数学分析笔记17：曲线积分与曲面积分

文章目录

第一型曲线积分与曲面积分
- 第一型曲线积分
- - 曲线的弧长
  - 第一型曲线积分的物理背景及定义
  - 第一型曲线积分的计算公式
- 第一型曲面积分
- - 第一型曲面积分的物理背景及定义
  - 第一型曲面积分的计算公式
第二型曲线积分与曲面积分
- 第二型曲线积分
- - 第二型曲线积分的物理背景及定义
  - 第二型曲线积分的计算方法
  - 两类曲线积分的联系
- 第二型曲面积分
- - 曲面的定向
  - 第二型曲面积分的物理背景及定义
  - 第二型曲面积分的计算方法
积分之间的联系
- 格林公式
- 高斯公式
- 斯托克斯公式
积分与路径无关

第一型曲线积分与曲面积分

第一型曲线积分

曲线的弧长

在定积分的几何应用一节我们已经介绍了曲线弧长公式，现在，我们对曲线的弧长作一个完整的论述，以引出第一型曲线积分的定义。

定义17.1 对1元nnn维向量函数ϕ(t)=(ϕ1(t),⋯,ϕn(t)),t∈[a,b]\phi(t)=(\phi_1(t),\cdots,\phi_n(t)),t\in [a,b]ϕ(t)=(ϕ1(t),⋯,ϕn(t)),t∈[a,b]，如果ϕ(t)\phi(t)ϕ(t)是连续的，则称γ:{ϕ(t):t∈[a,b]}\gamma:\{\phi(t):t\in[a,b]\}γ:{ϕ(t):t∈[a,b]}是RnR^nRn上的连续曲线，如果对于t1,t2∈[a,b],t1≠t2,t1≠a或t2≠bt_1,t_2\in[a,b],t_1\neq t_2,t_1\neq a或t_2\neq bt1,t2∈[a,b],t1=t2,t1=a或t2=b，都有ϕ(t1)≠ϕ(t2)\phi(t_1)\neq \phi(t_2)ϕ(t1)=ϕ(t2)，则称γ\gammaγ为若当曲线或简单曲线，如果γ\gammaγ是简单曲线同时ϕ(a)=ϕ(b)\phi(a)=\phi(b)ϕ(a)=ϕ(b)，则称γ\gammaγ为若当闭曲线，如果ϕ(t)\phi(t)ϕ(t)在[a,b][a,b][a,b]上有连续的导数，则称γ\gammaγ为光滑的曲线

假设曲线γ\gammaγ的起点和终点分别为A,BA,BA,B，在中间取nnn个点A1,⋯,AnA_1,\cdots,A_nA1,⋯,An，可将γ\gammaγ分为n+1n+1n+1段。令A0=A,An+1=BA_0=A,A_{n+1}=BA0=A,An+1=B，连接Ak−1,Ak,k=1,⋯,n+1A_{k-1},A_k,k=1,\cdots,n+1Ak−1,Ak,k=1,⋯,n+1，得到一段内接折线。以内接折线的长度作为曲线弧长的估计。L≈∑k=1n+1∣∣Ak−Ak−1∣∣L\approx \sum_{k=1}^{n+1}||A_{k}-A_{k-1}|| L≈k=1∑n+1∣∣Ak−Ak−1∣∣这里Ak(k=0,⋯,n+1)A_k(k=0,\cdots,n+1)Ak(k=0,⋯,n+1)视为向量。由于两点之间线段最短，如果取另外一个分划P2:A0′=A,A1′,⋯,Am′,Am+1′=BP_2:A_0^\prime=A,A_1^\prime,\cdots,A_m^\prime,A_{m+1}^\prime=BP2:A0′=A,A1′,⋯,Am′,Am+1′=B，如果P1:A0,⋯,An+1P_1:A_0,\cdots,A_{n+1}P1:A0,⋯,An+1都在P2P_2P2内，则称P2P_2P2是P1P_1P1的加细，则∑k=1m+1∣∣Ak′−Ak−1′∣∣≥∑k=1n+1∣∣Ak−Ak−1∣∣\sum_{k=1}^{m+1}||A_k^\prime-A_{k-1}^\prime||\ge \sum_{k=1}^{n+1}||A_{k}-A_{k-1}|| k=1∑m+1∣∣Ak′−Ak−1′∣∣≥k=1∑n+1∣∣Ak−Ak−1∣∣不断加细，如果有一个上确界，那么这个上确界就称为是曲线的弧长，如下图。

如果A1′A_1^\primeA1′在A0,A1A_0,A_1A0,A1之间，那么必有∣∣A1′−A0∣∣+∣∣A1−A1′∣∣≥∣∣A1−A0∣∣||A_1^\prime-A_0||+||A_1-A_1^\prime||\ge ||A_1-A_0||∣∣A1′−A0∣∣+∣∣A1−A1′∣∣≥∣∣A1−A0∣∣。这就是为什么∑k=1m+1∣∣Ak′−Ak−1′∣∣≥∑k=1n+1∣∣Ak−Ak−1∣∣\sum_{k=1}^{m+1}||A_k^\prime-A_{k-1}^\prime||\ge \sum_{k=1}^{n+1}||A_{k}-A_{k-1}|| k=1∑m+1∣∣Ak′−Ak−1′∣∣≥k=1∑n+1∣∣Ak−Ak−1∣∣

定义17.2 γ\gammaγ是一段RnR^nRn上的连续曲线，如果上确界L=sup⁡Δ:A0,⋯,An,⋯,An+1是γ的分划∑k=1n+1∣∣Ak−Ak−1∣∣L=\sup_{\Delta:A_0,\cdots,A_n,\cdots,A_{n+1}是\gamma的分划}\sum_{k=1}^{n+1}||A_k-A_{k-1}|| L=Δ:A0,⋯,An,⋯,An+1是γ的分划supk=1∑n+1∣∣Ak−Ak−1∣∣存在，则称γ\gammaγ为可求长曲线，其称LLL为γ\gammaγ的弧长

在定积分一节中，我们求弧长的办法是，对连续曲线γ:ϕ(t)=(ϕ1(t),⋯,ϕn(t)),t∈[a,b]\gamma:\phi(t)=(\phi_1(t),\cdots,\phi_n(t)),t\in[a,b] γ:ϕ(t)=(ϕ1(t),⋯,ϕn(t)),t∈[a,b]对[a,b][a,b][a,b]的分划Δ:a=t0<⋯<tn<tn+1=b\Delta:a=t_0<\cdots<t_n<t_{n+1}=bΔ:a=t0<⋯<tn<tn+1=b，则L=lim⁡λ(Δ)→0∑k=1n+1∣∣ϕ(tk)−ϕ(tk−1)∣∣L=\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^{n+1}||\phi(t_k)-\phi(t_{k-1})|| L=λ(Δ)→0limk=1∑n+1∣∣ϕ(tk)−ϕ(tk−1)∣∣这个公式和定义17.2形式上不是完全一致的，但下面我们将证明这两个定义的完全相同的。

定理17.1 γ:ϕ(t),a≤t≤b\gamma:\phi(t),a\le t\le bγ:ϕ(t),a≤t≤b是RnR^nRn的一段可求长曲线，LLL是其弧长，则L=lim⁡λ(Δ)→0∑k=1n+1∣∣ϕ(tk)−ϕ(tk−1)∣∣L=\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^{n+1}||\phi(t_k)-\phi(t_{k-1})|| L=λ(Δ)→0limk=1∑n+1∣∣ϕ(tk)−ϕ(tk−1)∣∣
该定理的过程与达布定理及其类似。

证：
由LLL的定义，对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在分划Δ0:a=t0(0)<t1(0)<⋯<tm(0)<tm+1(0)=b\Delta_0:a=t_0^{(0)}<t_1^{(0)}<\cdots<t_m^{(0)}<t_{m+1}^{(0)}=bΔ0:a=t0(0)<t1(0)<⋯<tm(0)<tm+1(0)=b，满足L≥∑k=1m+1∣∣ϕ(tk(0))−ϕ(tk−1(0))∣∣>L−ε2L\ge \sum_{k=1}^{m+1}||\phi(t^{(0)}_{k})-\phi(t^{(0)}_{k-1})||>L-\frac{\varepsilon}{2} L≥k=1∑m+1∣∣ϕ(tk(0))−ϕ(tk−1(0))∣∣>L−2ε由于ϕ(t)\phi(t)ϕ(t)在[a,b][a,b][a,b]上连续，则ϕ(t)\phi(t)ϕ(t)在[a,b][a,b][a,b]上一致连续，存在δ>0\delta>0δ>0，当x1,x2∈[a,b]x_1,x_2\in [a,b]x1,x2∈[a,b]，∣x1−x2∣<δ|x_1-x_2|<\delta∣x1−x2∣<δ时，就有∣∣ϕ(x2)−ϕ(x1)∣∣<ε2m(m+1)||\phi(x_2)-\phi(x_1)||<\frac{\varepsilon}{2m(m+1)} ∣∣ϕ(x2)−ϕ(x1)∣∣<2m(m+1)ε对任意的分划Δ:a=t0<t1<⋯<ts=b\Delta:a=t_0<t_1<\cdots<t_s=bΔ:a=t0<t1<⋯<ts=b，再设Δ′=Δ0∪Δ:a=t0′<t1′<⋯<tp′<tp+1′=b\Delta^\prime=\Delta_0\cup\Delta:a=t_0^\prime<t_1^\prime<\cdots<t_p^\prime<t_{p+1}^\prime=bΔ′=Δ0∪Δ:a=t0′<t1′<⋯<tp′<tp+1′=b，则L≥∑k=1p+1∣∣ϕ(tk′)−ϕ(tk−1′)∣∣≥∑k=1m+1∣∣ϕ(tk(0))−ϕ(tk−1(0))∣∣>L−ε2\begin{aligned} L\ge& \sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t_k^\prime)-\phi(t_{k-1}^\prime)||\\\ge &\sum_{k=1}^{m+1}||\phi(t^{(0)}_{k})-\phi(t^{(0)}_{k-1})||>L-\frac{\varepsilon}{2} \end{aligned} L≥≥k=1∑p+1∣∣ϕ(tk′)−ϕ(tk−1′)∣∣k=1∑m+1∣∣ϕ(tk(0))−ϕ(tk−1(0))∣∣>L−2ε从而∣∑k=1p+1∣∣ϕ(tk′)−ϕ(tk−1′)∣∣−L∣<ε2\left|\sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t_k^\prime)-\phi(t_{k-1}^\prime)||-L\right|<\frac{\varepsilon}{2} ∣∣∣∣∣k=1∑p+1∣∣ϕ(tk′)−ϕ(tk−1′)∣∣−L∣∣∣∣∣<2ε只要λ(Δ)<δ\lambda(\Delta)<\deltaλ(Δ)<δ，Δ\DeltaΔ中至多有mmm个小区间插入了Δ0\Delta_0Δ0的分点，一个小区间至多插入mmm个Δ0\Delta_0Δ0的分点，从而∣∑k=1p+1∣∣ϕ(tk′)−ϕ(tk−1′)∣∣−∑k=1s+1∣∣ϕ(tk)−ϕ(tk−1)∣∣∣=∑k=1p+1∣∣ϕ(tk′)−ϕ(tk−1′)∣∣−∑k=1s+1∣∣ϕ(tk)−ϕ(tk−1)∣∣<m(m+1)ε2m(m+1)=ε2\begin{aligned} &\left|\sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t^\prime_{k})-\phi(t^\prime_{k-1})||-\sum_{k=1}^{s+1}||\phi(t_{k})-\phi(t_{k-1})||\right|\\ =&\sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t^\prime_{k})-\phi(t^\prime_{k-1})||-\sum_{k=1}^{s+1}||\phi(t_{k})-\phi(t_{k-1})||\\ <&m(m+1)\frac{\varepsilon}{2m(m+1)}=\frac{\varepsilon}{2} \end{aligned} =<∣∣∣∣∣k=1∑p+1∣∣ϕ(tk′)−ϕ(tk−1′)∣∣−k=1∑s+1∣∣ϕ(tk)−ϕ(tk−1)∣∣∣∣∣∣∣k=1∑p+1∣∣ϕ(tk′)−ϕ(tk−1′)∣∣−k=1∑s+1∣∣ϕ(tk)−ϕ(tk−1)∣∣m(m+1)2m(m+1)ε=2ε从而∣∑k=1s+1∣∣ϕ(tk)−ϕ(tk−1)∣∣−L∣≤∣∑k=1p+1∣∣ϕ(tk′)−ϕ(tk−1′)∣∣−∑k=1s+1∣∣ϕ(tk)−ϕ(tk−1)∣∣∣+∣∑k=1p+1∣∣ϕ(tk′)−ϕ(tk−1′)∣∣−L∣<ε\begin{aligned} &\left|\sum_{k=1}^{s+1}||\phi(t_{k})-\phi(t_{k-1})||-L\right|\\ \le&\left|\sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t^\prime_{k})-\phi(t^\prime_{k-1})||-\sum_{k=1}^{s+1}||\phi(t_{k})-\phi(t_{k-1})||\right|\\ +&\left|\sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t^\prime_{k})-\phi(t^\prime_{k-1})||-L\right|<\varepsilon \end{aligned} ≤+∣∣∣∣∣k=1∑s+1∣∣ϕ(tk)−ϕ(tk−1)∣∣−L∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣k=1∑p+1∣∣ϕ(tk′)−ϕ(tk−1′)∣∣−k=1∑s+1∣∣ϕ(tk)−ϕ(tk−1)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣k=1∑p+1∣∣ϕ(tk′)−ϕ(tk−1′)∣∣−L∣∣∣∣∣<ε因此L=lim⁡λ(Δ)→0∑k=1n+1∣∣ϕ(tk)−ϕ(tk−1)∣∣L=\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^{n+1}||\phi(t_k)-\phi(t_{k-1})|| L=λ(Δ)→0limk=1∑n+1∣∣ϕ(tk)−ϕ(tk−1)∣∣

模仿定积分几何应用中R2R^2R2光滑曲线弧长的求法，可以证明RnR^nRn中的光滑曲线γ:γ(t),t∈[a,b]\gamma:\gamma(t),t\in[a,b]γ:γ(t),t∈[a,b]都是可求长曲线，并且L=∫ab∣∣γ′(t)∣∣dtL=\int_a^b||\gamma^\prime(t)||dt L=∫ab∣∣γ′(t)∣∣dt于是，如果连续曲线由有限段光滑曲线拼接而成，那么该连续曲线也是可求长曲线。

第一型曲线积分的物理背景及定义

对于R3R^3R3上的一条细钢丝γ\gammaγ，在其上定义了一个密度函数ρ(x,y,z)\rho(x,y,z)ρ(x,y,z)，怎么求其质量呢？如果钢丝是均匀的，那么其质量应该是ρ.L(γ)\rho.L(\gamma)ρ.L(γ)，其中，ρ\rhoρ为钢丝的密度，L(γ)L(\gamma)L(γ)是钢丝的长度。如果钢丝不是均匀的，可以采取微元法：将钢丝分解为若干段小钢丝γ1,⋯,γn\gamma_1,\cdots,\gamma_nγ1,⋯,γn，只要每段钢丝的弧长足够小，如果ρ\rhoρ是连续的，在每段小钢丝就可以近似地视为均匀的小钢丝，任取ξk∈γk(k=1,⋯,n)\xi_k\in \gamma_k(k=1,\cdots,n)ξk∈γk(k=1,⋯,n)，则估计其质量为m(γ)≈∑k=1nρ(ξk)L(γk)m(\gamma)\approx\sum_{k=1}^n\rho(\xi_k)L(\gamma_k) m(γ)≈k=1∑nρ(ξk)L(γk)当钢丝越分越细时，误差越来越小，则小钢丝的质量就为m(γ)=lim⁡λ(Δ)→0∑k=1nρ(ξk)L(γk)m(\gamma)=\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^n\rho(\xi_k)L(\gamma_k) m(γ)=λ(Δ)→0limk=1∑nρ(ξk)L(γk)其中，λ(Δ)=max⁡1≤i≤nL(γk)\displaystyle\lambda(\Delta)=\max_{1\le i\le n}L(\gamma_k)λ(Δ)=1≤i≤nmaxL(γk)，求解的思路和定积分是相同的，不同的是现在是对曲线的积分。对以上物理背景进行抽象，就得到第一型曲线积分的定义。首先，如果γ\gammaγ是可求长曲线，则连续曲线γk⊆γ\gamma_k\subseteq \gammaγk⊆γ也是可求长的，这由可求长曲线的定义是容易看出的¹。

