中点画线算法画直线----计算机图形学

中点画线算法：

所需绘制直线的左下端点记为 $(x_{0},y_{0})$ ，右上端点记为 $(x_{1},y_{1})$

令 $dy = y_{1}- y_{0}$ , $dx = x_{1}- x_{0}$ ,则直线的斜截式为： $y=\frac{dy}{dx}*x+B$

所以，用隐函数表示直线的方程为： $F(x,y)=dx*y-dy*x-B*dx=0$

容易验证，点（x , y）若在直线上，F（x , y）= 0 ；若在直线上方，F（x , y）> 0 ；若在直线下方，F（x , y）< 0 。

（1）. 斜率在（0,1）区间：

假定选择了 $(x_{p},y_{p})$ 处的像素 P ，现在必须在 P 的右邻像素 E 和右上方相邻像素 NE 中选取一个像素。

在中点算法中，只需计算 $F(M)=F(x_{p}+1,y_{p}+1/2)$ （M表示中点），并测试它的符号即可。

若 F（M）< 0 , 则 M 在直线下方，直线距离点 NE 更近，选择 NE ；若 F（M）> 0 , 则 M 在直线上方，直线距离点 E 更近，选择 E .

$J_{i}=F(M) = F(x_{p}+1,y_{p}+1/2) = dx*(y_{p}+1/2)-dy*(x_{p}+1)-B*dx$

如果选择的是 E ，应判断：

$J_{i+1}=F(Me) = F(x_{p}+2,y_{p}+1/2) = dx*(y_{p}+1/2)-dy*(x_{p}+2)-B*dx$

$= F(x_{p}+1,y_{p}+1/2)-dy$

$= J_{i}-dy$

如果选择的是 NE ，应判断：

$J_{i+1}=F(Mne) = F(x_{p}+2,y_{p}+3/2) = dx*(y_{p}+3/2)-dy*(x_{p}+2)-B*dx$

$= F(x_{p}+1,y_{p}+1/2)-dy+dx$

$= J_{i}-dy+dx$

因为第一个像素是端点 $(x_{0},y_{0})$ ，可直接计算 J 的初始值 $J_{start}$ ，以此决定是选 E 还是选 NE。

第一个中点在 $(x_{0}+1,y_{0}+1/2)$ 处，有

$J_{start}= F(x_{0}+1,y_{0}+1/2) = dx*(y_{0}+1/2)-dy*(x_{0}+1)-B*dx$

$= dx*y_{0}+1/2*dx-dy*x_{0}-dy-B*dx$

$= F(x_{0},y_{0})-dy+1/2*dx$

由于 $(x_{0},y_{0})$ 落在线上，因此 $F(x_{0},y_{0})=0$ ，故 $J_{start}$ 值为 $-dy+1/2*dx$ .

（2）. 斜率在（-1,0）区间：

假定选择了 $(x_{p},y_{p})$ 处的像素 P ，现在必须在 P 的右邻像素 E 和右下方相邻像素 NE 中选取一个像素。

在中点算法中，只需计算 $F(M)=F(x_{p}+1,y_{p}-1/2)$ （M表示中点），并测试它的符号即可。

若 F（M）< 0 , 则 M 在直线下方，直线距离点 E 更近，选择 E ；若 F（M）> 0 , 则 M 在直线上方，直线距离点 NE 更近，选择 NE .

