟵⟶1,σ>−∞⟶s1,σ>0⟶s1,σ>0⟶s−s01,σ>Re[s0]⟶s2+ω02s⟶s2+ω02ω0⟶1−e−sT1∫0TfT(t)e−stdt⟶1−e−sT1
- 周期信号 fT(t)f_T(t)fT(t) 解释:
FT(s)=∫0∞fT(t)e−stdt=∫0TfT(t)e−stdt+∫T2TfT(t)e−stdt+⋯=∑n=0∞∫nT(n+1)TfT(t)e−stdt\begin{aligned}F_T(s) & = \int^{\infty}_0 f_T(t) e^{-st} dt \\ &= \int^{T}_0 f_T(t) e^{-st} dt + \int^{2T}_T f_T(t) e^{-st} dt + \cdots \\ & = \sum^{\infty}_{n=0} \int^{(n+1)T}_{nT} f_T(t) e^{-st} dt\end{aligned}FT(s)=∫0∞fT(t)e−stdt=∫0TfT(t)e−stdt+∫T2TfT(t)e−stdt+⋯=n=0∑∞∫nT(n+1)TfT(t)e−stdt
令 t=t+nTt = t+nTt=t+nT:
∑n=0∞e−nsT∫0TfT(t)e−stdt=11−e−sT∫0TfT(t)e−stdt\sum^{\infty}_{n=0} e^{-nsT} \int^{T}_{0} f_T(t) e^{-st} dt = \frac{1}{1-e^{-sT}} \int^{T}_{0} f_T(t) e^{-st} dtn=0∑∞e−nsT∫0TfT(t)e−stdt=1−e−sT1∫0TfT(t)e−stdt
6.2. 拉普拉斯变换的性质
6.2.1 线性性质
- 若
f1(t)⟵⟶F1(s),Re[s]>σ1f2(t)⟵⟶F2(s),Re[s]>σ2a1f1(t)+a2f2(t)⟵⟶a1F1(s)+a2F2(s),Re[s]>max(σ1,σ2)\begin{aligned} \displaystyle f_1(t) \longleftarrow & \longrightarrow F_1(s),\; & \mathcal{Re}[s]>\sigma_1 \\ f_2(t) \longleftarrow & \longrightarrow F_2(s),\; & \mathcal{Re}[s]>\sigma_2 \\ a_1f_1(t) + a_2f_2(t) \longleftarrow & \longrightarrow a_1F_1(s) + a_2F_2(s) ,\;& \mathcal{Re}[s]>\max(\sigma_1,\sigma_2)\\ \end{aligned}f1(t)⟵f2(t)⟵a1f1(t)+a2f2(t)⟵⟶F1(s),⟶F2(s),⟶a1F1(s)+a2F2(s),Re[s]>σ1Re[s]>σ2Re[s]>max(σ1,σ2)
6.2.2 尺度变换
- 若
f(t)⟵⟶F(s),实数α>0,Re[s]>σ0f(αt)⟵⟶1αF(sα),Re[s]>ασ0\begin{aligned} \displaystyle f(t) \longleftarrow & \longrightarrow F(s), \; &{\color{red} 实数 \alpha >0} ,\; \mathcal{Re}[s]>\sigma_0\\ f(\alpha t) \longleftarrow & \longrightarrow \frac{1}{\alpha}F(\frac{s}{\alpha}) ,\; &\mathcal{Re}[s]>\alpha\sigma_0\\ \end{aligned}f(t)⟵f(αt)⟵⟶F(s),⟶α1F(αs),实数α>0,Re[s]>σ0Re[s]>ασ0
6.2.3 时移性质
若