定义17.3 γ\gammaγ是RnR^nRn上一段可求长曲线，起点和终点分别为A,BA,BA,B，ρ(x)\rho(x)ρ(x)是γ\gammaγ上的函数，如果存在实数III，对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在δ>0\delta>0δ>0，从AAA到BBB任取A=A0,A1,⋯,An,An+1=BA=A_0,A_1,\cdots,A_n,A_{n+1}=BA=A0,A1,⋯,An,An+1=B，只要λ=max⁡1≤i≤n+1L(Ai−1Ai)<δ\displaystyle\lambda=\max_{1\le i\le n+1}L(A_{i-1}A_i)<\deltaλ=1≤i≤n+1maxL(Ai−1Ai)<δ，任取ξk∈Ak−1Ak(k=1,⋯,n+1)\xi_k\in A_{k-1}A_k(k=1,\cdots,n+1)ξk∈Ak−1Ak(k=1,⋯,n+1)，就有∣∑k=1n+1ρ(ξk)L(Ak−1Ak)−I∣<ε\left|\sum_{k=1}^{n+1}\rho(\xi_k)L(A_{k-1}A_k)-I\right|<\varepsilon ∣∣∣∣∣k=1∑n+1ρ(ξk)L(Ak−1Ak)−I∣∣∣∣∣<ε则称ρ\rhoρ在γ\gammaγ上可积，III为ρ\rhoρ在γ\gammaγ上的第一型曲线积分，记为∫γf(x)ds\displaystyle\int_\gamma f(x)ds∫γf(x)ds

第一型曲线积分和定积分、重积分一样，有线性性质，不等式性质，区间可加性。

定理17.2 γ\gammaγ是RnR^nRn上的可求长曲线，f1,f2f_1,f_2f1,f2在γ\gammaγ上可积，则对于任意的实数α,β\alpha,\betaα,β，αf1+βf2\alpha f_1+\beta f_2αf1+βf2在γ\gammaγ上也可积，并且∫γ(αf1(x)+βf2(x))ds=α∫γf1(x)ds+β∫γf2(x)ds\int_\gamma (\alpha f_1(x)+\beta f_2(x))ds=\alpha\int_\gamma f_1(x)ds+\beta\int_\gamma f_2(x)ds ∫γ(αf1(x)+βf2(x))ds=α∫γf1(x)ds+β∫γf2(x)ds

定理17.3 γ\gammaγ是RnR^nRn上的可求长曲线，f(x)=1,x∈γf(x)=1,x\in \gammaf(x)=1,x∈γ在RnR^nRn上可积，并且∫γf(x)ds=L(γ)\int_\gamma f(x)ds = L(\gamma) ∫γf(x)ds=L(γ)

定理17.4 γ\gammaγ是RnR^nRn上的可求长曲线，f1,f2f_1,f_2f1,f2在γ\gammaγ上可积，并且f1(x)≤f2(x)x∈γf_1(x)\le f_2(x)\quad x\in \gammaf1(x)≤f2(x)x∈γ，则∫γf1(x)ds≤∫γf2(x)ds\int_\gamma f_1(x)ds \le \int_\gamma f_2(x)ds ∫γf1(x)ds≤∫γf2(x)ds

定理17.5 γ\gammaγ是RnR^nRn上的可求长曲线，起点和终点分别为A,BA,BA,B，取一个分点CCC，fff在γ\gammaγ上可积，则fff在ACACAC段和CBCBCB段都可积，并且∫γf(x)ds=∫ACf(x)ds+∫CBf(x)ds\int_{\gamma}f(x)ds=\int_{AC}f(x)ds+\int_{CB}f(x)ds ∫γf(x)ds=∫ACf(x)ds+∫CBf(x)ds

第一型曲线积分的计算公式

第一型曲线积分的计算也是通过定积分进行。

定理17.6 光滑曲线γ:ϕ(t),t∈[a,b]\gamma:\phi(t),t\in[a,b]γ:ϕ(t),t∈[a,b]，设ϕ′(t)≠0\phi^\prime(t)\neq 0ϕ′(t)=0，f(x)f(x)f(x)在γ\gammaγ上连续，则f(x)f(x)f(x)在γ\gammaγ上可积，并且∫γf(x)ds=∫abf(ϕ(t))∣∣ϕ′(t)∣∣dt\int_\gamma f(x)ds=\int_a^b f(\phi(t))||\phi^\prime(t)||dt ∫γf(x)ds=∫abf(ϕ(t))∣∣ϕ′(t)∣∣dt

证：
令S(x1,x2)=∫x1x2∣∣ϕ′(t)∣∣dt\displaystyle S(x_1,x_2)=\int_{x_1}^{x_2}||\phi^\prime(t)||dtS(x1,x2)=∫x1x2∣∣ϕ′(t)∣∣dt，则设m=min⁡t∈[a,b]∣∣ϕ′(t)∣∣,M=max⁡t∈[a,b]∣∣ϕ′(t)∣∣\displaystyle m=\min_{t\in[a,b]}||\phi^\prime(t)||,M=\max_{t\in[a,b]}||\phi^\prime(t)||m=t∈[a,b]min∣∣ϕ′(t)∣∣,M=t∈[a,b]max∣∣ϕ′(t)∣∣，有m>0m>0m>0²，因此m(x2−x1)≤S(x1,x2)≤M(x2−x1)m(x_2-x_1)\le S(x_1,x_2)\le M(x_2-x_1) m(x2−x1)≤S(x1,x2)≤M(x2−x1)对Δ:a=t0<t1<⋯<tn=b\Delta:a=t_0<t_1<\cdots<t_n=bΔ:a=t0<t1<⋯<tn=b，对应γ\gammaγ的分划Δ′:A0=ϕ(a),A1=ϕ(t1),⋯,An=ϕ(tn)=B\Delta^\prime: A_0=\phi(a),A_1=\phi(t_1),\cdots,A_n=\phi(t_n)=BΔ′:A0=ϕ(a),A1=ϕ(t1),⋯,An=ϕ(tn)=B，由上式可以看出，λ(Δ′)→0\lambda(\Delta^\prime)\to 0λ(Δ′)→0的充要条件是λ(Δ)→0\lambda(\Delta)\to 0λ(Δ)→0³。对任意的分划Δ:a=t0<⋯<tn=b\Delta:a=t_0<\cdots<t_n=bΔ:a=t0<⋯<tn=b，任取ξk∈[tk−1,tk](k=1,⋯,n)\xi_k\in[t_{k-1},t_k](k=1,\cdots,n)ξk∈[tk−1,tk](k=1,⋯,n)，由积分中值定理，存在ζk∈[tk−1,tk](k=1,⋯,n)\zeta_k\in[t_{k-1},t_k](k=1,\cdots,n)ζk∈[tk−1,tk](k=1,⋯,n)，有∑k=1nf(ξk)[S(tk)−S(tk−1)]=∑k=1nf(ξk)∫tk−1tk∣∣ϕ′(t)∣∣dt=∑k=1nf(ξk)∣∣ϕ′(ζk)∣∣Δtk\begin{aligned} &\sum_{k=1}^nf(\xi_k)[S(t_k)-S(t_{k-1})]=\sum_{k=1}^nf(\xi_k)\int_{t_{k-1}}^{t_k}||\phi^\prime(t)||dt\\ =&\sum_{k=1}^nf(\xi_k)||\phi^\prime(\zeta_k)||\Delta t_k \end{aligned} =k=1∑nf(ξk)[S(tk)−S(tk−1)]=k=1∑nf(ξk)∫tk−1tk∣∣ϕ′(t)∣∣dtk=1∑nf(ξk)∣∣ϕ′(ζk)∣∣Δtk∀ε>0\forall \varepsilon>0∀ε>0，设M=max⁡t∈[a,b]∣f(ϕ(t))∣\displaystyle M=\max_{t\in[a,b]}|f(\phi(t))|M=t∈[a,b]max∣f(ϕ(t))∣，由于∣∣ϕ′(t)∣∣||\phi^\prime(t)||∣∣ϕ′(t)∣∣在[a,b][a,b][a,b]上一致连续，存在δ1>0\delta_1>0δ1>0，对任意的x1,x2∈[a,b]x_1,x_2\in[a,b]x1,x2∈[a,b]，只要∣x1−x2∣<δ1|x_1-x_2|<\delta_1∣x1−x2∣<δ1，就有∣∣∣ϕ′(x1)∣∣−∣∣ϕ′(x2)∣∣∣<ε2M(b−a)\left|||\phi^\prime(x_1)||-||\phi^\prime(x_2)||\right|<\frac{\varepsilon}{2M(b-a)} ∣∣∣ϕ′(x1)∣∣−∣∣ϕ′(x2)∣∣∣<2M(b−a)ε令I=∫abf(ϕ(t))∣∣ϕ′(t)∣∣dt\displaystyle I=\int_a^bf(\phi(t))||\phi^\prime(t)||dtI=∫abf(ϕ(t))∣∣ϕ′(t)∣∣dt，存在δ2>0\delta_2>0δ2>0，就有∣∑k=1nf(ϕ(ξk))∣∣ϕ′(ξk)∣∣Δtk−I∣<ε2\left|\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\xi_k)||\Delta t_k-I\right|<\frac{\varepsilon}{2} ∣∣∣∣∣k=1∑nf(ϕ(ξk))∣∣ϕ′(ξk)∣∣Δtk−I∣∣∣∣∣<2ε只要λ(Δ)<δ0=min⁡(δ1,δ2)\lambda(\Delta)<\delta_0=\min(\delta_1,\delta_2)λ(Δ)<δ0=min(δ1,δ2)，就有∣∑k=1nf(ϕ(ξk))∣∣ϕ′(ξk)∣∣Δtk−∑k=1nf(ϕ(ξk))∣∣ϕ′(ζk)∣∣Δtk∣≤∑k=1n∣f(ϕ(ξk))∣∣∣∣ϕ′(ξk)∣∣−∣∣ϕ′(ζk)∣∣∣Δtk≤M(b−a)ε2M(b−a)=ε2\begin{aligned} &\left|\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\xi_k)||\Delta t_k-\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\zeta_k)||\Delta t_k\right|\\ \le&\sum_{k=1}^n|f(\phi(\xi_k))||||\phi^\prime(\xi_k)||-||\phi^\prime(\zeta_k)|||\Delta t_k\\ \le&M(b-a)\frac{\varepsilon}{2M(b-a)}=\frac{\varepsilon}{2} \end{aligned} ≤≤∣∣∣∣∣k=1∑nf(ϕ(ξk))∣∣ϕ′(ξk)∣∣Δtk−k=1∑nf(ϕ(ξk))∣∣ϕ′(ζk)∣∣Δtk∣∣∣∣∣k=1∑n∣f(ϕ(ξk))∣∣∣∣ϕ′(ξk)∣∣−∣∣ϕ′(ζk)∣∣∣ΔtkM(b−a)2M(b−a)ε=2ε则∣∑k=1nf(ϕ(ξk))∣∣ϕ′(ζk)∣∣Δtk−I∣≤∣∑k=1nf(ϕ(ξk))∣∣ϕ′(ξk)∣∣Δtk−I∣+∣∑k=1nf(ϕ(ξk))∣∣ϕ′(ξk)∣∣Δtk−∑k=1nf(ϕ(ξk))∣∣ϕ′(ζk)∣∣Δtk∣<ε\begin{aligned} &\left|\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\zeta_k)||\Delta t_k-I\right|\\ \le&\left|\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\xi_k)||\Delta t_k-I\right|+\\&\left|\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\xi_k)||\Delta t_k-\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\zeta_k)||\Delta t_k\right|\\ <&\varepsilon \end{aligned} ≤<∣∣∣∣∣k=1∑nf(ϕ(ξk))∣∣ϕ′(ζk)∣∣Δtk−I∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣k=1∑nf(ϕ(ξk))∣∣ϕ′(ξk)∣∣Δtk−I∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣k=1∑nf(ϕ(ξk))∣∣ϕ′(ξk)∣∣Δtk−k=1∑nf(ϕ(ξk))∣∣ϕ′(ζk)∣∣Δtk∣∣∣∣∣ε因此f(x)f(x)f(x)在γ\gammaγ上可积，并且∫γf(x)ds=∫abf(ϕ(t))∣∣ϕ′(t)∣∣dt\int_\gamma f(x)ds=\int_a^b f(\phi(t))||\phi^\prime(t)||dt ∫γf(x)ds=∫abf(ϕ(t))∣∣ϕ′(t)∣∣dt

由第一型曲线积分的区间可加性，我们就可以计算逐段光滑的曲线上的曲线积分。计算第一型曲线积分的第一步，首先是要写出曲线的参数方程，然后再套用以上公式即可。

例17.1 计算∫γ(x43+y43)ds\displaystyle \int_\gamma(x^{\frac{4}{3}}+y^{\frac{4}{3}})ds∫γ(x34+y34)ds，其中γ\gammaγ为曲线x23+y23=a23(a>0)x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}(a>0)x32+y32=a32(a>0)

解：
将γ\gammaγ写成参数方程形式{x=acos⁡3ty=asin⁡3t\begin{cases} x=a\cos^3t\\ y=a\sin^3t \end{cases} {x=acos3ty=asin3t其中t∈[−π,π]t\in[-\pi,\pi]t∈[−π,π]则{x′=−3asin⁡tcos⁡2ty′=3acos⁡tsin⁡2t\begin{cases} x^\prime=-3a\sin t\cos^2t\\ y^\prime=3a\cos t\sin^2t \end{cases} {x′=−3asintcos2ty′=3acostsin2t则x′2+y′2=3a∣sin⁡tcos⁡t∣\sqrt{x^{\prime2}+y^{\prime2}}=3a|\sin t\cos t| x′2+y′2=3a∣sintcost∣则∫γ(x43+y43)ds=∫−ππa43(sin⁡4t+cos⁡4t)(3a∣sin⁡tcos⁡t∣)dt=3a73∫−ππ(sin⁡4t+cos⁡4t)∣sin⁡tcos⁡t∣dt=4a73\begin{aligned} &\int_\gamma(x^{\frac{4}{3}}+y^{\frac{4}{3}})ds=\int_{-\pi}^\pi{a^{\frac{4}{3}}}(\sin^4t+\cos^4t)(3a|\sin t\cos t|)dt\\ =&3a^{\frac{7}{3}}\int_{-\pi}^\pi(\sin^4t+\cos^4t)|\sin t\cos t|dt =4a^{\frac{7}{3}} \end{aligned} =∫γ(x34+y34)ds=∫−ππa34(sin4t+cos4t)(3a∣sintcost∣)dt3a37∫−ππ(sin4t+cos4t)∣sintcost∣dt=4a37

例17.2 求∫Lxyds\displaystyle \int_Lxyds∫Lxyds，其中LLL为球面x2+y2+z2=a2x^2+y^2+z^2=a^2x2+y2+z2=a2与平面x+y+z=0x+y+z=0x+y+z=0的交线

