动态规划的目的

求出最优子结构

设计动态规划算法

1.刻画一个最优解的结构特征

2.递归定义最优解的值

3.计算最优解的值

4.利用计算出的信息构造一个最优解

钢条切割问题

问题描述

Serling公司购买长钢条，将其切割为短钢条出售。切割工序本身没有成本支出。公司管理层希望知道最佳的切割方案。
假定我们知道Serling公司出售一段长度为i英寸的钢条的价格为p;(i=1，2，…，单位为美元)。钢条的长度均为整英寸。表1给出了一个价格表的样例。

钢条切割问题是这样的:给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表p;(i=1，2，…，n)，求切割钢条方案，使得销售收益r。最大。注意，如果长度为n英寸的钢条的价格pn足够大，最优解可能就是完全不需要切割。

刻画问题结构（建立方程）

递归方程建立

书中的解释有一点绕，其实递归的思路就是，怎么样，切一刀（可以不切），使得当前的钢条的价格最高（所以此处的i的取值范围到了n（右边什么都不切）），由于自顶向下的递归较为好理解，所以我会用这种思路来进行解释。

PS：由于问题中的范围只有1-10，所以默认其他长度的值为0.

我们现在不是要切一刀钢条吗，编程思想：我挨个切一刀，选出其中获益最大的一刀。好了，现在不就有一个问题,也是我有点难绕过来的一个点，那就是我如何保证我这一刀切下来的钢条获益最大，没事，一刀不够，再来几刀，切下来的继续切，最后切到0，或者人为给一个出口，再一步一步返上来。

关于递归的运算量-指数级递增，为啥，重复算了很多遍，看下图

下面来上代码（java）

   class Solution{public int CUT_RUD(int[] p, int n){//n-代表切掉的量if (n == 0) {return 0;}int q=0;for (int i = 1; i <= n; i++) {q=Math.max(q,p[i]+CUT_RUD(p,n-i));}return q;}｝

小细节：这个数组p[]-是人为传入的参数，也就是钢条的收益值，需要注意一下下标，会在文末放入完整的代码

带备忘录的自顶向下法

如若其名所示，该方法其实是递归的改进，就是加入了一个数组来减小递归的运算量（先查后算），可以分成两个函数来写，也可以合并到一起,我根据书上的思路来的，结构更加清晰，第一个函数初始化存表r[],第二个函数用来计算，这种结构也方便用来存储切割方法。

//________________________带有备忘录的自顶向下发top-down with memoization，递归形式-先查，再存____________________________________________________
class Solution{public int MEMOIZED_CUT_RUD(int[] p,int n){if (n < 0) {return 0;}int[] r=new int[n+1];//重新声明空间for (int i = 0; i <= n; i++) {r[i]=-9999;}return MEMOIZED_CUT_RUD_AUX(p,n,r);
}
private int MEMOIZED_CUT_RUD_AUX(int[] p,int n,int[] r){//p[]-利润对应的数组,n-所切的数组，r[]放入已计算的数组，当前钢条数能代表的最大利润if(r[n]>=0)return r[n];int q=0;if (n == 0) {//切的长度为0q=0;}else {q = -999;for (int i = 1; i <= n; i++) {q=Math.max(q,p[i]+MEMOIZED_CUT_RUD_AUX(p, n-i, r));}}r[n]=q;return q;
}}

自底向下的方法

思想很简单，从0开始求，一步步累计上去，直到需要求的位。代码比较直接。

稍微有点难理解的就是为什么需要有两个循环，第一个循环-用来表示当前长度的利益最大值（从0开始），第二个循环就是求解子问题（怎样使得每一步的钢条最大化）

public int BOTTOM_UP_CUT_ROD(int[] p,int n){int[] r=new int[n+1];
int q=0;for (int j = 1; j <= n; j++) {q=-9999;for (int i = 1; i <= j; i++) {//max怎么切使得钢条利益最大化q=Math.max(q,p[i]+r[j-i]);}r[j]=q;//用来记录当前长度为j的利益最大值}
return r[n];
}

如何保留切割方案

就是在原有的基础上再增添一个数组，在比较最大值其作用时，传入标号，从程序可以看出来切割方案的保留是从小到大，有一些需要完善的地方就是无法把3段以上保留下来，毕竟是一维数组，不是多维的。