f(t)⟵⟶F(s),Re[s]>σ0,实常数t0>0,Re[s]>σ0f(t−t0)ε(t−t0)⟵⟶e−st0F(s),Re[s]>σ0f(αt−t0)ε(αt−t0)⟵⟶1αe−t0αsF(sα),实数α>0,Re[s]>σ0\begin{aligned} \displaystyle f(t) \longleftarrow & \longrightarrow F(s),\; \mathcal{Re}[s]>\sigma_0,\; &{\color{red} 实常数 t_0 >0} ,\; \mathcal{Re}[s]>\sigma_0\\ f(t-t_0){\color{red}\varepsilon(t-t_0)} \longleftarrow & \longrightarrow e^{-st_0} F(s) ,\; & \mathcal{Re}[s]>\sigma_0\\ f(\alpha t-t_0){\color{red}\varepsilon(\alpha t-t_0)} \longleftarrow & \longrightarrow \frac{1}{\alpha} e^{-\frac{t_0}{\alpha} s} F(\frac{s}{\alpha}) ,\; &{\color{red} 实数 \alpha >0} ,\; \mathcal{Re}[s]>\sigma_0\\ \end{aligned}f(t)⟵f(t−t0)ε(t−t0)⟵f(αt−t0)ε(αt−t0)⟵⟶F(s),Re[s]>σ0,⟶e−st0F(s),⟶α1e−αt0sF(αs),实常数t0>0,Re[s]>σ0Re[s]>σ0实数α>0,Re[s]>σ0若 f(t)f(t)f(t) 为 因果信号,
f(t−t0)⟵⟶e−st0F(s)f(t-t_0)\longleftarrow \longrightarrow e^{-st_0} F(s)f(t−t0)⟵⟶e−st0F(s)
6.2.4. 复频移特性
- 若
f(t)⟵⟶F(s),复常数sα=σα+jωα,Re[s]>σ0f(t)esαt⟵⟶F(s−sα),Re[s]>σ0+σα\begin{aligned} \displaystyle f(t) \longleftarrow & \longrightarrow F(s), \; &{\color{red} 复常数 s_\alpha = \sigma_\alpha+ j\omega_\alpha} ,\; \mathcal{Re}[s]>\sigma_0\\ f(t)e^{s_\alpha t} \longleftarrow & \longrightarrow F(s-s_\alpha),\; &\mathcal{Re}[s]>\sigma_0+\sigma_\alpha\\ \end{aligned}f(t)⟵f(t)esαt⟵⟶F(s),⟶F(s−sα),复常数sα=σα+jωα,Re[s]>σ0Re[s]>σ0+σα
6.2.5. 时域微分特性
若
f(t)⟵⟶F(s),Re[s]>σ0f′(t)⟵⟶sF(s)−f(0−)f′′(t)⟵⟶s2F(s)−sf(0−)−f′(0−)\begin{aligned} \displaystyle f(t) \longleftarrow & \longrightarrow F(s), \; &\mathcal{Re}[s]>\sigma_0\\ f^{\prime}(t) \longleftarrow & \longrightarrow sF(s)-f(0_-)\\ f^{\prime\prime}(t) \longleftarrow & \longrightarrow s^2 F(s)-sf(0_-)-f^{\prime}(0_-)\\\end{aligned}f(t)⟵f′(t)⟵f′′(t)⟵⟶F(s),⟶sF(s)−f(0−)⟶s2F(s)−sf(0−)−f′(0−)Re[s]>σ0若f(t)f(t)f(t)为 因果信号，则
f(n)(t)⟵⟶snF(s)f^{(n)} (t) \longleftarrow \longrightarrow s^n F(s)f(n)(t)⟵⟶snF(s)
6.2.6. 时域积分特性
若