解：
为了写出LLL的参数方程，我们首先要求出LLL在OxyOxyOxy平面上的投影，联立{x2+y2+z2=a2x+y+z=0\begin{cases} x^2+y^2+z^2=a^2\\ x+y+z=0 \end{cases} {x2+y2+z2=a2x+y+z=0消去zzz，得到x2+y2+(−x−y)2=2x2+2xy+2y2=a2x^2+y^2+(-x-y)^2=2x^2+2xy+2y^2=a^2 x2+y2+(−x−y)2=2x2+2xy+2y2=a2通过配方，得到2(x+y2)2+32y2=a22(x+\frac{y}{2})^2+\frac{3}{2}y^2=a^2 2(x+2y)2+23y2=a2通过变数替换后投影可以变换为椭圆，无论如何，从以上方程我们可以令{x+y2=22acos⁡ty=23asin⁡tz=−x−y\begin{cases} x+\frac{y}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t\\ y=\sqrt{\frac{2}{3}}a\sin t\\ z=-x-y \end{cases} ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x+2y=22acosty=32asintz=−x−y由此就可以得到LLL的参数方程{x=22acos⁡t−66asin⁡ty=63asin⁡tz=−22acos⁡t−66asin⁡t\begin{cases} x=\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t-\frac{\sqrt{6}}{6}a\sin t\\ y=\frac{\sqrt{6}}{3}a\sin t\\ z=-\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t-\frac{\sqrt{6}}{6}a\sin t \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x=22acost−66asinty=36asintz=−22acost−66asint其中t∈[−π,π]t\in [-\pi,\pi]t∈[−π,π]，则x′2+y′2+z′2=a\sqrt{x^{\prime2}+y^{\prime2}+z^{\prime2}}=a x′2+y′2+z′2=a从而∫Lxyds=a∫−ππ(22acos⁡t−66asin⁡t)(63asin⁡t)dt=−a33∫−ππsin⁡2tdt=−a3π3\begin{aligned} \int_Lxyds=&a\int_{-\pi}^\pi(\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t-\frac{\sqrt{6}}{6}a\sin t)(\frac{\sqrt{6}}{3}a\sin t)dt\\ =&-\frac{a^3}{3}\int_{-\pi}^\pi \sin^2tdt=-\frac{a^3\pi}{3} \end{aligned} ∫Lxyds==a∫−ππ(22acost−66asint)(36asint)dt−3a3∫−ππsin2tdt=−3a3π

例17.3 计算∫L(xy+xz+yz)ds\displaystyle \int_L(xy+xz+yz)ds∫L(xy+xz+yz)ds，LLL同例17.2

解：
注意到LLL上x,y,zx,y,zx,y,z的地位是相同，比如，求解∫Lxzds\displaystyle \int_Lxzds∫Lxzds，将参数方程写成{x=22acos⁡t−66asin⁡tz=63asin⁡ty=−22acos⁡t−66asin⁡t\begin{cases} x=\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t-\frac{\sqrt{6}}{6}a\sin t\\ z=\frac{\sqrt{6}}{3}a\sin t\\ y=-\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t-\frac{\sqrt{6}}{6}a\sin t \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x=22acost−66asintz=36asinty=−22acost−66asint再代入就可以得到∫Lxzds=−a3π3\displaystyle \int_Lxzds=-\frac{a^3\pi}{3}∫Lxzds=−3a3π，从而∫L(xy+xz+yz)ds=−a3π\int_L(xy+xz+yz)ds=-a^3\pi ∫L(xy+xz+yz)ds=−a3π

例17.4 计算∫L2y2+z2ds\displaystyle \int_L\sqrt{2y^2+z^2}ds∫L2y2+z2ds，其中LLL是x2+y2+z2=a2(a>0)x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)x2+y2+z2=a2(a>0)与x=yx=yx=y的交线

解：
在LLL上，有2y2+z2=a22y^2+z^2=a^22y2+z2=a2，有∫L2y2+z2ds=a2∫Lds=πa2\int_L\sqrt{2y^2+z^2}ds=a^2\int_Lds=\pi a^2 ∫L2y2+z2ds=a2∫Lds=πa2

第一型曲面积分

第一型曲面积分的物理背景及定义

同第一型曲面积分的物理背景类似，第一型曲面积分的物理背景是空间曲面的质量。如果SSS是可求面积的均匀的空间曲面，设其密度为ρ\rhoρ，那么SSS的质量为ρ∣S∣\rho|S|ρ∣S∣，其中∣S∣|S|∣S∣是SSS的面积。但如果SSS不是均匀的空间区间，在SSS上定义了密度函数ρ(x,y,z)\rho(x,y,z)ρ(x,y,z)，可以将SSS划分为可求面积的小区面块S1,⋯,SnS_1,\cdots,S_nS1,⋯,Sn，只要max⁡1≤i≤ndiam(Si)\displaystyle\max_{1\le i \le n}diam(S_i)1≤i≤nmaxdiam(Si)足够小，由一致连续性，S1,⋯,SnS_1,\cdots,S_nS1,⋯,Sn都可以视为均匀曲面，任取ξk∈Sk(k=1,⋯,n)\xi_k\in S_k(k=1,\cdots,n)ξk∈Sk(k=1,⋯,n)，则估计其质量为m(S)≈∑k=1nρ(ξk)∣Sk∣\displaystyle m(S)\approx\sum_{k=1}^n\rho(\xi_k)|S_k|m(S)≈k=1∑nρ(ξk)∣Sk∣，当max⁡1≤i≤ndiam(Si)→0\displaystyle\max_{1\le i \le n}diam(S_i)\to 01≤i≤nmaxdiam(Si)→0时，如果该和数有极限，则该极限为SSS的质量。

定义17.4 设SSS是一张可求面积的曲面，将SSS分割为可求面积的小曲面块S1,⋯,SnS_1,\cdots,S_nS1,⋯,Sn，记该分划为Δ\DeltaΔ，定义λ(Δ)=max⁡1≤i≤ndiam(Si)\lambda(\Delta)=\max_{1\le i \le n}diam(S_i) λ(Δ)=1≤i≤nmaxdiam(Si) f(x)f(x)f(x)是SSS上的函数，如果存在实数III，对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在δ>0\delta>0δ>0，对任意的分划Δ:S1,⋯,Sn\Delta:S_1,\cdots,S_nΔ:S1,⋯,Sn，只要λ(Δ)<δ\lambda(\Delta)<\deltaλ(Δ)<δ，任取ξk∈Sk(k=1,⋯,n)\xi_k\in S_k(k=1,\cdots,n)ξk∈Sk(k=1,⋯,n)，都有∣∑k=1nf(ξk)∣Sk∣−I∣<ε\left|\sum_{k=1}^nf(\xi_k)|S_k|-I\right|<\varepsilon ∣∣∣∣∣k=1∑nf(ξk)∣Sk∣−I∣∣∣∣∣<ε则称fff在SSS上可积，III称为fff在SSS上的第一型曲面积分，记为∬Sf(x)ds\displaystyle \iint_S f(x)ds∬Sf(x)ds

同样可以写出曲面积分的性质：线性，不等式，可加性等，这与曲线积分比较类似。

第一型曲面积分的计算公式

关于第一型曲面积分的存在性，可以模仿定积分和重积分的可积性理论，建立起曲面积分的可积性理论，就可以证明如下命题：

命题17.1 f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z)在光滑曲面SSS上连续，则f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z)在SSS上可积

下面我们给出第一型曲面积分的计算公式：

定理17.6 f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z)在光滑曲面{x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v)\begin{cases} x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v) \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v)上连续，其中(u,v)∈D(u,v)\in D(u,v)∈D，DDD为可求面积的有界闭区域，其中ru′×rv′≠0r_u^\prime\times r_v^\prime\neq 0ru′×rv′=0，则∬Sf(x,y,z)dS=∫Df(x(u,v),y(u,v),z(u,v))∣∣ru′×rv′∣∣dudv\iint_S f(x,y,z)dS = \int_D f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))||r_u^\prime\times r_v^\prime||dudv ∬Sf(x,y,z)dS=∫Df(x(u,v),y(u,v),z(u,v))∣∣ru′×rv′∣∣dudv

该定理的证明和曲线积分的证明是类似的，需要用到重积分的积分中值定理，这里就不再赘述了。下面给出第一型曲面积分的几个算例。

例17.5 （利用曲面方程化简被积函数）求解曲面积分∬SdSx2+y2\displaystyle \iint_S \frac{dS}{x^2+y^2}∬Sx2+y2dS，其中SSS为柱面x2+y2=R2x^2+y^2=R^2x2+y2=R2被平面z=0z=0z=0和z=Hz=Hz=H所截的部分

解：
由曲面方程为x2+y2=R2x^2+y^2=R^2x2+y2=R2，得到∬SdSx2+y2=1R2∬SdS=2RHπR2=2HπR\iint_S\frac{dS}{x^2+y^2}=\frac{1}{R^2}\iint_S dS=\frac{2RH\pi}{R^2}=\frac{2H\pi}{R} ∬Sx2+y2dS=R21∬SdS=R22RHπ=R2Hπ

例17.6 求解曲面积分∬Sz2dS\displaystyle \iint_S z^2 dS∬Sz2dS，其中SSS为x=ucos⁡v,y=usin⁡v,z=v(0≤u≤a,0≤v≤2π)x=u\cos v,y=u\sin v,z= v(0\le u\le a,0\le v\le 2\pi)x=ucosv,y=usinv,z=v(0≤u≤a,0≤v≤2π)

解：
ru′=(cos⁡v,sin⁡v,0),rv′=(−usin⁡v,ucos⁡v,1)r_u^\prime=(\cos v,\sin v,0),r_v^\prime=(-u\sin v,u\cos v,1)ru′=(cosv,sinv,0),rv′=(−usinv,ucosv,1)，则曲面积分化为重积分为⁴∬z2dS=∬[0,a]×[0,2π]v2u2+1dudv=4π33(ln⁡(a+1+a2)+a1+a2)\begin{aligned} \iint z^2dS=&\iint_{[0,a]\times[0,2\pi]}v^2\sqrt{u^2+1}dudv\\=&\frac{4\pi^3}{3}(\ln(a+\sqrt{1+a^2})+a\sqrt{1+a^2}) \end{aligned} ∬z2dS==∬[0,a]×[0,2π]v2u2+1dudv34π3(ln(a+1+a2)+a1+a2)

例17.7 （求解曲面积分时注意完整考虑整个曲面，不要遗漏某一两面）求解第一型曲面积分∬Sx2+y2dS\displaystyle \iint_S x^2+y^2 dS∬Sx2+y2dS，其中SSS为立体x2+y2≤z≤1\sqrt{x^2+y^2}\le z\le 1x2+y2≤z≤1的边界曲面

解：
需要注意的是，这个立体是一个倒圆锥，有一个底面和一个侧面，不要遗漏掉底面。设底面为S1S_1S1，侧面为S2S_2S2，则S1:z=1,x2+y2≤1S_1:z=1,x^2+y^2\le 1S1:z=1,x2+y2≤1，从而∬S1x2+y2dS=∬x2+y2≤1x2+y2dS=∫02πdθ∫01r3dr=π2\begin{aligned} &\iint_{S_1} x^2+y^2 dS=\iint_{x^2+y^2\le 1}x^2+y^2 dS\\ =&\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1r^3dr=\frac{\pi}{2} \end{aligned} =∬S1x2+y2dS=∬x2+y2≤1x2+y2dS∫02πdθ∫01r3dr=2π侧面写成参数方程形式为{x=rcos⁡θy=rsin⁡θz=r\begin{cases} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\\ z=r \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x=rcosθy=rsinθz=r取值范围为0≤r≤1,0≤θ≤2π0\le r\le 1,0\le \theta\le 2\pi0≤r≤1,0≤θ≤2π，此时A2+B2+C2=2r\sqrt{A^2+B^2+C^2}=\sqrt{2}rA2+B2+C2=2r，则将曲面积分化为重积分即为∬S2x2+y2dS=2∫02πdθ∫01r3dr=2π2\iint_{S_2} x^2+y^2 dS=\sqrt{2}\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 r^3dr=\frac{\sqrt{2}\pi}{2} ∬S2x2+y2dS=2∫02πdθ∫01r3dr=22π则∬Sx2+y2dS=∬S1x2+y2dS+∬S2x2+y2dS=(1+2)π2\iint_S x^2+y^2 dS=\iint_{S_1} x^2+y^2 dS+\iint_{S_2} x^2+y^2 dS=\frac{(1+\sqrt{2})\pi}{2} ∬Sx2+y2dS=∬S1x2+y2dS+∬S2x2+y2dS=2(1+2)π

第二型曲线积分与曲面积分

第二型曲线积分

第二型曲线积分的物理背景及定义

第二型曲线积分的物理背景是变力做功。

如上图，如果在牵引力FFF的作用下，箱子移动的位移sss，则在力学中，力FFF对箱子所作的功为F.sF.sF.s，这是恒力对一个质点的作用。如果是变力，该如何求解力对质点所作的功呢。假设在平面上有一个力场F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))，在力的作用下，质点的运动轨迹为s：s(t)=(x(t),y(t)),t∈[α,β]s：s(t)=(x(t),y(t)),t\in[\alpha,\beta]s：s(t)=(x(t),y(t)),t∈[α,β]，这里假设运动轨迹是光滑的。则我们可以将运动曲线划分为nnn段小曲线s1,⋯,sns_1,\cdots,s_ns1,⋯,sn，每段运动都可以视为恒力做功，任取(ξk,ζk)∈sk(\xi_k,\zeta_k)\in s_k(ξk,ζk)∈sk，在该段发生的位移为Δsk\Delta s_kΔsk，则估计该力所做的功为W≈∑k=1nF(ξk,ζk).ΔskW\approx \sum_{k=1}^nF(\xi_k,\zeta_k).\Delta s_k W≈k=1∑nF(ξk,ζk).Δsk当曲线段最大直径趋于0时，如果以上和式右极限，即为力场对质点所作的功。将以上物理背景进行抽象，就得到第二型曲线积分。

定义17.5 LLL为RnR^nRn上的连续曲线，起点为AAA，终点为BBB，F(x)=(F1(x),⋯,Fn(x))F(x)=(F_1(x),\cdots,F_n(x))F(x)=(F1(x),⋯,Fn(x))是定义在LLL上的nnn维向量函数，如果存在实数III，对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在δ>0\delta>0δ>0，对任意的LLL的分划Δ:A=A0,A1,⋯,Am−1,Am=B\Delta:A=A_0,A_1,\cdots,A_{m-1},A_m=BΔ:A=A0,A1,⋯,Am−1,Am=B，只要λ(Δ)<δ\lambda(\Delta)<\deltaλ(Δ)<δ，不论取何种ξk∈Ak−1Ak\xi_k\in A_{k-1}A_kξk∈Ak−1Ak，其中Ak−1AkA_{k-1}A_kAk−1Ak表示Ak−1A_{k-1}Ak−1到AkA_kAk的弧段（k=1,⋯,mk=1,\cdots,mk=1,⋯,m），都有∣∑k=1mF(ξk).(Ak−Ak−1)−I∣<ε\left|\sum_{k=1}^m F(\xi_k).(A_k-A_{k-1}) - I\right|<\varepsilon ∣∣∣∣∣k=1∑mF(ξk).(Ak−Ak−1)−I∣∣∣∣∣<ε在上式中，AkA_kAk表示向量(k=1,⋯,n)(k=1,\cdots,n)(k=1,⋯,n)，则称FFF在LLL上的第二型曲线积分存在，III记为∫L∑k=1nFk(x)dxk\displaystyle\int_L\sum_{k=1}^nF_k(x)dx_k∫Lk=1∑nFk(x)dxk

第二型曲线积分是有向的，计算第二型曲线积分时必须指定起点和终点，容易证明第二型曲线积分有线性性质，区间可加性，并且起终点互换时，第二型曲线积分的值为原来的值的相反数，具体的定理和证明就不一一写出了。

