写在前面：这只是一个单纯的公式总结！！！为了工科生（非数学系）考试所需罢了。除了会影响计算的错误其他的漏洞请不要太过于苛求！

1.傅立叶级数

如果

1）有限个第一类间断点

2）有限个极值点

则

其中

运用欧拉公式，我们可以得到：

令

我们称

对比系数我们可以得到

令

我们注意到上述展开针对的是有周期的函数，那么无周期的函数呢？或者说

但先让我们给出积分变换的概念：

我们称

为

的积分变换，其中

称之为积分核。

2.傅里叶变换

定理：若

在

上满足以下两个条件，则

且

。

1）

在任一有限区间上满足狄氏条件

2）

在

上绝对可积（即

收敛）

令

我们称

我们称

由于绝对可积条件太强了，很多函数不满足这个条件，比如条件很好的三角函数都不满足，所以我们引入了脉冲函数

我们定义

我们可以从这个定义上得到一个比较重要的性质：

具有筛选性质：

还可以得到：

1)

2)

我们在电路里会学到阶跃函数

很明显不符合傅里叶变换条件。但是我们可以由

我们还可以得到：

1)

2)

傅里叶变换满足以下几个性质：

1.线性性质：

2.位移性质：

注意逆变换的符号

3.相似性质：

4.微分性质：当

时，则有

5.积分性质:当

时

我们可以用性质四和五求微分方程。

乘积定理： 记

，则

其中

为

的共轭函数

我们还有：

能量积分:

现在让我们定义卷积：

卷积满足两点性质：

1.

2.

我们有卷积定理：

卷积定理其实就是把乘法转为卷积，卷积转为乘法。

3.拉普拉斯变换

我们称

拉普拉斯变换是一个特殊的傅里叶变换。我们可以直接有定义得出：

若

满足如下条件：

1）

的任意有限区间上分段连续

2）

则

在

上存在。

我们有：

拉普拉斯变换也满足如下几个性质：

1.线性性质：如傅里叶变换
2.相似性质：

3.微分性质：

也即

当

时

4.积分性质：

(

个积分号）同时还有：

（

个积分号）

这个微分性质可以用来求一些特殊函数的拉普拉斯变换，比如：

积分性质也能得到一个非常重要的计算反常积分的方法：

5.位移性质：

6.延迟性质：

我们可以由位移性质得到一个比较重要的拉普拉斯变换}}：

即：

不同于傅里叶变换，我们并没有直接给出拉普拉斯逆变换的公式，不过我们说过有

其中

是

的奇点

注意奇点和所要用的函数并不一样！

我们可以用此性质来求微分方程：

如：

令

剩下的就很好处理了。比起用傅里叶变换来做，拉普拉斯变换更简单，因为一个是对函数的要求更低，另一个是求逆变换就变成了求留数。而傅里叶逆变换除了查表基本上就是积分的过程。

更新：拉普拉斯变换是适用于卷积定理的：

所以我们可以用此来求卷积。

一定要背的几个公式!!!!

1.求变换,出现

2.求逆变换出现

3.出现

变换的几个记忆方法:(我自己编的)

1.变换或者逆变换的时候一定要“横线守恒”:

什么意思呢?我们来看Fourier变换

2.变换与逆变换要遵守"负号守恒":

我们单独看里面的积分核:

所以我们有:

不仅如此,我们来看这么几个性质:

1.

2.

我们可以发现它的负号均守恒.

3.积分微分?

事实上,极其不严谨地说,我们可以把积分看作微分的逆运算,即