f(t)⟵⟶F(s),Re[s]>σ0∫0−tf(x)dx⟵⟶1sF(s)(∫0−t)nf(x)dx⟵⟶1snF(s)f(−1)(t)=∫−∞tf(x)dx⟵⟶s−1F(s)+s−1f(−1)(0−)\begin{aligned} \displaystyle f(t) \longleftarrow & \longrightarrow F(s), \; &\mathcal{Re}[s]>\sigma_0\\ \int^{t}_{0_-} f(x)dx \longleftarrow & \longrightarrow \frac{1}{s}F(s)\\ \Big(\int^{t}_{0_-}\Big)^n f(x)dx \longleftarrow & \longrightarrow \frac{1}{s^n}F(s)\\ f^{(-1)}(t) = \int^{t}_{-\infty} f(x)dx \longleftarrow & \longrightarrow s^{-1}F(s)+s^{-1}f^{(-1)}(0_-)\\\end{aligned}f(t)⟵∫0−tf(x)dx⟵(∫0−t)nf(x)dx⟵f(−1)(t)=∫−∞tf(x)dx⟵⟶F(s),⟶s1F(s)⟶sn1F(s)⟶s−1F(s)+s−1f(−1)(0−)Re[s]>σ0若f(t)f(t)f(t)为 因果信号，则
f(t)⟵⟶Fn(s)snf (t) \longleftarrow \longrightarrow \frac{F_n(s)}{s^n} f(t)⟵⟶snFn(s)
6.2.7. 复频域微分和积分
- 若
f(t)⟵⟶F(s),Re[s]>σ0(−t)f(t)⟵⟶dF(s)ds(−t)nf(t)⟵⟶dnF(s)dsnf(t)t⟵⟶∫s∞F(η)dη\begin{aligned} \displaystyle f(t) \longleftarrow & \longrightarrow F(s), \; &\mathcal{Re}[s]>\sigma_0\\ (-t) f(t) \longleftarrow & \longrightarrow \frac{d F(s)}{ds}\\ (-t)^n f(t) \longleftarrow & \longrightarrow \frac{d^n F(s)}{d s^n}\\ \frac{f(t)}{t} \longleftarrow & \longrightarrow \int^{\infty}_{s} F(\eta)d\eta\\ \end{aligned}f(t)⟵(−t)f(t)⟵(−t)nf(t)⟵tf(t)⟵⟶F(s),⟶dsdF(s)⟶dsndnF(s)⟶∫s∞F(η)dηRe[s]>σ0
6.2.8. 时域卷积定理
- 若 因果函数:
f1(t)⟵⟶F1(s),Re[s]>σ1f2(t)⟵⟶F2(s),Re[s]>σ2f1(t)⋆f2(t)⟵⟶F1(s)⋅F2(s),Re[s]>max(σ1,σ2)\begin{aligned} \displaystyle f_1(t) \longleftarrow & \longrightarrow F_1(s),\; & \mathcal{Re}[s]>\sigma_1 \\ f_2(t) \longleftarrow & \longrightarrow F_2(s),\; & \mathcal{Re}[s]>\sigma_2 \\ f_1(t) \star f_2(t) \longleftarrow & \longrightarrow F_1(s) \cdot F_2(s) ,\;& \mathcal{Re}[s]>\max(\sigma_1,\sigma_2)\\ \end{aligned}f1(t)⟵f2(t)⟵f1(t)⋆f2(t)⟵⟶F1(s),⟶F2(s),⟶F1(s)⋅F2(s),Re[s]>σ1Re[s]>σ2Re[s]>max(σ1,σ2)
6.2.9. 复频域卷积定理
- 若 因果函数:
f1(t)⟵⟶F1(s),Re[s]>σ1f2(t)⟵⟶F2(s),Re[s]>σ2f1(t)⋅f2(t)⟵⟶12πj∫c−j∞c+j∞F1(η)⋅F2(s−η)dη,Re[s]>max(σ1,σ2)\begin{aligned} \displaystyle f_1(t) \longleftarrow & \longrightarrow F_1(s),\; & \mathcal{Re}[s]>\sigma_1 \\ f_2(t) \longleftarrow & \longrightarrow F_2(s),\; & \mathcal{Re}[s]>\sigma_2 \\ f_1(t) \cdot f_2(t) \longleftarrow & \longrightarrow \frac{1}{2\pi j} \int^{c+j\infty}_{c-j\infty} F_1(\eta) \cdot F_2(s-\eta)d\eta ,\;& \mathcal{Re}[s]>\max(\sigma_1,\sigma_2)\\ \end{aligned}f1(t)⟵f2(t)⟵f1(t)⋅f2(t)⟵⟶F1(s),⟶F2(s),⟶2πj1∫c−j∞c+j∞F1(η)⋅F2(s−η)dη,Re[s]>σ1Re[s]>σ2Re[s]>max(σ1,σ2)