第二型曲线积分的计算方法

同样地，我们仅给出光滑曲线上的第二型曲线积分的计算公式。对光滑曲线L:x(t)=(x1(t),⋯,xn(t))t∈[a,b]L:x(t)=(x_1(t),\cdots,x_n(t))\quad t\in[a,b] L:x(t)=(x1(t),⋯,xn(t))t∈[a,b]F(x)=(F1(x),⋯,Fn(x))F(x)=(F_1(x),\cdots,F_n(x))F(x)=(F1(x),⋯,Fn(x))是定义在LLL上的连续函数，对分划Δ:a=t0<t1<⋯<tm=b\Delta:a=t_0<t_1<\cdots<t_m=bΔ:a=t0<t1<⋯<tm=b，任取ξk∈[tk−1,tk](k=1,⋯,m)\xi_k\in[t_{k-1},t_k](k=1,\cdots,m)ξk∈[tk−1,tk](k=1,⋯,m)，得到一个和式∑k=1mF(x(ξk)).(x(tk)−x(tk−1))=∑k=1m∑i=1nFi(x(ξk))(xi(tk)−xi(tk−1))\sum_{k=1}^mF(x(\xi_k)).(x(t_k)-x(t_{k-1}))=\sum_{k=1}^m\sum_{i=1}^nF_i(x(\xi_k))(x_i(t_k)-x_i(t_{k-1})) k=1∑mF(x(ξk)).(x(tk)−x(tk−1))=k=1∑mi=1∑nFi(x(ξk))(xi(tk)−xi(tk−1))由拉格朗日中值定理，对任意的i=1,⋯,n,k=1,⋯,mi=1,\cdots,n,k=1,\cdots,mi=1,⋯,n,k=1,⋯,m，存在ζik∈[tk−1,tk]\zeta_{ik}\in [t_{k-1},t_k]ζik∈[tk−1,tk]，满足：xi(tk)−xi(tk−1)=xi′(ζik)Δtkx_i(t_k)-x_i(t_{k-1})=x_i^\prime(\zeta_{ik})\Delta t_k xi(tk)−xi(tk−1)=xi′(ζik)Δtk代入，得到∑k=1mF(x(ξk)).(x(tk)−x(tk−1))=∑k=1m∑i=1nFi(x(ξk))xi′(ζik)Δtk\sum_{k=1}^mF(x(\xi_k)).(x(t_k)-x(t_{k-1}))=\sum_{k=1}^m\sum_{i=1}^nF_i(x(\xi_k))x_i^\prime(\zeta_{ik})\Delta t_k k=1∑mF(x(ξk)).(x(tk)−x(tk−1))=k=1∑mi=1∑nFi(x(ξk))xi′(ζik)Δtk对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，由于FFF是连续的，设M1=max⁡1≤k≤nmax⁡t∈[a,b]∣Fi(x(t))∣\displaystyle M_1=\max_{1\le k\le n}\max_{t\in[a,b]}|F_i(x(t))|M1=1≤k≤nmaxt∈[a,b]max∣Fi(x(t))∣，由一致连续性，存在δ>0\delta>0δ>0，当x1,x2∈[a,b],∣x1−x2∣<δ1x_1,x_2\in[a,b],|x_1-x_2|<\delta_1x1,x2∈[a,b],∣x1−x2∣<δ1时，对任意的i=1,⋯,ni=1,\cdots,ni=1,⋯,n，都有∣xi′(x1)−xi′(x2)∣<ε2M(b−a)|x_i^\prime(x_1)-x_i^\prime(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2M(b-a)} ∣xi′(x1)−xi′(x2)∣<2M(b−a)ε又存在δ2>0\delta_2>0δ2>0，当λ(Δ)<δ2\lambda(\Delta)<\delta_2λ(Δ)<δ2时，有∣∑k=1mFi(x(ξk))xi′(ξk)Δtk−∫abFi(x(t))xi′(t)dt∣<ε2\left|\sum_{k=1}^mF_i(x(\xi_k))x_i^\prime(\xi_k)\Delta t_k-\int_a^bF_i(x(t))x_i^\prime(t)dt\right|<\frac{\varepsilon}{2} ∣∣∣∣∣k=1∑mFi(x(ξk))xi′(ξk)Δtk−∫abFi(x(t))xi′(t)dt∣∣∣∣∣<2ε则当λ(Δ)<min⁡(δ1,δ2)\lambda(\Delta)<\min(\delta_1,\delta_2)λ(Δ)<min(δ1,δ2)时，有∣∫abFi(x(t))xi′(t)dt−∑k=1mFi(x(ξk))xi′(ζik)Δtk∣≤∣∑k=1mFi(x(ξk))xi′(ζik)Δtk−∑k=1mFi(x(ξk))xi′(ξk)Δtk∣+∣∫abFi(x(t))xi′(t)dt−∑k=1mFi(x(ξk))xi′(ξk)Δtk∣<ε2+∑k=1m∣Fi(x(ξk))∣∣xi′(ξk)−xi′(ζik)∣Δtk<ε2+Mε2M(b−a)∑k=1mΔtk=ε\begin{aligned} &\left|\int_a^bF_i(x(t))x_i^\prime(t)dt-\sum_{k=1}^mF_i(x(\xi_k))x_i^\prime(\zeta_{ik})\Delta t_k\right|\\ \le&\left|\sum_{k=1}^mF_i(x(\xi_k))x_i^\prime(\zeta_{ik})\Delta t_k-\sum_{k=1}^mF_i(x(\xi_k))x_i^\prime(\xi_k)\Delta t_k\right|+\\ &\left|\int_a^bF_i(x(t))x_i^\prime(t)dt-\sum_{k=1}^mF_i(x(\xi_k))x_i^\prime(\xi_k)\Delta t_k\right|\\ <&\frac{\varepsilon}{2}+\sum_{k=1}^m|F_i(x(\xi_k))||x_i^\prime(\xi_k)-x_i^\prime(\zeta_{ik})|\Delta t_k\\ <&\frac{\varepsilon}{2}+M\frac{\varepsilon}{2M(b-a)}\sum_{k=1}^m\Delta t_k=\varepsilon \end{aligned} ≤<<∣∣∣∣∣∫abFi(x(t))xi′(t)dt−k=1∑mFi(x(ξk))xi′(ζik)Δtk∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣k=1∑mFi(x(ξk))xi′(ζik)Δtk−k=1∑mFi(x(ξk))xi′(ξk)Δtk∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∫abFi(x(t))xi′(t)dt−k=1∑mFi(x(ξk))xi′(ξk)Δtk∣∣∣∣∣2ε+k=1∑m∣Fi(x(ξk))∣∣xi′(ξk)−xi′(ζik)∣Δtk2ε+M2M(b−a)εk=1∑mΔtk=ε得出结论，对i=1,⋯,ni=1,\cdots,ni=1,⋯,n，有lim⁡λ(Δ)→0∑k=1mFi(x(ξk))(xi(tk)−xi(tk−1))=∫abFi(x(t))xi′(t)dt\lim_{\lambda(\Delta)\to 0} \sum_{k=1}^m F_i(x(\xi_k))(x_i(t_{k})-x_i(t_{k-1}))=\int_a^bF_i(x(t))x_i^\prime(t)dt λ(Δ)→0limk=1∑mFi(x(ξk))(xi(tk)−xi(tk−1))=∫abFi(x(t))xi′(t)dt故lim⁡λ(Δ)→0∑i=1n∑k=1mFi(x(ξk))(xi(tk)−xi(tk−1))=∑i=1n∫abFi(x(t))xi′(t)dt\lim_{\lambda(\Delta)\to 0} \sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^m F_i(x(\xi_k))(x_i(t_{k})-x_i(t_{k-1}))=\sum_{i=1}^n\int_a^bF_i(x(t))x_i^\prime(t)dt λ(Δ)→0limi=1∑nk=1∑mFi(x(ξk))(xi(tk)−xi(tk−1))=i=1∑n∫abFi(x(t))xi′(t)dt而max⁡1≤k≤mdiam(sk)→0\displaystyle\max_{1\le k\le m}diam(s_k)\to 01≤k≤mmaxdiam(sk)→0的充要条件就是λ(Δ)→0\displaystyle \lambda(\Delta)\to0λ(Δ)→0。于是就有如下定理

定理17.7 对光滑曲线L:x(t)=(x1(t),⋯,xn(t))t∈[a,b]L:x(t)=(x_1(t),\cdots,x_n(t))\quad t\in[a,b] L:x(t)=(x1(t),⋯,xn(t))t∈[a,b]F(x)=(F1(x),⋯,Fn(x))F(x)=(F_1(x),\cdots,F_n(x))F(x)=(F1(x),⋯,Fn(x))是定义在LLL上的连续函数，F(x)F(x)F(x)在LLL上的第二型曲线积分存在，并且∫L∑k=1nFk(x)dxk=∑k=1n∫abFi(x(t))xi′(t)dt\int_L\sum_{k=1}^nF_k(x)d x_k=\sum_{k=1}^n\int_a^bF_i(x(t))x_i^\prime(t)dt ∫Lk=1∑nFk(x)dxk=k=1∑n∫abFi(x(t))xi′(t)dt

由定理17.7，实际上我们可以分开定义∫LFi(x)dxi(i=1,⋯,n)\displaystyle\int_L F_i(x)dx_i(i=1,\cdots,n)∫LFi(x)dxi(i=1,⋯,n)，但如果这样定义，就不能反映出第二型曲线积分的物理背景。但计算第二型曲线积分时，需要逐个计算∫LFi(x)dxi(i=1,⋯,n)\displaystyle\int_L F_i(x)dx_i(i=1,\cdots,n)∫LFi(x)dxi(i=1,⋯,n)，再求和。以下是第二型曲线积分的若干算例。

例17.8（确定曲线的方向）计算第二型曲线积分∫L(y+z)dx+(x+z)dy+(x+y)dz\displaystyle \int_L (y+z)dx+(x+z)dy+(x+y)dz∫L(y+z)dx+(x+z)dy+(x+y)dz，其中LLL为曲线x2+y2=1,z=0x^2+y^2=1,z=0x2+y2=1,z=0，从zzz轴正向看去取逆时针

解：

计算改积分的难点是确定曲线的方向，将曲线写成参数方程的形式{x=cos⁡ty=sin⁡tz=0\begin{cases} x=\cos t\\ y=\sin t\\ z=0 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x=costy=sintz=0方向如上图所示，则参数的取值范围是[0,2π][0,2\pi][0,2π]，起点为t=0t=0t=0，终点为t=2πt=2\pit=2π，则∫L(y+z)dx+(x+z)dy+(x+y)dz=∫02π(−sin⁡2t+cos⁡2t)dt=0\begin{aligned} &\int_L (y+z)dx+(x+z)dy+(x+y)dz\\ =&\int_0^{2\pi}(-\sin^2 t+\cos^2 t) dt=0 \end{aligned} =∫L(y+z)dx+(x+z)dy+(x+y)dz∫02π(−sin2t+cos2t)dt=0

注：如何理解例17.8中的从z轴正向看去成逆时针方向：实际上，可以手比划出一个圈，从下网上看，在该视角下确定逆时针方向，标上箭头即可。当然，我们可以用右手螺旋法则确定该方向，伸出右手，拇指向上，另外四指所指的方向即为题目所指定的方向。

例17.9（利用投影法确定曲线参数方程）计算第二型曲线积分∫Lydx+zdy+xdz\displaystyle\int_L ydx+zdy+xdz∫Lydx+zdy+xdz，其中LLL为曲线{x2+y2+z2=2zx+z=1\begin{cases} x^2+y^2+z^2=2z\\x+z=1\end{cases}{x2+y2+z2=2zx+z=1从zzz轴正向看去，LLL取逆时针

解：
该题的难点在于确定曲线的参数方程，联立两个曲线，消去zzz，得到2x2+y2=12x^2+y^2=1 2x2+y2=1可见曲线在OxyOxyOxy平面上的投影是一个椭圆，由此，就可以很容易的写出该曲线的参数方程{x=22cos⁡θy=sin⁡θz=1−22cos⁡θ\begin{cases} x=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta\\ y=\sin \theta\\ z=1-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x=22cosθy=sinθz=1−22cosθ接下来，我们需要确定曲线的方向，由右手螺旋法则，θ\thetaθ的取值范围是[0,2π][0,2\pi][0,2π]，起点是θ=0\theta=0θ=0，终点是θ=2π\theta=2\piθ=2π，因此∫Lydx+zdy+xdz=∫02π(−22sin⁡2θ+(1−22cos⁡θ)cos⁡θ+12sin⁡θcos⁡θ)dθ=−2π\begin{aligned} &\int_Lydx+zdy+xdz\\=&\int_0^{2\pi}(-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin^2\theta+(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta)\cos\theta+\frac{1}{2}\sin\theta\cos\theta) d\theta\\ =&-\sqrt{2}\pi \end{aligned} ==∫Lydx+zdy+xdz∫02π(−22sin2θ+(1−22cosθ)cosθ+21sinθcosθ)dθ−2π

对于闭曲线，设其围成的图形为SSS，指定其正向为向该方向移动，SSS始终在其左手边，则对于闭曲线LLL，记其正向的曲线积分为∮LPdx+Qdy\oint_LPdx+Qdy ∮LPdx+Qdy
例17.10 （利用曲线来简化被积函数）计算下列第二型曲线积分∮Lxdy−ydxx2+y2\displaystyle \oint_L\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}∮Lx2+y2xdy−ydx，其中LLL为x2+y2=1x^2+y^2=1x2+y2=1

解：
在该曲线上，有x2+y2=1x^2+y^2=1x2+y2=1，则∮Lxdy−ydxx2+y2=∮Lxdy−ydx\oint_L\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}=\oint_Lxdy-ydx ∮Lx2+y2xdy−ydx=∮Lxdy−ydx曲线的参数方程为{x=cos⁡θy=sin⁡θ\begin{cases} x=\cos\theta\\ y=\sin\theta \end{cases} {x=cosθy=sinθ取值范围[0,2π][0,2\pi][0,2π]，起点为θ=0\theta=0θ=0，终点为θ=2π\theta=2\piθ=2π，则∮Lxdy−ydx=∫02π(cos⁡2θ+sin⁡2θ)dθ=2π\oint_Lxdy-ydx=\int_0^{2\pi}(\cos^2\theta+\sin^2\theta) d\theta=2\pi ∮Lxdy−ydx=∫02π(cos2θ+sin2θ)dθ=2π

两类曲线积分的联系

第一型曲线积分和第二型曲线积分是有联系的。若光滑曲线L:x(t),t∈[a,b]L:x(t),t\in [a,b]L:x(t),t∈[a,b]，满足x′(t)≠0,∀t∈[a,b]x^\prime(t)\neq 0,\forall t\in [a,b]x′(t)=0,∀t∈[a,b]则对t∈[a,b]t\in[a,b]t∈[a,b]，在该点处曲线的切向量为(x1′(t),⋯,xn′(t))(x_1^\prime(t),\cdots,x_n^\prime(t))(x1′(t),⋯,xn′(t))，单位向量为(x1′(t)∑i=1nxi′2(t),x2′(t)∑i=1nxi′2(t),⋯,xn′(t)∑i=1nxi′2(t))(\frac{x_1^\prime(t)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n{x_i^{\prime2}(t)}}},\frac{x_2^\prime(t)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n{x_i^{\prime2}(t)}}},\cdots,\frac{x_n^\prime(t)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n{x_i^{\prime2}(t)}}}) (∑i=1nxi′2(t)x1′(t),∑i=1nxi′2(t)x2′(t),⋯,∑i=1nxi′2(t)xn′(t))记cos⁡αi=xi′(t)∑i=1nxi′2(t)\cos \alpha_i=\frac{x_i^\prime(t)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n{x_i^{\prime2}(t)}}}cosαi=∑i=1nxi′2(t)xi′(t)，若fi(x1,⋯,xn)(i=1,⋯,n)f_i(x_1,\cdots,x_n)(i=1,\cdots,n)fi(x1,⋯,xn)(i=1,⋯,n)在LLL上连续，则∫L∑i=1nfidxi=∫ab∑i=1nficos⁡αi∑i=1nxi′2(t)=∫L∑i=1nficos⁡αids\int_L\sum_{i=1}^nf_idx_i=\int_a^b\sum_{i=1}^nf_i\cos\alpha_i\sqrt{\sum_{i=1}^n{x_i^{\prime2}(t)}}=\int_L\sum_{i=1}^nf_i\cos\alpha_ids ∫Li=1∑nfidxi=∫abi=1∑nficosαii=1∑nxi′2(t)=∫Li=1∑nficosαids在这里cos⁡αi(i=1,⋯,n)\cos\alpha_i(i=1,\cdots,n)cosαi(i=1,⋯,n)是LLL上的连续函数，这个公式就建立了第二型曲线积分和第一型曲线积分的联系，当然，第一型曲线积分是没有方向的，之所以第二型曲线积分有方向，是因为cos⁡αi(i=1,⋯,n)\cos\alpha_i(i=1,\cdots,n)cosαi(i=1,⋯,n)是由曲线的方向确定的。