$J_{i}=F(M) = F(x_{p}+1,y_{p}-1/2) = dx*(y_{p}-1/2)-dy*(x_{p}+1)-B*dx$

如果选择的是 E ，应判断：

$J_{i+1}=F(Me) = F(x_{p}+2,y_{p}-1/2) = dx*(y_{p}-1/2)-dy*(x_{p}+2)-B*dx$

$= F(x_{p}+1,y_{p}-1/2)-dy$

$= J_{i}-dy$

如果选择的是 NE ，应判断：

$J_{i+1}=F(Mne) = F(x_{p}+2,y_{p}-3/2) = dx*(y_{p}-3/2)-dy*(x_{p}+2)-B*dx$

$= F(x_{p}+1,y_{p}-1/2)-dy-dx$

$= J_{i}-dy-dx$

因为第一个像素是端点 $(x_{0},y_{0})$ ，可直接计算 J 的初始值 $J_{start}$ ，以此决定是选 E 还是选 NE。

第一个中点在 $(x_{0}+1,y_{0}-1/2)$ 处，有

$J_{start}= F(x_{0}+1,y_{0}-1/2) = dx*(y_{0}-1/2)-dy*(x_{0}+1)-B*dx$

$= dx*y_{0}-1/2*dx-dy*x_{0}-dy-B*dx$

$= F(x_{0},y_{0})-dy-1/2*dx$

由于 $(x_{0},y_{0})$ 落在线上，因此 $F(x_{0},y_{0})=0$ ，故 $J_{start}$ 值为 $-dy-1/2*dx$ .

（3）. 斜率大于 1：

直线的方程用隐函数还可以表示为： $F(x,y)=dy*x-dx*y+B*dx=0$ （即上方式子取反）

容易验证，点（x , y）若在直线上，F（x , y）= 0 ；若在直线左边，F（x , y）< 0 ；若在直线右边，F（x , y）> 0 。

假定选择了 $(x_{p},y_{p})$ 处的像素 P ，现在必须在 P 的上邻像素 E 和右上方相邻像素 NE 中选取一个像素。

在中点算法中，只需计算 $F(M)=F(x_{p}+1/2,y_{p}+1)$ （M表示中点），并测试它的符号即可。

若 F（M）< 0 , 则 M 在直线左边，直线距离点 NE 更近，选择 NE ；若 F（M）> 0 , 则 M 在直线右边，直线距离点 E 更近，选择 E .

$J_{i}=F(M) = F(x_{p}+1/2,y_{p}+1) = dy*(x_{p}+1/2)-dx*(y_{p}+1)+B*dx$

如果选择的是 E ，应判断：

$J_{i+1}=F(Me) = F(x_{p}+1/2,y_{p}+2) = dy*(x_{p}+1/2)-dx*(y_{p}+2)+B*dx$

$= F(x_{p}+1/2,y_{p}+1)-dx$

$= J_{i}-dx$

如果选择的是 NE ，应判断：

$J_{i+1}=F(Mne) = F(x_{p}+3/2,y_{p}+2) = dy*(x_{p}+3/2)-dx*(y_{p}+2)+B*dx$

$= F(x_{p}+1/2,y_{p}+1)-dx+dy$

$= J_{i}-dx+dy$

因为第一个像素是端点 $(x_{0},y_{0})$ ，可直接计算 J 的初始值 $J_{start}$ ，以此决定是选 E 还是选 NE。

第一个中点在 $(x_{0}+1/2 , y_{0}+1)$ 处，有

$J_{start}= F(x_{0}+1/2,y_{0}+1) = dy*(x_{0}+1/2)-dx*(y_{0}+1)+B*dx$

$= dy*x_{0}+1/2*dy-dx*y_{0}-dx+B*dx$

$= F(x_{0},y_{0})-dx+1/2*dy$

由于 $(x_{0},y_{0})$ 落在线上，因此 $F(x_{0},y_{0})=0$ ，故 $J_{start}$ 值为 $1/2*dy-dx$ .

（4）. 斜率小于 -1：

假定选择了 $(x_{p},y_{p})$ 处的像素 P ，现在必须在 P 的上邻像素 E 和左上方相邻像素 NE 中选取一个像素。

在中点算法中，只需计算 $F(M)=F(x_{p}-1/2,y_{p}+1)$ （M表示中点），并测试它的符号即可。

若 F（M）< 0 , 则 M 在直线左边，直线距离点 E 更近，选择 E ；若 F（M）> 0 , 则 M 在直线右边，直线距离点 NE 更近，选择 NE .