6.2.10. 初值 终值 定理
初值定理和终值定理常用于由 F(s)F(s)F(s) 直接求 f(0+)f(0+)f(0+) 和 f(∞)f(\infty)f(∞) ,而不必求出原函数 f(t)f(t)f(t)。
初值定理:
- 设函数 f(t)f(t)f(t) 不含 δ(t)\delta(t)δ(t) 及其各阶导数（即 F(s)F(s)F(s) 为真分式，若 F(s)F(s)F(s) 为假分式化为真分式），则:
f(0+)=limt→0+f(t)=lims→∞sF(s)f(0_+) = \lim_{t\to0_+} f(t) = \lim_{s\to\infty} s F(s)f(0+)=t→0+limf(t)=s→∞limsF(s)
- 设函数 f(t)f(t)f(t) 不含 δ(t)\delta(t)δ(t) 及其各阶导数（即 F(s)F(s)F(s) 为真分式，若 F(s)F(s)F(s) 为假分式化为真分式），则:
终值定理:
- 若 f(t)f(t)f(t)，当 t→∞t\to \inftyt→∞ 时存在, 并且 f(t)↔F(s)f(t) \leftrightarrow F(s)f(t)↔F(s) , Re[s]>σ0\mathcal{Re}[s]>\sigma_0Re[s]>σ0 , σ0<0\sigma_0<0σ0<0, 则:
f(∞)=lims→0sF(s)f(\infty) =\lim_{s\to 0} sF(s)f(∞)=s→0limsF(s)
- 若 f(t)f(t)f(t)，当 t→∞t\to \inftyt→∞ 时存在, 并且 f(t)↔F(s)f(t) \leftrightarrow F(s)f(t)↔F(s) , Re[s]>σ0\mathcal{Re}[s]>\sigma_0Re[s]>σ0 , σ0<0\sigma_0<0σ0<0, 则:
6.3. 拉普拉斯反变换
f(t)=L−1[F(s)]⟷L[f(t)]=F(s)f(t) = \mathfrak{L}^{-1}[F(s)] \longleftrightarrow \mathfrak{L} [f(t)] = F(s) f(t)=L−1[F(s)]⟷L[f(t)]=F(s)
6.3.1. 拉普拉斯反变换
直接利用定义式求反变换—复变函数积分，比较困难。
通常的方法:
- 查表；
- 利用性质；
- 部分分式展开 --结合。
若象函数 F(s)F(s)F(s) 是 sss 的有理分式, 可写为:
F(s)=bmsm+bm−1sm−1+⋯+b1s+b0sn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0{\color{blue}F(s) = \displaystyle \frac{b_m s^m + b_{m-1}s^{m-1} + \cdots + b_1 s + b_0}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots +a_1s+a_0}}F(s)=sn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0bmsm+bm−1sm−1+⋯+b1s+b0若 m≥nm\geq nm≥n （假分式），可用多项式除法将象函数 F(s)F(s)F(s) 分解为
有理多项式P(s)+有理真分式{\color{blue}有理多项式 P(s)+ 有理真分式}有理多项式P(s)+有理真分式
F(s)=P(s)+B0(s)A(s){\color{blue}F(s) = P(s) + \frac{B_0(s)}{A(s)}}F(s)=P(s)+A(s)B0(s)P(s)P(s)P(s) 的拉普拉斯逆变换由冲激函数及其各阶导数构成。