第二型曲面积分

曲面的定向

在介绍第二型曲面积分的物理背景以及其定义之前，我们首先需要介绍曲面的定向。首先我们要给出可定向曲面和不可定向曲面的概念。所谓可定向曲面，又称双侧曲面，也就是对曲面上任意一点，都有两个方向相反的单位法向量，确定一个正方向后，绕着曲面环绕一周，单位法向量连续变化，回到原点后单位法向量应当同原来相同。举一个例子：圆柱面。下图是一个圆柱面

从AAA点开始，绕着图中的闭曲面，环绕一周，AAA处法向量确定为向外的法向量，则环绕一周后，法向量连续变化，回到AAA点时，法向量和原来相同，此时称该曲面为可定向曲面或双侧曲面。不可定向曲面则相反，莫比乌斯带就是一个典型的单侧曲面或不可定向曲面。莫比乌斯带的构造如下，取一个细长的矩形纸带ABB′A′ABB^\prime A^\primeABB′A′，AAA对应B′B^\primeB′，BBB对应A′A^\primeA′将纸袋ABABAB边和A′B′A^\prime B^\primeA′B′边拼接起来

沿着原来的直线CC′CC^\primeCC′运动，在CCC处选定一个单位法向量，且连续变化，到达C′C^\primeC′点时，法向量则会变成原来的反方向。我们的讨论仅限于双侧曲面，对于双侧曲面，每一点都取一个正方向（要求这个单位向量作为曲面的向量函数在曲面上是连续的），这样就规定的曲面正侧，设此时单位向量为(cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ)(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)(cosα,cosβ,cosγ)。则另一侧称为负侧，对应的法向量为−(cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ)-(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)−(cosα,cosβ,cosγ)。当cos⁡γ>0\cos\gamma>0cosγ>0，则称此时的正侧为上侧，反之称下侧，当cos⁡β>0\cos\beta>0cosβ>0，则称此时的正侧为右侧，反之称左侧，当cos⁡α>0\cos\alpha>0cosα>0，则称此时的正侧为前侧，反之为后侧。对于封闭曲面，设其围成的立体为VVV，若单位向量指向VVV，称该侧为内侧，否则称外侧。

第二型曲面积分的物理背景及定义

第二型曲面积分的物理背景是通过一个空间曲面的流体的流量，设流体流动的速度向量为v(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))v(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))v(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))。如果流速是恒定的，通过一个平面区域ΔS\Delta SΔS，该平面的法向量为nnn，则流量应该为v.n∣ΔS∣v.n|\Delta S|v.n∣ΔS∣，其中∣ΔS∣|\Delta S|∣ΔS∣为ΔS\Delta SΔS的面积，如果流速在空间上不是恒定的，则我们可以将曲面划分为若干小区块，只要最大直径足够小，小区块可以近似的认为是平直的，任取其中一点的单位法向量n(ξk)=(cos⁡αk,cos⁡βk,cos⁡γk)n(\xi_k)=(\cos\alpha_k,\cos\beta_k,\cos\gamma_k)n(ξk)=(cosαk,cosβk,cosγk)，估计该曲面块上的流量为n(ξk).v(ξk)∣ΔSk∣n(\xi_k).v(\xi_k)|\Delta S_k|n(ξk).v(ξk)∣ΔSk∣，则估计整个曲面的流量为∑k=1mn(ξk).v(ξk)∣ΔSk∣\displaystyle \sum_{k=1}^m n(\xi_k).v(\xi_k)|\Delta S_k|k=1∑mn(ξk).v(ξk)∣ΔSk∣，当max⁡1≤i≤mdiam(ΔSk)→0\displaystyle \max_{1\le i\le m}diam(\Delta S_k)\to 01≤i≤mmaxdiam(ΔSk)→0时，如果以上和式有极限存在，该极限就是单位时间内该流量场通过该空间曲面的流量。再考察以上和式∑k=1mn(ξk).v(ξk)∣ΔSk∣=∑k=1mP(ξk)cos⁡αk∣ΔSk∣+∑k=1mQ(ξk)cos⁡βk∣ΔSk∣+∑k=1mR(ξk)cos⁡γk∣ΔSk∣\begin{aligned} &\sum_{k=1}^m n(\xi_k).v(\xi_k)|\Delta S_k|\\=&\sum_{k=1}^m P(\xi_k)\cos\alpha_k|\Delta S_k|+\sum_{k=1}^m Q(\xi_k)\cos\beta_k|\Delta S_k|+\sum_{k=1}^m R(\xi_k)\cos\gamma_k|\Delta S_k| \end{aligned} =k=1∑mn(ξk).v(ξk)∣ΔSk∣k=1∑mP(ξk)cosαk∣ΔSk∣+k=1∑mQ(ξk)cosβk∣ΔSk∣+k=1∑mR(ξk)cosγk∣ΔSk∣当vvv连续时，三个曲面积分都存在∬SPcos⁡αdS,∬SQcos⁡βdS,∬SRcos⁡γdS\iint_S P\cos\alpha dS,\iint_S Q\cos\beta dS,\iint_S R\cos\gamma dS ∬SPcosαdS,∬SQcosβdS,∬SRcosγdS并且lim⁡λ(Δ)→0∑k=1mP(ξk)cos⁡αk∣ΔSk∣=∬SPcos⁡αdSlim⁡λ(Δ)→0∑k=1mQ(ξk)cos⁡βk∣ΔSk∣=∬SQcos⁡βdSlim⁡λ(Δ)→0∑k=1mR(ξk)cos⁡γk∣ΔSk∣=∬SRcos⁡γdS\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^m P(\xi_k)\cos\alpha_k|\Delta S_k|=\iint_S P\cos\alpha dS\\ \lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^m Q(\xi_k)\cos\beta_k|\Delta S_k|=\iint_S Q\cos\beta dS\\ \lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^m R(\xi_k)\cos\gamma_k|\Delta S_k|=\iint_S R\cos\gamma dS λ(Δ)→0limk=1∑mP(ξk)cosαk∣ΔSk∣=∬SPcosαdSλ(Δ)→0limk=1∑mQ(ξk)cosβk∣ΔSk∣=∬SQcosβdSλ(Δ)→0limk=1∑mR(ξk)cosγk∣ΔSk∣=∬SRcosγdS记∬SPcos⁡αdS=∬SPdydz,∬SQcos⁡βdS=∬SQdzdx,∬SRcos⁡γdS=∬SRdxdy\displaystyle \iint_S P\cos\alpha dS=\iint_S Pdydz,\iint_S Q\cos\beta dS=\iint_S Qdzdx,\iint_S R\cos\gamma dS=\iint_S Rdxdy∬SPcosαdS=∬SPdydz,∬SQcosβdS=∬SQdzdx,∬SRcosγdS=∬SRdxdy。我们称这个积分是第二型曲面积分，从定义来看，第二型曲面积分是有方向的，方向就体现在正侧的选择上，第二型曲面积分和第一型曲面积分的联系是∬SPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∬SPcos⁡α+Qcos⁡β+Rcos⁡γdS\iint_S Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iint_S P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma dS ∬SPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∬SPcosα+Qcosβ+RcosγdS这与第一型曲线积分和第二型曲线积分的联系是一致的。

第二型曲面积分的计算方法

如果光滑曲面{x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v)\begin{cases} x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v) \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v)其中(u,v)∈D(u,v)\in D(u,v)∈D，DDD是可求面积的有界闭区域，满足ru′×rv′≠0r_u^\prime\times r_v^\prime\neq 0ru′×rv′=0，则对任意的(u,v)∈D(u,v)\in D(u,v)∈D，在该点处的法向量为±(A,B,C)A=∂(y,z)∂(u,v),B=∂(z,x)∂(u,v),C=∂(x,y)∂(u,v)\pm (A,B,C)\quad A=\frac{\partial (y,z)}{\partial(u,v)},B=\frac{\partial (z,x)}{\partial(u,v)},C=\frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)} ±(A,B,C)A=∂(u,v)∂(y,z),B=∂(u,v)∂(z,x),C=∂(u,v)∂(x,y)选定其中一侧为正侧，设正侧的法向量为(A,B,C)(A,B,C)(A,B,C)，则第二型曲面积分的计算公式为∬SPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∬DPA+QB+RCdudv\iint_S Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =\iint_D PA+QB+RCdudv ∬SPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∬DPA+QB+RCdudv证明方法和第一型曲面积分公式的证明方法是类似的（利用积分中值定理和一致连续性），这里就不再具体写出，下面给出一个算例。

例17.11 （利用曲面特征化简被积函数）计算第二型曲面积分I=∬Sxdydz+ydzdx+zdxdy(x2+y2+z2)32\displaystyle I=\iint_S \frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}I=∬S(x2+y2+z2)23xdydz+ydzdx+zdxdy，其中SSS为z=a2−x2−y2z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}z=a2−x2−y2的上侧

解：
由于在曲面上有x2+y2+z2=a2x^2+y^2+z^2=a^2x2+y2+z2=a2，则∬Sxdydz+ydzdx+zdxdy(x2+y2+z2)32=1a3∬Sxdydz+ydzdx+zdxdy\iint_S \frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{a^3}\iint_S xdydz+ydzdx+zdxdy ∬S(x2+y2+z2)23xdydz+ydzdx+zdxdy=a31∬Sxdydz+ydzdx+zdxdy曲面的参数方程为{x=acos⁡φcos⁡θy=acos⁡φsin⁡θz=asin⁡φ\begin{cases} x=a\cos\varphi\cos\theta\\ y=a\cos\varphi\sin\theta\\ z=a\sin\varphi \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x=acosφcosθy=acosφsinθz=asinφ取值范围为0≤φ≤π2,0≤θ≤2π0\le \varphi \le\frac{\pi}{2},0\le \theta \le 2\pi0≤φ≤2π,0≤θ≤2π，并且rφ′=(−asin⁡φcos⁡θ,−asin⁡φsin⁡θ,acos⁡φ)r_\varphi^\prime=(-a\sin\varphi\cos\theta,-a\sin\varphi\sin\theta,a\cos\varphi)rφ′=(−asinφcosθ,−asinφsinθ,acosφ)，rθ′=(−acos⁡φsin⁡θ,acos⁡φcos⁡θ,0)r_\theta^\prime=(-a\cos\varphi\sin\theta,a\cos\varphi\cos\theta,0)rθ′=(−acosφsinθ,acosφcosθ,0)，则A=a2cos⁡2φcos⁡θB=a2cos⁡2φsin⁡θC=a2sin⁡φcos⁡φA=a^2\cos^2\varphi\cos\theta\\ B=a^2\cos^2\varphi\sin\theta\\ C=a^2\sin\varphi\cos\varphi A=a2cos2φcosθB=a2cos2φsinθC=a2sinφcosφ代入∬Sxdydz+ydzdx+zdxdy=a3∫0π2dφ∫02πdθ=2πa3\begin{aligned} &\iint_S xdydz+ydzdx+zdxdy\\ =&a^3\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_0^{2\pi}d\theta=2\pi a^3 \end{aligned} =∬Sxdydz+ydzdx+zdxdya3∫02πdφ∫02πdθ=2πa3因此∬Sxdydz+ydzdx+zdxdy(x2+y2+z2)32=2π\iint_S \frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}=2\pi ∬S(x2+y2+z2)23xdydz+ydzdx+zdxdy=2π

积分之间的联系

格林公式

定理17.8 P,QP,QP,Q在区域Ω⊆R2\Omega\subseteq R^2Ω⊆R2上连续可导，D⊆ΩD\subseteq \OmegaD⊆Ω是由有限条逐段光滑的简单闭曲线LLL围成的有界闭区域，则有∫LPdx+Qdy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\int_L Pdx+Qdy=\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy ∫LPdx+Qdy=∬D(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy其中LLL取正向

我们先来阐述几个概念，对于一条若当闭曲线LLL，存在一个有界闭区域和一个无界闭区域，均以LLL为边界，这就是若尔当定理。其具体的证明需要用到拓扑上的概念，这里我们就不给出证明了。但是这个定理的几何解释是相当直观的，见下图。

LLL是一条简单闭区间，D1D_1D1是一个有界区域，D2D_2D2是一个无界区域，但是两者均以LLL为边界，现在我们引入单连通、多连通的概念，DDD是一个区域或闭区域，如果在DDD内任作若尔当闭曲线L′L^\primeL′，以L′L^\primeL′为边界的有界闭区域D′D^\primeD′满足D′⊆DD^\prime\subseteq DD′⊆D，则称DDD是单连通区域，否则称为多连通区域，我们可以给出一个直观的几何解释。

如果区域DDD内有一个“洞”，在这个“洞”外围画一条若尔当闭曲线，则其围成的有界闭区域不全在DDD内，如上图。如果DDD内没有“洞”，则无论在DDD内如何画若当闭曲线，其围成的有界闭区域一定全部包含在DDD内，记为单连通区域。所谓单连通区域，从几何直观讲，即是内部没有"洞"的区域。如果含有一个洞，上面左边的那幅图所示的区域，其边界是两条若当闭曲线，称为二连通区域，如果有两个洞，则边界由三条若当闭曲线构成，以此类推,如果边界由kkk条若当闭曲线构成，则称该区域为kkk连通区域。我们先就单连通区域讨论格林公式。先考察X型区域D={(x,y):a≤x≤b,f(x)≤y≤g(x)}D=\{(x,y):a\le x \le b,f(x)\le y\le g(x)\}D={(x,y):a≤x≤b,f(x)≤y≤g(x)}：∬D∂P∂ydxdy=∫abdx∫f(x)g(x)∂P∂ydy=∫abP(x,g(x))dx−∫abP(x,f(x)dx\begin{aligned} &\iint_D\frac{\partial P}{\partial y}dxdy=\int_a^bdx\int_{f(x)}^{g(x)}\frac{\partial P}{\partial y}dy\\ =&\int_a^bP(x,g(x))dx-\int_a^b P(x,f(x)dx \end{aligned} =∬D∂y∂Pdxdy=∫abdx∫f(x)g(x)∂y∂Pdy∫abP(x,g(x))dx−∫abP(x,f(x)dx其边界由四条曲线构成，如下图

设f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)都连续可微，则L1L_1L1的参数方程可表为{x=ty=f(t)\begin{cases} x=t\\ y=f(t) \end{cases} {x=ty=f(t)取值范围[a,b][a,b][a,b]，起点为aaa，终点为bbb，则∫L1Pdx=∫abP(t,f(t))dt\int_{L_1}Pdx=\int_a^bP(t,f(t))dt ∫L1Pdx=∫abP(t,f(t))dtL3L_3L3的参数方程可表为{x=ty=g(t)\begin{cases} x=t\\ y=g(t) \end{cases} {x=ty=g(t)取值范围[a,b][a,b][a,b]，起点bbb，终点aaa，则∫L3Pdx=∫baP(t,g(t))dt\int_{L_3}Pdx=\int_b^aP(t,g(t))dt ∫L3Pdx=∫baP(t,g(t))dt而∫L2Pdx=∫L4Pdx=0\int_{L_2}Pdx=\int_{L_4}Pdx=0 ∫L2Pdx=∫L4Pdx=0于是∫LPdx=∫abP(x,f(x))dx−∫abP(x,g(x))dx=−∬D∂P∂ydxdy\int_LPdx=\int_a^bP(x,f(x))dx-\int_a^bP(x,g(x))dx=-\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}dxdy ∫LPdx=∫abP(x,f(x))dx−∫abP(x,g(x))dx=−∬D∂y∂Pdxdy同样，对YYY型区域，成立∫LQdy=∬D∂Q∂xdxdy\int_LQdy=\iint_D\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy ∫LQdy=∬D∂x∂Qdxdy如果DDD即是XXX型区域，又是YYY型区域，则∫LPdx+Qdy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\int_LPdx+Qdy=\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy ∫LPdx+Qdy=∬D(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy于是格林公式成立，对于一般的由逐段光滑的闭曲线围成单连通区域，可以加若干光滑曲线将其划分为有限个由逐段光滑的闭曲线围成的单连通区域之并，每个小区域即是XXX型区域，又是YYY型区域，具体操作超出数学分析课程的范畴。从下图可以看出，如果两个区域有公共边界，则公共边界曲线段上方向恰好相反，正负相抵消，最后只留下DDD的边界曲线上的曲线积分。