$J_{i}=F(M) = F(x_{p}-1/2,y_{p}+1) = dy*(x_{p}-1/2)-dx*(y_{p}+1)+B*dx$

如果选择的是 E ，应判断：

$J_{i+1}=F(Me) = F(x_{p}-1/2,y_{p}+2) = dy*(x_{p}-1/2)-dx*(y_{p}+2)+B*dx$

$= F(x_{p}-1/2,y_{p}+1)-dx$

$= J_{i}-dx$

如果选择的是 NE ，应判断：

$J_{i+1}=F(Mne) = F(x_{p}-3/2,y_{p}+2) = dy*(x_{p}-3/2)-dx*(y_{p}+2)+B*dx$

$= F(x_{p}-1/2,y_{p}+1)-dx-dy$

$= J_{i}-dx-dy$

因为第一个像素是端点 $(x_{0},y_{0})$ ，可直接计算 J 的初始值 $J_{start}$ ，以此决定是选 E 还是选 NE。

第一个中点在 $(x_{0}-1/2 , y_{0}+1)$ 处，有

$J_{start}= F(x_{0}-1/2,y_{0}+1) = dy*(x_{0}-1/2)-dx*(y_{0}+1)+B*dx$

$= dy*x_{0} -1/2*dy-dx*y_{0}-dx+B*dx$

$= F(x_{0},y_{0})-dx -1/2*dy$

由于 $(x_{0},y_{0})$ 落在线上，因此 $F(x_{0},y_{0})=0$ ，故 $J_{start}$ 值为 $-dx-1/2*dy$ .

核心代码：

（在实现中，为消除分数部分，将 F 乘以 2 重新定义 F，使每个常量和判断变量均乘以 2 ，但这并不影响判断变量 $J_{i}$ 的符号，因此仍可作为中点检测标准。）

from PySide2.QtCore import *
class Line:def __init__(self, p):self.p = pdef points_list_mid(self):points = []if self.p[0].y() == self.p[1].y():if self.p[0].x() > self.p[1].x():self.p.reverse()x = self.p[0].x()y = self.p[0].y()while x < self.p[1].x():points.append(QPoint(x, y))x = x+1return pointsif self.p[0].x() == self.p[1].x():if self.p[0].y() > self.p[1].y():self.p.reverse()x = self.p[0].x()y = self.p[0].y()while y < self.p[1].y():points.append(QPoint(x, y))y = y+1return pointsm = (self.p[1].y()-self.p[0].y())/(self.p[1].x()-self.p[0].x())if m > 0 and m <= 1:if self.p[0].x() > self.p[1].x():self.p.reverse()dx = self.p[1].x() - self.p[0].x()dy = self.p[1].y() - self.p[0].y()d = dx - 2*dydNE = 2*dx - 2*dydE = -2*dyx = self.p[0].x()y = self.p[0].y()while x < self.p[1].x():points.append(QPoint(x, y))if d < 0:d = d + dNEy = y + 1else:d = d + dEx = x+1elif m >= -1 and m < 0:if self.p[0].x() > self.p[1].x():self.p.reverse()dx = self.p[1].x() - self.p[0].x()dy = self.p[1].y() - self.p[0].y()d = -dx - 2*dydNE = -2*dx - 2*dydE = -2*dyx = self.p[0].x()y = self.p[0].y()while x < self.p[1].x():points.append(QPoint(x, y))if d >= 0:d = d + dNEy = y - 1else:d = d + dEx = x+1elif m > 1:if self.p[0].y() > self.p[1].y():self.p.reverse()dx = self.p[1].x() - self.p[0].x()dy = self.p[1].y() - self.p[0].y()d = dy - 2*dxdNE = 2*dy - 2*dxdE = -2*dxx = self.p[0].x()y = self.p[0].y()while y < self.p[1].y():points.append(QPoint(x, y))if d <= 0:d = d + dNEx = x + 1else:d = d + dEy = y+1else:if self.p[0].y() > self.p[1].y():self.p.reverse()dx = self.p[1].x() - self.p[0].x()dy = self.p[1].y() - self.p[0].y()d = -dy - 2*dxdNE = -2*dy - 2*dxdE = -2*dxx = self.p[0].x()y = self.p[0].y()while y < self.p[1].y():points.append(QPoint(x, y))if d >= 0:d = d + dNEx = x - 1else:d = d + dEy = y + 1return points

加上UI界面实现效果：

PS: 如需参考完整代码，请移步：https://download.csdn.net/download/qq_42185999/11834675 进行下载