算法导论中的钢条切割问题

问题描述：
公司购买长钢条，将其切割为短钢条进行出售，切割工序本身没有成本支出，公式管理层希望知道最佳的切割方案。假定我们知道公司出售一段长为i英寸的钢条价格为pi；钢条的长度均为整英寸。给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表pi，求切割钢条方案，使得销售收益最大。如果长度为n英寸的钢条的价格足够大，最优解可能就是完全不用切割。
长度：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9，10
对应价格：1，5, 8，16，10, 17, 17, 20, 24, 30。

解法一：
用记忆型递归进行求解：比如一段长度为10的钢条，保留1英寸，将剩下的9英寸进行切割；也可以保留2英寸，将剩下的8英寸进行切割，以此类推。所以递归树的根节点有十个分支。剩下的节点要切割几英寸就有几个分支。由于在进行递归的时候有很多重复的子问题，导致相同的问题进行多次求解；所以为了提高效率可以将递归过程中得到的解进行记录。这称为记忆型递归或者记录型递归。

代码如下：

import java.util.*;public class 钢条切割 {static int[] p = {0, 1, 5, 8, 16, 10, 17, 17, 20, 24, 30};//价格表,第零个位置不用static int[] vs = new int[10+1];//记录表public static void main(String[] args){Scanner scanner = new Scanner(System.in);Arrays.fill(vs, -1);//初始化记录表System.out.println(dfs(10));}private static int dfs(int n) {if(n==0){return 0;}if(vs[n]>=0){//检查是否有记录return vs[n];}else{int v = 0;for(int i=1; i<=n; i++){//保留i英寸v = Math.max(v, p[i] + dfs(n-i));//选出分支中的最大值}vs[n] = v;//进行记录return v;}}
}

解法二：
用动态规划进行求解；和记忆型递归有些类似。只是建立了一张完整的后返回结果。

代码如下：

import java.util.*;public class 钢条切割 {static int[] p = {0, 1, 5, 8, 16, 10, 17, 17, 20, 24, 30};//价格表,第零个位置不用static int[] dp = new int[10+1];//dp表，下标表示长度，值表示对应长度的最大价值public static void main(String[] args){Scanner scanner = new Scanner(System.in);Arrays.fill(dp, 0);//初始化记录表dp[1] = p[1];//长度为1时无法分割，所以直接可以得出最大价值System.out.println(dpf(10));}/** 动态规划,建立dp表*/private static int dpf(int n) {for(int i=1; i<=n; i++){//求dp[i]int v = 0;for(int j=1; j<=i; j++){v = Math.max(v, p[j]+dp[i-j]);}dp[i] = v;}return dp[n];}}

总结：
对于这个钢条切割问题最主要是能想到保留一定长度，切割剩下的长度，然后不断递归；以及能考虑到递归过程中会出现多次子问题重复求解。动态规划最重要的是如何用前面的记录推导后面的记录；也就是找出dp公式。

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