最后，再由二重积分的区域可加性，可以证得一般单连通区域上的格林公式，对于多连通区域，也可以加若干条光滑曲线划分为若干个单连通区域，所加的曲线在应用格林公式时方向相反，正负相消，最后只留下边界的曲线。注意，一般而言，正向是逆时针的，但是如果是洞的边界则不一定，如上图，按照运动过程中DDD始终在左手边，内部的光滑曲线正向应当取顺时针方向。我们之前曾经给出参数方程形式下求图形面积的公式S=12∫xdy−ydxS=\frac{1}{2}\int xdy-ydx S=21∫xdy−ydx我们现在从格林公式的角度再推导这个公式，若DDD是由有限条逐段光滑的若当闭曲线围成的区域，那么Q(x,y)=x2P(x,y)=−y2Q(x,y)=\frac{x}{2}\\ P(x,y)=-\frac{y}{2} Q(x,y)=2xP(x,y)=−2y则Qx′−Py′=1Q_x^\prime-P_y^\prime=1 Qx′−Py′=1由格林公式12∫Lxdy−ydx=∬Ddxdy=S(D)\frac{1}{2}\int_L xdy-ydx=\iint_Ddxdy=S(D) 21∫Lxdy−ydx=∬Ddxdy=S(D)这就是我们把面积公式写成这种形式的原因。在求解曲线积分时，如果使用常规方法，则对于若干段光滑曲线围成的闭曲线，则需要分段计算再相加，但是如果使用格林公式，可以化为二重积分，某些情况下可以简化计算。

例17.12 计算第二型曲线积分∮L2xydx+y2dy\displaystyle\oint_L2xydx+y^2dy∮L2xydx+y2dy，其中LLL是由两条连接点(0,0),(4,2)(0,0),(4,2)(0,0),(4,2)的曲线y=x2y=\frac{x}{2}y=2x与y=xy=\sqrt{x}y=x组成的封闭曲线

解：
P(x,y)=2xy,Q(x,y)=y2P(x,y)=2xy,Q(x,y)=y^2P(x,y)=2xy,Q(x,y)=y2，则Qx′−Py′=−2xQ_x^\prime-P_y^\prime=-2x Qx′−Py′=−2x则由格林公式∮L2xydx+y2dy=−2∫04dx∫x2xxdy=−6415\oint_L 2xydx+y^2dy=-2\int_0^4dx\int_{\frac{x}{2}}^{\sqrt{x}}xdy=-\frac{64}{15} ∮L2xydx+y2dy=−2∫04dx∫2xxxdy=−1564

例17.13 计算第二型曲线积分∮L(x2+4xy)dx+(2x2+3y)dy\displaystyle \oint_L(x^2+4xy)dx+(2x^2+3y)dy∮L(x2+4xy)dx+(2x2+3y)dy，中LLL为椭圆周x216+y29=1\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=116x2+9y2=1

解：
P(x,y)=x2+4xy,Q(x,y)=2x2+3yP(x,y)=x^2+4xy,Q(x,y)=2x^2+3yP(x,y)=x2+4xy,Q(x,y)=2x2+3y，则Qx′−Py′=4x−4x=0Q_x^\prime-P_y^\prime=4x-4x=0 Qx′−Py′=4x−4x=0因此，由格林公式∮L(x2+4xy)dx+(2x2+3y)dy=0\oint_L(x^2+4xy)dx+(2x^2+3y)dy=0 ∮L(x2+4xy)dx+(2x2+3y)dy=0

实际上，例17.13中无论取任何分段光滑的闭曲线，其曲线积分都是0。在这种条件下，积分和路径是无关的，只要确定一条AAA到BBB的逐段光滑的若当曲线L1L_1L1，再补充一条BBB到AAA的逐段光滑的若当曲线L2L_2L2，构成一条逐段光滑的若当闭曲线，如果∫L1Pdx+Qdy+∫L2Pdx+Qdy=0\int_{L_1}Pdx+Qdy+\int_{L_2}Pdx+Qdy=0 ∫L1Pdx+Qdy+∫L2Pdx+Qdy=0则−∫L2Pdx+Qdy=∫L1Pdx+Qdy-\int_{L_2}Pdx+Qdy=\int_{L_1}Pdx+Qdy −∫L2Pdx+Qdy=∫L1Pdx+QdyL2L_2L2的反方向即是从AAA到BBB的一条逐段光滑的若当曲线，则两条路径的曲线积分是相同的，即所谓的积分与路径无关。就可以选择一条方便计算的路径来计算曲线积分，这是格林公式的小技巧之一。

例17.14 计算第二型曲线积分∫L(exsin⁡y−x−y)dx+(excos⁡y−x)dy\displaystyle \int_L(e^x\sin y-x-y)dx+(e^x\cos y -x)dy∫L(exsiny−x−y)dx+(excosy−x)dy，其中LLL是曲线y=sin⁡xy=\sin xy=sinx从(0,0)(0,0)(0,0)到(π,0)(\pi,0)(π,0)的部分

解：
P(x,y)=exsin⁡y−x−y,Q(x,y)=excos⁡y−xP(x,y)=e^x\sin y-x-y,Q(x,y)=e^x\cos y -xP(x,y)=exsiny−x−y,Q(x,y)=excosy−x，则Qx′−Py′=0Q_x^\prime-P_y^\prime=0Qx′−Py′=0，设L2L_2L2为(π,0)(\pi,0)(π,0)到(0,0)(0,0)(0,0)的线段，则由格林公式∫L(exsin⁡y−x−y)dx+(excos⁡y−x)dy+∫L2(exsin⁡y−x−y)dx+(excos⁡y−x)dy=0\begin{aligned} &\int_L(e^x\sin y-x-y)dx+(e^x\cos y -x)dy\\+&\int_{L_2}(e^x\sin y-x-y)dx+(e^x\cos y -x)dy=0 \end{aligned} +∫L(exsiny−x−y)dx+(excosy−x)dy∫L2(exsiny−x−y)dx+(excosy−x)dy=0而∫L2(exsin⁡y−x−y)dx+(excos⁡y−x)dy=∫π0−xdx=π22\begin{aligned} &\int_{L_2}(e^x\sin y-x-y)dx+(e^x\cos y -x)dy\\ =&\int_{\pi}^0 -xdx=\frac{\pi^2}{2} \end{aligned} =∫L2(exsiny−x−y)dx+(excosy−x)dy∫π0−xdx=2π2因此∫L(exsin⁡y−x−y)dx+(excos⁡y−x)dy=−π22\int_L(e^x\sin y-x-y)dx+(e^x\cos y -x)dy=-\frac{\pi^2}{2} ∫L(exsiny−x−y)dx+(excosy−x)dy=−2π2

即使Qx′−Py′≠0Q_x^\prime-P_y^\prime\neq0Qx′−Py′=0，应用格林公式改变路径某些情况下也可以简化计算。

例17.15 计算第二型曲线积分∫L(2x2y−y2cos⁡x)dx+(1−2ysin⁡x+3x2y2)dy\displaystyle\int_L(2x^2y-y^2\cos x)dx+(1-2y\sin x+3x^2y^2)dy∫L(2x2y−y2cosx)dx+(1−2ysinx+3x2y2)dy，其中LLL为抛物线x=π2y2x=\frac{\pi}{2}y^2x=2πy2从点(0,0)(0,0)(0,0)到(π2,1)(\frac{\pi}{2},1)(2π,1)的部分

解：
P(x,y)=2x2y−y2cos⁡x,Q(x,y)=1−2sin⁡x+2x2y2P(x,y)=2x^2y-y^2\cos x,Q(x,y)=1-2\sin x+2x^2y^2P(x,y)=2x2y−y2cosx,Q(x,y)=1−2sinx+2x2y2，则Qx′−Py′=6xy2−2x2Q_x^\prime-P_y^\prime=6xy^2-2x^2 Qx′−Py′=6xy2−2x2令L1L_1L1为(0,0)(0,0)(0,0)到(π2,0)(\frac{\pi}{2},0)(2π,0)之间的线段，L2L_2L2为(π2,0)(\frac{\pi}{2},0)(2π,0)到(π2,1)(\frac{\pi}{2},1)(2π,1)之间的线段，则∫L1Pdx+Qdy=∫0π20dx=0∫L2Pdx+Qdy=∫011−2y+3π24y2dy=π24\int_{L_1}Pdx+Qdy=\int_0^{\frac{\pi}{2}}0dx=0\\ \int_{L_2}Pdx+Qdy=\int_0^1{1-2y+\frac{3\pi^2}{4}}y^2dy=\frac{\pi^2}{4} ∫L1Pdx+Qdy=∫02π0dx=0∫L2Pdx+Qdy=∫011−2y+43π2y2dy=4π2由格林公式π24−∫LPdx+Qdy=∫01dy∫π2y2π26xy2−2x2dx=π27−π314\frac{\pi^2}{4}-\int_LPdx+Qdy=\int_0^1dy\int_{\frac{\pi}{2}y^2}^{\frac{\pi}{2}}6xy^2-2x^2dx=\frac{\pi^2}{7}-\frac{\pi^3}{14} 4π2−∫LPdx+Qdy=∫01dy∫2πy22π6xy2−2x2dx=7π2−14π3因此∫LPdx+Qdy=π228(2π+3)\int_LPdx+Qdy=\frac{\pi^2}{28}(2\pi+3) ∫LPdx+Qdy=28π2(2π+3)

例17.16（利用格林公式转换积分曲线）计算第二型曲线积分∮L(ax−by)dx+(bx+ay)dyx2+y2\displaystyle \oint_L \frac{(ax-by)dx+(bx+ay)dy}{x^2+y^2}∮Lx2+y2(ax−by)dx+(bx+ay)dy，其中LLL为椭圆周x2c2+y2d2=1\frac{x^2}{c^2}+\frac{y^2}{d^2}=1c2x2+d2y2=1

解：
如果用参数方程法直接计算，分母让我们的被积函数变得十分复杂，此时，我们可以试探性地用格林公式：P(x,y)=ax−byx2+y2,Q(x,y)=bx+ayx2+y2P(x,y)=\frac{ax-by}{x^2+y^2},Q(x,y)=\frac{bx+ay}{x^2+y^2}P(x,y)=x2+y2ax−by,Q(x,y)=x2+y2bx+ay，当x2+y2≠0x^2+y^2\neq 0x2+y2=0时，有∂Q∂x=by2−bx2−2axy(x2+y2)2∂P∂y=by2−bx2−2axy(x2+y2)2\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{by^2-bx^2-2axy}{(x^2+y^2)^2}\\ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{by^2-bx^2-2axy}{(x^2+y^2)^2} ∂x∂Q=(x2+y2)2by2−bx2−2axy∂y∂P=(x2+y2)2by2−bx2−2axy很巧合的是∂Q∂x−∂P∂y=0\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0 ∂x∂Q−∂y∂P=0对任意的δ>0\delta>0δ>0，令曲线Lδ:x2+y2=δ2L_\delta:x^2+y^2=\delta^2Lδ:x2+y2=δ2，方向呈逆时针，则∮Lδ(ax−by)dx+(bx+ay)dyx2+y2=2πb\oint_{L_\delta}\frac{(ax-by)dx+(bx+ay)dy}{x^2+y^2}=2\pi b ∮Lδx2+y2(ax−by)dx+(bx+ay)dy=2πb由格林公式，取δ\deltaδ足够小，使得LδL_\deltaLδ完全包含在椭圆x2c2+y2d2≤1\frac{x^2}{c^2}+\frac{y^2}{d^2}\le 1c2x2+d2y2≤1内，则∮LPdx+Qdy−∮LδPdx+Qdy=0\oint_L Pdx+Qdy-\oint_{L_\delta}Pdx+Qdy=0 ∮LPdx+Qdy−∮LδPdx+Qdy=0故∮LPdx+Qdy=2πb\oint_L Pdx+Qdy=2\pi b ∮LPdx+Qdy=2πb

例17.17 （逆向使用格林公式）f(x,y)f(x,y)f(x,y)二阶连续可微，满足∂2f∂x2+∂2f∂y2=e−(x2+y2)\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=e^{-(x^2+y^2)}∂x2∂2f+∂y2∂2f=e−(x2+y2)，计算积分∬x2+y2≤1(x∂f∂x+y∂f∂y)dxdy\displaystyle \iint_{x^2+y^2\le 1}(x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y})dxdy∬x2+y2≤1(x∂x∂f+y∂y∂f)dxdy

解：
令P(x,y)=−(x2+y2−1)∂f∂y,Q(x,y)=(x2+y2−1)∂f∂xP(x,y)=-(x^2+y^2-1)\frac{\partial f}{\partial y},Q(x,y)=(x^2+y^2-1)\frac{\partial f}{\partial x}P(x,y)=−(x2+y2−1)∂y∂f,Q(x,y)=(x2+y2−1)∂x∂f，则∂Q∂x=∂2f∂x2(x2+y2−1)+2x∂f∂x∂P∂y=−∂2f∂y2(x2+y2−1)−2y∂f∂y\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x^2+y^2-1)+2x\frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x^2+y^2-1)-2y\frac{\partial f}{\partial y} ∂x∂Q=∂x2∂2f(x2+y2−1)+2x∂x∂f∂y∂P=−∂y2∂2f(x2+y2−1)−2y∂y∂f由格林公式有∮x2+y2=1Pdx+Qdy=∬x2+y2≤1(x2+y2−1)(∂2f∂x2+∂2f∂y2)dxdy+2∬x2+y2≤1(x∂f∂x+y∂f∂y)dxdy\begin{aligned} &\oint_{x^2+y^2=1}Pdx+Qdy=\iint_{x^2+y^2\le 1}(x^2+y^2-1)(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2})dxdy\\ +&2\iint_{x^2+y^2\le 1}(x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y})dxdy \end{aligned} +∮x2+y2=1Pdx+Qdy=∬x2+y2≤1(x2+y2−1)(∂x2∂2f+∂y2∂2f)dxdy2∬x2+y2≤1(x∂x∂f+y∂y∂f)dxdy则∬x2+y2≤1(x∂f∂x+y∂f∂y)dxdy=−12∬x2+y2≤1(x2+y2−1)(∂2f∂x2+∂2f∂y2)dxdy=−12∬x2+y2≤1(x2+y2−1)e−(x2+y2)dxdy=−12∫02πdθ∫01r(r2−1)e−r2dr=π2e\begin{aligned} &\iint_{x^2+y^2\le 1}(x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y})dxdy\\=&-\frac{1}{2}\iint_{x^2+y^2\le 1}(x^2+y^2-1)(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2})dxdy\\ =&-\frac{1}{2}\iint_{x^2+y^2\le 1}(x^2+y^2-1)e^{-(x^2+y^2)}dxdy\\ =&-\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1r(r^2-1)e^{-r^2}dr=\frac{\pi}{2e} \end{aligned} ===∬x2+y2≤1(x∂x∂f+y∂y∂f)dxdy−21∬x2+y2≤1(x2+y2−1)(∂x2∂2f+∂y2∂2f)dxdy−21∬x2+y2≤1(x2+y2−1)e−(x2+y2)dxdy−21∫02πdθ∫01r(r2−1)e−r2dr=2eπ

高斯公式

定理17.9 V⊆R3V\subseteq R^3V⊆R3是由有限块光滑双侧曲面所围成的有界闭区域，P,Q,RP,Q,RP,Q,R在包含VVV的一个区域上连续可微，则∭V(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dxdydz=∬∂VPdydz+Qdzdx+Rdxdy\iiint_V{(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz}=\iint_{\partial V}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy ∭V(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dxdydz=∬∂VPdydz+Qdzdx+Rdxdy其中曲面积分的方向向外