//————————————————————————————将方案也打印出来——————————————————————————————
private Map<String,Integer> EXTENDED_BOTTOM_UP_CUT_ROD(int[] p,int n){Map<String, Integer> map = new HashMap<String, Integer>();int[] r=new int[n+1];//用来记录int[] s=new int[n+1];//用来记录int q=0;for (int j = 1; j <= n; j++) {q=-9999;for (int i = 1; i <= j; i++) {//max怎么切使得钢条利益最大化if (q<(p[i]+r[j-i])){q=p[i]+r[j-i];s[j]=i;}}r[j]=q;//用来记录当前长度为j的利益最大值}map.put("最大收益",r[n]);map.put("切割方案",s[n]);return map;
}
public void PRINT_CUT_ROD_SOLUTION(int[] p,int n){Map<String, Integer> map = EXTENDED_BOTTOM_UP_CUT_ROD(p,n);System.out.println("最大收益:"+map.get("最大收益"));System.out.print("切割方案:");int i=1;while (n>0){if (i==1)System.out.print(map.get("切割方案"));else System.out.print("+"+map.get("切割方案"));n=n-map.get("切割方案");i=0;}
}//________________________带有备忘录的自顶向下发top-down with memoization，递归形式-先查，再存，带切割方案____________________________________________________public int MEMOIZED_CUT_RUD(int[] p,int n){if (n < 0) {return 0;}int[] r=new int[n+1];//重新声明空间int[] s=new int[n+1];for (int i = 0; i <= n; i++) {r[i]=-9999;}return MEMOIZED_CUT_RUD_AUX(p,n,r,s);}private int MEMOIZED_CUT_RUD_AUX(int[] p,int n,int[] r,int[] s){//p[]-利润对应的数组,n-所切的数组，r[]放入以计算的数组if(r[n]>=0)return r[n];int q=0;//重新声明空间if (n == 0) {//切的长度为0q=0;}else {q = -999;for (int i = 1; i <= n; i++) {int t=p[i]+MEMOIZED_CUT_RUD_AUX(p, n-i, r,s);if (q<t){q=t;s[n]=i;}}}for (int i = 0; i <= n; i++) {System.out.print(s[i]);System.out.print("  ");}System.out.println();r[n]=q;return q;}

源代码

//钢条切割问题
//问题描述：钢条切割问题是这样的:给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表p;(i=1，2，…，n)，求切割钢条方案，使得销售收益rn最大。
// 注意，如果长度为n英寸的钢条的价格p。足够大，最优解可能就是完全不需要切割。
public class _15_1 {public static void main(String[] args) {Solution v=new Solution();int[] p={0};p=new int[40];p[0]=0;p[1]=1;p[2]=5;p[3]=8;p[4]=9;p[5]=10;p[6]=17;p[7]=17;p[8]=20;p[9]=24;p[10]=30;System.out.println(v.CUT_RUD(p,4));System.out.println(v.MEMOIZED_CUT_RUD(p,11));System.out.println(v.BOTTOM_UP_CUT_ROD(p,4));v.PRINT_CUT_ROD_SOLUTION(p,4);}
}
class Solution{//递归方法调用，递归的思想：将这根钢条切成2半，左半边不去管它，改变右半边的长度，从1-n（右半边钢条n-1-0），// 调用Max函数来递归求得何时才能使得钢条的分割成2半public int CUT_RUD(int[] p, int n){//n-代表切掉的量if (n == 0) {return 0;}int q=0;for (int i = 1; i <= n; i++) {q=Math.max(q,p[i]+CUT_RUD(p,n-i));}return q;}//________________________带有备忘录的自顶向下发top-down with memoization，递归形式-先查，再存____________________________________________________public int MEMOIZED_CUT_RUD(int[] p,int n){if (n < 0) {return 0;}int[] r=new int[n+1];//重新声明空间int[] s=new int[n+1];for (int i = 0; i <= n; i++) {r[i]=-9999;}return MEMOIZED_CUT_RUD_AUX(p,n,r,s);}private int MEMOIZED_CUT_RUD_AUX(int[] p,int n,int[] r,int[] s){//p[]-利润对应的数组,n-所切的数组，r[]放入以计算的数组if(r[n]>=0)return r[n];int q=0;//重新声明空间if (n == 0) {//切的长度为0q=0;}else {q = -999;for (int i = 1; i <= n; i++) {int t=p[i]+MEMOIZED_CUT_RUD_AUX(p, n-i, r,s);if (q<t){q=t;s[n]=i;}}}for (int i = 0; i <= n; i++) {System.out.print(s[i]);System.out.print("  ");}System.out.println();r[n]=q;return q;}//_____________________________________自底向上法_________________________________________________________public int BOTTOM_UP_CUT_ROD(int[] p,int n){int[] r=new int[n+1];int q=0;for (int j = 1; j <= n; j++) {q=-9999;for (int i = 1; i <= j; i++) {//max怎么切使得钢条利益最大化q=Math.max(q,p[i]+r[j-i]);}r[j]=q;//用来记录当前长度为j的利益最大值}return r[n];}//————————————————————————————将方案也打印出来——————————————————————————————private Map<String,Integer> EXTENDED_BOTTOM_UP_CUT_ROD(int[] p,int n){Map<String, Integer> map = new HashMap<String, Integer>();int[] r=new int[n+1];//用来记录int[] s=new int[n+1];//用来记录int q=0;for (int j = 1; j <= n; j++) {q=-9999;for (int i = 1; i <= j; i++) {//max怎么切使得钢条利益最大化if (q<(p[i]+r[j-i])){q=p[i]+r[j-i];s[j]=i;}}r[j]=q;//用来记录当前长度为j的利益最大值}map.put("最大收益",r[n]);map.put("切割方案",s[n]);return map;}public void PRINT_CUT_ROD_SOLUTION(int[] p,int n){Map<String, Integer> map = EXTENDED_BOTTOM_UP_CUT_ROD(p,n);System.out.println("最大收益:"+map.get("最大收益"));System.out.print("切割方案:");int i=1;while (n>0){if (i==1)System.out.print(map.get("切割方案"));else System.out.print("+"+map.get("切割方案"));n=n-map.get("切割方案");i=0;}}
}
"最大收益"));System.out.print("切割方案:");int i=1;while (n>0){if (i==1)System.out.print(map.get("切割方案"));else System.out.print("+"+map.get("切割方案"));n=n-map.get("切割方案");i=0;}}
}

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