- 例: P(s)→a1s2+a2s+a3→a1δ′′(t)+a2δ′(t)+a3δ(t)P(s)\to a_1 s^2 + a_2 s + a_3 \to a_1\delta^{\prime\prime}(t) + a_2 \delta^{\prime}(t) +a_3\delta(t)P(s)→a1s2+a2s+a3→a1δ′′(t)+a2δ′(t)+a3δ(t)
下面主要讨论有理真分式。
6.3.2. 部分分式展开法
- 若 F(s)F(s)F(s) 是 sss 的实系数有理真分式 (m<n)(m<n)(m<n)，则
F(s)=B(s)A(s)=bmsm+bm−1sm−1+⋯+b1s+b0sn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0{\color{blue}F(s) = \displaystyle \frac{B(s)}{A(s)} = \displaystyle \frac{b_m s^m + b_{m-1}s^{m-1} + \cdots + b_1 s + b_0}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots +a_1s+a_0}}F(s)=A(s)B(s)=sn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0bmsm+bm−1sm−1+⋯+b1s+b0- 式中 A(s)A(s)A(s) 称为 F(s)F(s)F(s) 的 特征多项式 (characteristic polynomial)，方程 A(s)=0A(s)=0A(s)=0 称为 特征方程，它的根称为 特征根，也称为 F(s)F(s)F(s) 的 固有频率（或自然频率）。nnn个特征根 pip_ipi 称为 F(s)F(s)F(s) 的 极点
F(s)F(s)F(s) 为单极点（单根）
F(s)=B(s)A(s)=K1s−p1+K2s−p2+⋯+Kis−pi+⋯+Kns−pnF(s) = \displaystyle \frac{B(s)}{A(s)} = \frac{K_1}{s-p_1}+\frac{K_2}{s-p_2}+ \cdots + \frac{K_i}{s-p_i}+ \cdots + \frac{K_n}{s-p_n}F(s)=A(s)B(s)=s−p1K1+s−p2K2+⋯+s−piKi+⋯+s−pnKn
Ki=(s−pi)F(s)∣s=piK_i = (s - p_i) F(s) \big\vert _{s=pi}Ki=(s−pi)F(s)∣∣s=pi
L−1[1s−pi]=epitε(t)\mathfrak{L}^{-1} \big[ \frac{1}{s-p_i} \big] = e^{p_i t} \varepsilon(t)L−1[s−pi1]=epitε(t)- 特例 F(s)F(s)F(s) 包含共轭复根时 (p1,2=−α±jβp_{1,2} = -\alpha\pm j\betap1,2=−α±jβ):
F(s)=B(s)D(s)[(s+α)2+β2]=B(s)D(s)(s+α−jβ)(s+α+jβ)=K1s+α−jβ+K2s+α+jβ+F2(s)K1=[(s+α−jβ)F(s)]∣s=−α+jβ=∣K1∣ejθ=A+jBK2=K1∗=∣K1∣e−jθ=A−jBF1(s)=K1s+α−jβ+K2s+α+jβ=∣K1∣ejθs+α−jβ+∣K1∣e−jθs+α+jβf1(t)=2∣K1∣e−αtcos(βt+θ)ε(t)\begin{aligned} F(s) &= \displaystyle \frac{B(s)}{D(s)[(s+\alpha)^2 + \beta^2]}\\ &= \displaystyle \frac{B(s)}{D(s)(s+\alpha-j\beta)(s+\alpha+j\beta)}\\ &= \displaystyle \frac{K_1}{s+\alpha-j\beta}+\frac{K_2}{s+\alpha+j\beta}+F_2(s)\\ K_1 &= [(s+\alpha - j\beta)F(s)]\big\vert_{s=-\alpha +j\beta} \\ &= \lvert K_1\rvert e^{j\theta} \\ &=A+jB \\ K_2 &= K_1^* = \lvert K_1 \rvert