高斯公式的证明和格林公式是类似的，同样先证明高斯公式在一些特殊的区域上成立，再用这些区域逼近一般的区域。我们这里仅作简单的推导：
设V={(x,y,z):(x,y)∈D,φ(x,y)≤z≤ψ(x,y)}V=\{(x,y,z):(x,y)\in D,\varphi(x,y)\le z \le \psi(x,y)\}V={(x,y,z):(x,y)∈D,φ(x,y)≤z≤ψ(x,y)}，其中DDD是由逐段光滑的简单闭曲线围成的R2R^2R2上的闭区域，φ,ψ\varphi,\psiφ,ψ连续可微，我们称这类型的区域为ZZZ型区域。下面我们证明，在ZZZ型区域上，成立∭V∂R∂zdxdydz=∬∂VRdxdy\iiint_V \frac{\partial R}{\partial z}dxdydz=\iint_{\partial V}Rdxdy ∭V∂z∂Rdxdydz=∬∂VRdxdy首先∭V∂R∂zdxdydz=∬Ddxdy∫φ(x,y)ψ(x,y)∂R∂zdz=∬DR(x,y,ψ(x,y))dxdy−∬DR(x,y,φ(x,y))dxdy\begin{aligned} &\iiint_V\frac{\partial R}{\partial z}dxdydz=\iint_Ddxdy\int_{\varphi(x,y)}^{\psi(x,y)}\frac{\partial R}{\partial z}dz\\ =&\iint_DR(x,y,\psi(x,y))dxdy-\iint_DR(x,y,\varphi(x,y))dxdy \end{aligned}=∭V∂z∂Rdxdydz=∬Ddxdy∫φ(x,y)ψ(x,y)∂z∂Rdz∬DR(x,y,ψ(x,y))dxdy−∬DR(x,y,φ(x,y))dxdyVVV由一个下底面S1S_1S1，一个上底面S2S_2S2以及以下侧面S3S_3S3构成，设DDD的边界曲线LLL是光滑的⁵，设L:x=x(t),y=y(t),t∈[a,b]L:x=x(t),y=y(t),t\in [a,b]L:x=x(t),y=y(t),t∈[a,b]。则S1:{x=xy=yz=φ(x,y)(x,y)∈DS_1:\begin{cases} x=x\\ y=y\\ z=\varphi(x,y) \end{cases}(x,y)\in D S1:⎩⎪⎨⎪⎧x=xy=yz=φ(x,y)(x,y)∈D则法向量为(φx′,φy′,−1)(\varphi_x^\prime,\varphi_y^\prime,-1)(φx′,φy′,−1)，则∬S1Rdxdy=−∬DR(x,y,φ(x,y))dxdy\iint_{S_1}Rdxdy=-\iint_D R(x,y,\varphi(x,y))dxdy ∬S1Rdxdy=−∬DR(x,y,φ(x,y))dxdy同理就有∬S2Rdxdy=∬DR(x,y,ψ(x,y)dxdy\iint_{S_2}Rdxdy=\iint_D R(x,y,\psi(x,y)dxdy ∬S2Rdxdy=∬DR(x,y,ψ(x,y)dxdy侧面的参数方程可表为{x=x(t)y=y(t)z=z\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x=x(t)y=y(t)z=z其中a≤t≤b,φ(x(t),y(t))≤z≤ψ(x(t),y(t))a\le t\le b,\varphi(x(t),y(t))\le z\le \psi(x(t),y(t))a≤t≤b,φ(x(t),y(t))≤z≤ψ(x(t),y(t))，法向量为(x′(t),−y′(t),0)(x^\prime(t),-y^\prime(t),0)(x′(t),−y′(t),0)，很显然∬S3Rdxdy=0\iint_{S_3}Rdxdy=0 ∬S3Rdxdy=0因此∬∂VRdxdy=∬DR(x,y,ψ(x,y)dxdy−∬DR(x,y,φ(x,y)dxdy\iint_{\partial V} Rdxdy=\iint_D R(x,y,\psi(x,y)dxdy-\iint_D R(x,y,\varphi(x,y)dxdy ∬∂VRdxdy=∬DR(x,y,ψ(x,y)dxdy−∬DR(x,y,φ(x,y)dxdy同样地可以定义YYY型区域和XXX型区域，如果一个区域同时是X,Y,ZX,Y,ZX,Y,Z型区域，高斯公式成立，对于一般区域，划分为XYZXYZXYZ型区域的乘积即可，证明的细节超出数学分析的范畴，这里就不给出详细证明了。

例17.18 （利用高斯公式将第二型曲面积分化为三重积分）∬Sx2dydz+y2dzdx+z2dxdy\displaystyle\iint_S x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy∬Sx2dydz+y2dzdx+z2dxdy，SSS为锥面x2+y2=z2(0≤z≤h)x^2+y^2=z^2(0\le z\le h)x2+y2=z2(0≤z≤h)，下侧

解：
设VVV为圆锥x2+y2≤z2(0≤z≤h)x^2+y^2\le z^2(0\le z\le h)x2+y2≤z2(0≤z≤h)，设S1S_1S1为z=h,x2+y2≤h2z=h,x^2+y^2\le h^2z=h,x2+y2≤h2，上侧，则由高斯公式∬S1x2dydz+y2dzdx+z2dxdy+∬Sx2dydz+y2dzdx+z2dxdy=2∭V(x+y+z)dxdydz\begin{aligned} &\iint_{S_1}x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy+\iint_{S}x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy\\ =&2\iiint_V (x+y+z)dxdydz \end{aligned}=∬S1x2dydz+y2dzdx+z2dxdy+∬Sx2dydz+y2dzdx+z2dxdy2∭V(x+y+z)dxdydz求解三重积分∭V(x+y+z)dxdydz\displaystyle \iiint_V (x+y+z)dxdydz∭V(x+y+z)dxdydz，作变换{x=rcos⁡θy=rsin⁡θz=u0≤u≤h,0≤θ≤2π,0≤r≤u\begin{cases} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\\ z=u \end{cases}0\le u\le h,0\le \theta \le 2\pi,0\le r\le u ⎩⎪⎨⎪⎧x=rcosθy=rsinθz=u0≤u≤h,0≤θ≤2π,0≤r≤u∣det⁡(J)∣=r|\det(J)|=r∣det(J)∣=r，有∭V(x+y+z)dxdydz=∫0hdu∫0udr∫02π(r2(cos⁡θ+sin⁡θ)+ru)dθ=h4π4\begin{aligned} &\iiint_V (x+y+z)dxdydz\\ =&\int_0^hdu\int_0^udr\int_0^{2\pi}(r^2(\cos\theta+\sin\theta)+ru)d\theta=\frac{h^4\pi}{4} \end{aligned}=∭V(x+y+z)dxdydz∫0hdu∫0udr∫02π(r2(cosθ+sinθ)+ru)dθ=4h4π再求解∬S1x2dydz+y2dzdx+z2dxdy=h2∬x2+y2≤h2dxdy=h4π\iint_{S_1}x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy=h^2\iint_{x^2+y^2\le h^2}dxdy=h^4\pi ∬S1x2dydz+y2dzdx+z2dxdy=h2∬x2+y2≤h2dxdy=h4π因此∬Sx2dydz+y2dzdx+z2dxdy=h4π2−h4π=−h4π2\iint_S x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy=\frac{h^4\pi}{2}-h^4\pi=-\frac{h^4\pi}{2} ∬Sx2dydz+y2dzdx+z2dxdy=2h4π−h4π=−2h4π

对由逐片光滑的曲面围成的立体VVV，由高斯公式，有∬∂Vxdydz+ydzdx+zdxdy=3∭Vdxdydz\iint_{\partial V}xdydz+ydzdx+zdxdy=3\iiint_Vdxdydz ∬∂Vxdydz+ydzdx+zdxdy=3∭Vdxdydz因此，该立体的体积为13∬∂Vxdydz+ydzdx+zdxdy\displaystyle \frac{1}{3}\iint_{\partial V}xdydz+ydzdx+zdxdy31∬∂Vxdydz+ydzdx+zdxdy，就能通过曲面积分求解立体的体积。

例17.19 求椭球x2a2+y2b2+z2c2≤1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le 1a2x2+b2y2+c2z2≤1的体积

解：曲面的参数方程为{x=acos⁡φcos⁡θy=bcos⁡φsin⁡θz=csin⁡φ−π2≤φ≤π2,0≤θ≤2π\begin{cases} x=a\cos\varphi\cos\theta\\ y=b\cos\varphi\sin\theta\\ z=c\sin\varphi \end{cases}-\frac{\pi}{2}\le \varphi \le \frac{\pi}{2},0\le \theta \le 2\pi ⎩⎪⎨⎪⎧x=acosφcosθy=bcosφsinθz=csinφ−2π≤φ≤2π,0≤θ≤2π则外法向量为n=(bccos⁡2φcos⁡θ,accos⁡2φsin⁡θ,absin⁡φcos⁡φ)n=(bc\cos^2\varphi\cos\theta,ac\cos^2\varphi\sin\theta,ab\sin\varphi\cos\varphi)n=(bccos2φcosθ,accos2φsinθ,absinφcosφ)
V=abc3∫−π2π2dφ∫02πcos⁡φdθ=4abcπ3\begin{aligned} V=&\frac{abc}{3}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_0^{2\pi}\cos\varphi d\theta=\frac{4abc\pi}{3} \end{aligned}V=3abc∫−2π2πdφ∫02πcosφdθ=34abcπ

例17.20 计算第二型曲面积分∬Sxdydz+ydzdx+zdxdy\displaystyle \iint_Sxdydz+ydzdx+zdxdy∬Sxdydz+ydzdx+zdxdy，其中SSS为z=4−(x2+y2)z=4-(x^2+y^2)z=4−(x2+y2)与平面z=0z=0z=0所围立体的外侧

解：
由该曲面积分的几何意义，就有∬Sxdydz+ydzdx+zdxdy=3∬D4−(x2+y2)dxdy\iint_Sxdydz+ydzdx+zdxdy=3\iint_D4-(x^2+y^2)dxdy ∬Sxdydz+ydzdx+zdxdy=3∬D4−(x2+y2)dxdy其中D={(x,y):x2+y2≤4}D=\{(x,y):x^2+y^2\le 4\}D={(x,y):x2+y2≤4}，则∬Sxdydz+ydzdx+zdxdy=3∫02dr∫02πr(4−r2)dθ=24π\iint_Sxdydz+ydzdx+zdxdy=3\int_0^2dr\int_0^{2\pi}r(4-r^2)d\theta=24\pi ∬Sxdydz+ydzdx+zdxdy=3∫02dr∫02πr(4−r2)dθ=24π

例17.21 计算第二型曲面积分∬Sxdydz+ydzdx+zdxdy\displaystyle \iint_Sxdydz+ydzdx+zdxdy∬Sxdydz+ydzdx+zdxdy，其中SSS是上半球面z=a2−x2−y2z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}z=a2−x2−y2的上侧

解：设S2S_2S2为z=0,x2+y2≤az=0,x^2+y^2\le az=0,x2+y2≤a，下侧，则∬Sxdydz+ydzdx+zdxdy+∬S2xdydz+ydzdx+zdxdy=2a3π\iint_Sxdydz+ydzdx+zdxdy+\iint_{S_2}xdydz+ydzdx+zdxdy=2a^3\pi ∬Sxdydz+ydzdx+zdxdy+∬S2xdydz+ydzdx+zdxdy=2a3π而∬S2xdydz+ydzdx+zdxdy=0\iint_{S_2}xdydz+ydzdx+zdxdy=0 ∬S2xdydz+ydzdx+zdxdy=0因此∬Sxdydz+ydzdx+zdxdy=2a3π\iint_Sxdydz+ydzdx+zdxdy=2a^3\pi ∬Sxdydz+ydzdx+zdxdy=2a3π

斯托克斯公式

定理17.10 设S⊂R3S\subset R^3S⊂R3是光滑双侧曲面，其边界由有限段逐段光滑曲线组成，给定SSS的一侧，边界曲线取正向⁶，P,Q,RP,Q,RP,Q,R在包含SSS的某个区域上连续可微，则∮∂SPdx+Qdy+Rdz=∬S(∂R∂y−∂Q∂z)dydz+(∂P∂z−∂R∂x)dzdx+(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\begin{aligned} &\oint_{\partial S}Pdx+Qdy+Rdz\\=&\iint_{S}(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy \end{aligned}=∮∂SPdx+Qdy+Rdz∬S(∂y∂R−∂z∂Q)dydz+(∂z∂P−∂x∂R)dzdx+(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy

斯托克斯公式可以视为格林公式在R3R^3R3上的推广，这里，我们不作详细证明，只给出一种特殊情况下的推导，假设S:x(u,v),y(u,v),z(u,v),(u,v)∈DS:x(u,v),y(u,v),z(u,v),(u,v)\in DS:x(u,v),y(u,v),z(u,v),(u,v)∈D是二阶光滑曲面，有界闭区域DDD的边界曲线是光滑的（逐段光滑情形的证明也是类似的），设为u=u(t),v=v(t),t∈[a,b]u=u(t),v=v(t),t\in[a,b]u=u(t),v=v(t),t∈[a,b]。则SSS的边界曲线为{x=x(u(t),v(t))y=y(u(t),v(t))z=z(u(t),v(t))\begin{cases} x=x(u(t),v(t))\\ y=y(u(t),v(t))\\ z=z(u(t),v(t)) \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x=x(u(t),v(t))y=y(u(t),v(t))z=z(u(t),v(t))于是∮LPdx=∫abP(xu′u′+xv′v′)dt=∮L′Pxu′du+xv′dv\oint_LPdx=\int_a^bP(x_u^\prime u^\prime+x_v^\prime v^\prime)dt=\oint_{L^\prime}Px_u^\prime du+x_v^\prime dv ∮LPdx=∫abP(xu′u′+xv′v′)dt=∮L′Pxu′du+xv′dv其中L′L^\primeL′为DDD的边界曲线，由格林公式∮L′Pxu′du+Pxv′dv=∬DPy′∂(y,z)∂(u,v)dudv+∬DPz′∂(z,x)∂(u,v)dudv=−∬SPy′dxdy+∬SPz′dzdx\begin{aligned} &\oint_{L^\prime}Px_u^\prime du+Px_v^\prime dv\\ =&\iint_D P_y^\prime\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}dudv+\iint_DP_z^\prime\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}dudv\\ =&-\iint_SP_y^\prime dxdy+\iint_SP_z^\prime dzdx \end{aligned}==∮L′Pxu′du+Pxv′dv∬DPy′∂(u,v)∂(y,z)dudv+∬DPz′∂(u,v)∂(z,x)dudv−∬SPy′dxdy+∬SPz′dzdx同理可推得∮LQdy=∬SQx′dxdy−∬SQz′dydz∮LRdz=∬SRy′dydz−∬SRx′dzdx\oint_LQdy=\iint_S Q_x^\prime dxdy-\iint_S Q_z^\prime dydz\\ \oint_LRdz=\iint_S R_y^\prime dydz-\iint_S R_x^\prime dzdx ∮LQdy=∬SQx′dxdy−∬SQz′dydz∮LRdz=∬SRy′dydz−∬SRx′dzdx这样，在这种特殊的曲面上就证得斯托克斯公式，实际上，斯托克斯公式不需要二阶光滑这种严苛的条件也能成立，这里就不提供详细的证明细节了。

应用斯托克斯公式的难点在于确定曲面SSS，见下例：

例17.22 计算第二型曲线积分∮Lydx+zdy+xdz\displaystyle \oint_L ydx+zdy+xdz∮Lydx+zdy+xdz，其中LLL是x2+y2+z2=a2x^2+y^2+z^2=a^2x2+y2+z2=a2，x+y+z=0x+y+z=0x+y+z=0，从xxx轴正向看去是逆时针方向