e^{-j\theta} = A -jB\\ F_1(s) &= \displaystyle \frac{K_1}{s+\alpha-j\beta}+\frac{K_2}{s+\alpha+j\beta}\\ & = \displaystyle \frac{\lvert K_1\rvert e^{j\theta}}{s+\alpha-j\beta}+\frac{\lvert K_1 \rvert e^{-j\theta}}{s+\alpha+j\beta}\\ f_1(t) &= 2 \lvert K_1\rvert e^{-\alpha t} \cos(\beta t + \theta) \varepsilon(t)\end{aligned}F(s)K1K2F1(s)f1(t)=D(s)[(s+α)2+β2]B(s)=D(s)(s+α−jβ)(s+α+jβ)B(s)=s+α−jβK1+s+α+jβK2+F2(s)=[(s+α−jβ)F(s)]∣∣s=−α+jβ=∣K1∣ejθ=A+jB=K1∗=∣K1∣e−jθ=A−jB=s+α−jβK1+s+α+jβK2=s+α−jβ∣K1∣ejθ+s+α+jβ∣K1∣e−jθ=2∣K1∣e−αtcos(βt+θ)ε(t)
若K1,2=A±jB,f1(t)=2e−αt[Acos(βt)−Bsin(βt)]ε(t)若 K_{1,2} = A \pm jB, \; f_1(t) = 2 e^{-\alpha t} [A \cos(\beta t) - B \sin(\beta t) ] \varepsilon(t)若K1,2=A±jB,f1(t)=2e−αt[Acos(βt)−Bsin(βt)]ε(t)
- 特例 F(s)F(s)F(s) 包含共轭复根时 (p1,2=−α±jβp_{1,2} = -\alpha\pm j\betap1,2=−α±jβ):
F(s)F(s)F(s) 有重极点（重根）
- 若 A(s)=0A(s) = 0A(s)=0 在 s=p1s=p_1s=p1 处有 rrr 重根,
F(s)=B(s)A(s)=K11(s−p1)r+K12(s−p1)r+⋯+K1r(s−p1)rF(s) = \displaystyle \frac{B(s)}{A(s)} = \frac{K_{11}}{(s-p_1)^r}+ \frac{K_{12}}{(s-p_1)^r}+ \cdots + \frac{K_{1r}}{(s-p_1)^r}F(s)=A(s)B(s)=(s−p1)rK11+(s−p1)rK12+⋯+(s−p1)rK1r
K11=[(s−p1)rF(s)]∣s=p1K_{11} = \displaystyle [(s - p_1)^r F(s)] \big\vert _{s=p1}K11=[(s−p1)rF(s)]∣∣s=p1
K12=d[(s−p1)rF(s)]ds∣s=p1K_{12} = \displaystyle \frac{d[(s - p_1)^r F(s)]}{ds} \big\vert _{s=p1}K12=dsd[(s−p1)rF(s)]∣∣s=p1
K1i=1(i−1)!di−1dsi−1[(s−p1)rF(s)]∣s=p1K_{1i} = \displaystyle \frac{1}{(i-1)!} \frac{d^{i-1}}{ds^{i-1}}[(s - p_1)^r F(s)] \Big\vert _{s=p_1}K1i=(i−1)!1dsi−1di−1[(s−p1)rF(s)]∣∣∣s=p1
L[tnε(t)]=n!sn+1\mathfrak{L}[t^n \varepsilon(t)] = \frac{n!}{s^{n+1}}L[tnε(t)]=sn+1n!
L−1[1(s−p1)n+1]=1n!tnep1tε(t)\mathfrak{L}^{-1}\big[\frac{1}{(s-p_1)^{n+1}}\big] = \frac{1}{n!} t^n e^{p_1 t} \varepsilon(t)L−1[(s−p1)n+11]=n!1tnep1tε(t)
- 若 A(s)=0A(s) = 0A(s)=0 在 s=p1s=p_1s=p1 处有 rrr 重根,
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