解：联立两个方程{x2+y2+z2=a2x+y+z=0\begin{cases} x^2+y^2+z^2=a^2\\ x+y+z=0 \end{cases} {x2+y2+z2=a2x+y+z=0消去xxx，所截曲线在OyzOyzOyz平面的投影为(y+z)2+y2+z2=a2(y+z)^2+y^2+z^2=a^2 (y+z)2+y2+z2=a2即32(y+z)2+12(y−z)2=a2\frac{3}{2}(y+z)^2+\frac{1}{2}(y-z)^2=a^2 23(y+z)2+21(y−z)2=a2则平面取该截线所围成的在平面x+y+z=0x+y+z=0x+y+z=0的曲面，取左侧，由斯托克斯公式∮Lydx+zdy+xdz=−3∬Sdydz+dzdx+dxdy=−3∬32(y+z)2+12(y−z)2≤a2dydz\begin{aligned} &\oint_Lydx+zdy+xdz=-3\iint_Sdydz+dzdx+dxdy\\ =&-3\iint_{\frac{3}{2}(y+z)^2+\frac{1}{2}(y-z)^2\le a^2}dydz \end{aligned}=∮Lydx+zdy+xdz=−3∬Sdydz+dzdx+dxdy−3∬23(y+z)2+21(y−z)2≤a2dydz作正交变换{u=y+z2v=y−z2\begin{cases} u=\frac{y+z}{\sqrt{2}}\\ v=\frac{y-z}{\sqrt{2}} \end{cases} {u=2y+zv=2y−z有−3∬32(y+z)2+12(y−z)2≤a2dydz=−3∬3u2+v2≤a2dudv=−3a2π-3\iint_{\frac{3}{2}(y+z)^2+\frac{1}{2}(y-z)^2\le a^2}dydz=-3\iint_{3u^2+v^2\le a^2}dudv=-\sqrt{3}a^2\pi −3∬23(y+z)2+21(y−z)2≤a2dydz=−3∬3u2+v2≤a2dudv=−3a2π

积分与路径无关

所谓积分与路径无关，即曲线积分只与起止点有关，而与积分路径无关。其物理背景是重力做功，重力做功只与高度的变化有关，而与下落的路径无关，那么，满足什么条件下曲线积分与路径无关呢？

定理17.11（积分与路径无关） 设DDD是R2R^2R2上的一个区域，P,QP,QP,Q在DDD上连续可微，则以下三个命题等价：
(1)DDD内任意逐段光滑的闭曲线LLL，都有∮LPdx+Qdy=0\oint_LPdx+Qdy=0 ∮LPdx+Qdy=0(2)DDD内任意逐段光滑曲线LLL的曲线积分∫LPdx+Qdy\int_LPdx+Qdy ∫LPdx+Qdy只与LLL的起止点有关，与LLL的路径无关
(3)积分式Pdx+QdyPdx+QdyPdx+Qdy是某函数u(x,y)u(x,y)u(x,y)的全微分

证：
(1)→(2)(1)\rightarrow(2)(1)→(2)是显然的
(2)→(3)(2)\rightarrow(3)(2)→(3)：
对任意的(x0,y0)∈D(x_0,y_0)\in D(x0,y0)∈D，令u(x,y)=∫(x0,y0)(x,y)Pdx+Qdy\displaystyle u(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}Pdx+Qdyu(x,y)=∫(x0,y0)(x,y)Pdx+Qdy，存在δ>0\delta>0δ>0，当∣∣(x,y)−(x0,y0)∣∣<δ||(x,y)-(x_0,y_0)||<\delta∣∣(x,y)−(x0,y0)∣∣<δ时，有(x,y)∈D(x,y)\in D(x,y)∈D，则当Δx<δ\Delta x<\deltaΔx<δ时u(x0+Δx,y0)−u(x0,y0)=∫x0x0+ΔxP(t,y0)dtu(x_0+\Delta x,y_0)-u(x_0,y_0)=\int_{x_0}^{x_0+\Delta x}P(t,y_0)dt u(x0+Δx,y0)−u(x0,y0)=∫x0x0+ΔxP(t,y0)dt由积分中值定理，存在ξ\xiξ介于x0x_0x0和x0+Δxx_0+\Delta xx0+Δx之间，使得u(x0+Δx,y0)−u(x0,y0)=P(ξ,y0)Δxu(x_0+\Delta x,y_0)-u(x_0,y_0)=P(\xi,y_0)\Delta x u(x0+Δx,y0)−u(x0,y0)=P(ξ,y0)Δx故lim⁡Δx→0u(x0+Δx,y0)−u(x0,y0)Δx=P(x0,y0)\lim_{\Delta x\to 0}\frac{u(x_0+\Delta x,y_0)-u(x_0,y_0)}{\Delta x}=P(x_0,y_0) Δx→0limΔxu(x0+Δx,y0)−u(x0,y0)=P(x0,y0)同理可证lim⁡Δy→0u(x0,y0+Δx)−u(x0,y0)Δx=Q(x0,y0)\lim_{\Delta y\to 0}\frac{u(x_0,y_0+\Delta x)-u(x_0,y_0)}{\Delta x}=Q(x_0,y_0) Δy→0limΔxu(x0,y0+Δx)−u(x0,y0)=Q(x0,y0)而P,QP,QP,Q是连续的，因此，uuu可微，并且du=Pdx+Qdydu=Pdx+Qdydu=Pdx+Qdy
(3)→(1)(3)\rightarrow (1)(3)→(1)：假设存在DDD内的连续可微函数UUU，满足∂U∂x=P,∂U∂y=Q\frac{\partial U}{\partial x}=P,\frac{\partial U}{\partial y}=Q∂x∂U=P,∂y∂U=Q，设LLL是连接AAA到BBB的光滑曲线，A∈D,B∈DA\in D,B\in DA∈D,B∈D，设参数方程为x=x(t),y=y(t),t∈[a,b]x=x(t),y=y(t),t\in[a,b]x=x(t),y=y(t),t∈[a,b]，其中A=(x(a),y(a)),B=(x(b),y(b))A=(x(a),y(a)),B=(x(b),y(b))A=(x(a),y(a)),B=(x(b),y(b))，于是∫LPdx+Qdy=∫abP(x(t),y(t))x′(t)+Q(x(t),y(t))y′(t)dt=∫abUx′(x(t),y(t))x′(t)+Uy′(x(t),y(t))y′(t)dt=∫abdU(x(t),y(t))dtdt=U(x(b),y(b))−U(x(a),y(a))\begin{aligned} &\int_LPdx+Qdy=\int_a^bP(x(t),y(t))x^\prime(t)+Q(x(t),y(t))y^\prime(t)dt\\ =&\int_a^bU_x^\prime(x(t),y(t))x^\prime(t)+U_y^\prime(x(t),y(t))y^\prime(t)dt\\ =&\int_a^b\frac{dU(x(t),y(t))}{dt}dt\\ =&U(x(b),y(b))-U(x(a),y(a)) \end{aligned} ===∫LPdx+Qdy=∫abP(x(t),y(t))x′(t)+Q(x(t),y(t))y′(t)dt∫abUx′(x(t),y(t))x′(t)+Uy′(x(t),y(t))y′(t)dt∫abdtdU(x(t),y(t))dtU(x(b),y(b))−U(x(a),y(a))因此，如果LLL是逐段光滑的闭曲线，作分划A=A0,A1,⋯,An=AA=A_0,A_1,\cdots,A_n=AA=A0,A1,⋯,An=A，使得LLL在Ak−1AkA_{k-1}A_kAk−1Ak段是光滑曲线，记Ak−1AkA_{k-1}A_kAk−1Ak段为L(Ak−1Ak)L(A_{k-1}A_k)L(Ak−1Ak)，则∫LPdx+Qdy=∑k=1n∫L(Ak−1Ak)Pdx+Qdy=∑k=1n(U(Ak)−U(Ak−1))=U(An)−U(A0)=0\begin{aligned} &\int_LPdx+Qdy=\sum_{k=1}^n\int_{L(A_{k-1}A_k)}Pdx+Qdy\\ =&\sum_{k=1}^n(U(A_k)-U(A_{k-1}))=U(A_n)-U(A_0)=0 \end{aligned} =∫LPdx+Qdy=k=1∑n∫L(Ak−1Ak)Pdx+Qdyk=1∑n(U(Ak)−U(Ak−1))=U(An)−U(A0)=0

同样地方法可以证明：

定理17.12 VVV是R3R^3R3上区域，P,Q,RP,Q,RP,Q,R在VVV上连续可微，则以下命题等价：
(1)VVV内任意逐段光滑的闭曲线LLL，都有∮LPdx+Qdy+Rdz=0\oint_LPdx+Qdy+Rdz=0 ∮LPdx+Qdy+Rdz=0(2)VVV内任意逐段光滑曲线LLL的曲线积分∫LPdx+Qdy+Rdz\int_LPdx+Qdy+Rdz ∫LPdx+Qdy+Rdz只与LLL的起止点有关，与LLL的路径无关
(3)积分式Pdx+Qdy+RdzPdx+Qdy+RdzPdx+Qdy+Rdz是某函数u(x,y,z)u(x,y,z)u(x,y,z)的全微分

如果在区域DDD内积分与路径无关，由定理17.11，Pdx+QdyPdx+QdyPdx+Qdy在DDD内是某个函数UUU的全微分。则∂P∂y=∂2U∂x∂y∂Q∂x=∂2U∂y∂x\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial^2 U}{\partial x\partial y}\\ \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial^2 U}{\partial y\partial x} ∂y∂P=∂x∂y∂2U∂x∂Q=∂y∂x∂2U由于P,QP,QP,Q都是连续可微的，则∂2U∂x∂y=∂2U∂y∂x\frac{\partial^2 U}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 U}{\partial y\partial x} ∂x∂y∂2U=∂y∂x∂2U于是∂P∂y=∂Q∂x\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} ∂y∂P=∂x∂Q这让我们想起格林公式，如果在DDD内作一条逐段光滑的简单闭曲线LLL，如果LLL围成的有界区域D0⊆DD_0\subseteq DD0⊆D内，由格林公式∫LPdx+Qdy=∫D0(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=0\int_LPdx+Qdy=\int_{D_0}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=0 ∫LPdx+Qdy=∫D0(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy=0当然，定理17.11中 (1)要求的是任意的闭曲线，而非简单闭曲线，其次，应用格林公式需要D0⊆DD_0\subseteq DD0⊆D，因此，我们首先需要假设DDD是单连通区域，那么，下一个问题是，如果在单连通区域DDD内，都有∂P∂y=∂Q∂x\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} ∂y∂P=∂x∂Q能否推出DDD内积分与路径无关呢？答案是肯定的。

定理17.13 D⊆R2D\subseteq R^2D⊆R2是平面上的单连通区域，并且P,QP,QP,Q在DDD内连续可微，则DDD内积分与路径无关的充要条件是∂P∂y=∂Q∂x\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} ∂y∂P=∂x∂Q

我们作一个简单的分析，如果逐段可微的闭曲线LLL是简单闭曲线，那么毫无疑问，由格林公式，有∫LPdx+Qdy=0\int_LPdx+Qdy=0 ∫LPdx+Qdy=0但LLL不一定是简单闭曲线，即LLL可能存在自交点，如下图所示

上图所示的闭曲线就不是简单闭曲线，但是LLL可以分为4段简单闭曲线，每段简单闭曲线都是逐段光滑的，也有∫LPdx+Qdy=0\displaystyle \int_LPdx+Qdy=0∫LPdx+Qdy=0。我们给自交点下个定义，对于逐段光滑的闭曲线{x=x(t)y=y(t)t∈[a,b]\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t) \end{cases}t\in[a,b] {x=x(t)y=y(t)t∈[a,b]很显然，即满足a<t0<ba<t_0<ba<t0<b，存在a≤t0′<t0a\le t_0^\prime<t_0a≤t0′<t0，有x(t0)=x(t0′),y(t0)=y(t0′)x(t_0)=x(t_0^\prime),y(t_0)=y(t_0^\prime)x(t0)=x(t0′),y(t0)=y(t0′)，就称(x(t0),y(t0))(x(t_0),y(t_0))(x(t0),y(t0))是LLL的一个自交点。如果LLL只有有限个自交点，对应的参数从小到大排列为a<t1<⋯<tn<ba<t_1<\cdots<t_n<ba<t1<⋯<tn<b，对于t1t_1t1，存在t1′∈[a,t1)t_1^\prime\in[a,t_1)t1′∈[a,t1)，满足(x(t1),y(t1))=(x(t1′),y(t1′))(x(t_1),y(t_1))=(x(t_1^\prime),y(t_1^\prime))(x(t1),y(t1))=(x(t1′),y(t1′))。据此，我们可以分出一段闭曲线L1:(x(t),y(t)),t1′≤t≤t1L_1:(x(t),y(t)),t_1^\prime\le t\le t_1L1:(x(t),y(t)),t1′≤t≤t1。LLL去掉L1L_1L1段，再拼接起来，就形成一段新的闭曲线，新的闭曲线的自交点一定比原来的曲线自交点少⁷，由数学归纳法，如果逐段可微的闭曲线LLL只有有限个自交点，则∫LPdx+Qdy=0\int_LPdx+Qdy=0 ∫LPdx+Qdy=0实际上，对任意的闭曲线，我们可以以闭折线替换之，而闭折线一定满足∫LPdx+Qdy=0\displaystyle\int_LPdx+Qdy=0∫LPdx+Qdy=0⁸，这就证得了定理17.13。问题是如何用闭折线取代一条闭曲线呢？我们引入一种区域——星形区域，对区域GGG，如果存在A∈GA\in GA∈G，对任意的M∈GM\in GM∈G，直线段AM⊆GAM\subseteq GAM⊆G，则称GGG是关于AAA的星形区域。我们下面证明，在星形区域上，如果满足∂P∂y=∂Q∂x\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}∂y∂P=∂x∂Q则积分与路径无关。假设GGG是关于AAA的星形区域，并且在GGG上满足：∂P∂y=∂Q∂x\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}∂y∂P=∂x∂Q。定义GGG上的函数U(M)=∫AMPdx+Qdy\displaystyle U(M)=\int_{AM}Pdx+QdyU(M)=∫AMPdx+Qdy，其中AMAMAM是直线段AMAMAM，从AAA到MMM。设M(x0,y0)M(x_0,y_0)M(x0,y0)，存在δ>0\delta>0δ>0，使得B(M,δ)⊆GB(M,\delta)\subseteq GB(M,δ)⊆G，当Δx<δ\Delta x<\deltaΔx<δ时，取M′(x0+Δx,y0)M^\prime(x_0+\Delta x,y_0)M′(x0+Δx,y0)，则MM′MM^\primeMM′的直线段都在GGG内闭折线AMM′AAMM^\prime AAMM′A围成的三角形区域都在GGG内，从而由格林公式∫MM′Pdx+Qdy+U(M)−U(M′)=0\int_{MM^\prime}Pdx+Qdy+U(M)-U(M^\prime)=0 ∫MM′Pdx+Qdy+U(M)−U(M′)=0而∫MM′Pdx+Qdy=Δx∫01P(x0+tΔx,y0)dt\int_{MM^\prime}Pdx+Qdy=\Delta x\int_0^1P(x_0+t\Delta x,y_0)dt ∫MM′Pdx+Qdy=Δx∫01P(x0+tΔx,y0)dt故由积分中值定理，存在ξ∈[0,1]\xi\in [0,1]ξ∈[0,1]，有U(M′)−U(M)Δx=P(x0+ξΔx,y0)\frac{U(M^\prime)-U(M)}{\Delta x}=P(x_0+\xi\Delta x,y_0) ΔxU(M′)−U(M)=P(x0+ξΔx,y0)令Δx→0\Delta x\to 0Δx→0，可知∂U∂x=P\frac{\partial U}{\partial x}=P∂x∂U=P，同理可证∂U∂y=Q\frac{\partial U}{\partial y}=Q∂y∂U=Q，因此，在GGG上积分与路径无关。显然任何邻域都是星形区域。假设LLL是单连通区域DDD上的任意一条逐段光滑的闭曲线，则DcD^cDc为闭集，L∩D=∅L\cap D=\emptysetL∩D=∅，则LLL与DcD^cDc有一个正距离δ0>0\delta_0>0δ0>0。取LLL的一个分划：Δ:A=A0,A1,⋯,An=A0\Delta:A=A_0,A_1,\cdots,A_n=A_0Δ:A=A0,A1,⋯,An=A0，使得λ(Δ)=max⁡1≤i≤ndiamL(Ai−1Ai)<δ02\displaystyle \lambda(\Delta)=\max_{1\le i\le n}diamL(A_{i-1}A_i)<\frac{\delta_0}{2}λ(Δ)=1≤i≤nmaxdiamL(Ai−1Ai)<2δ0⁹，则对于点Ai−1A_{i-1}Ai−1，其邻域B(Ai−1,δ02)⊆GB(A_{i-1},\frac{\delta_0}{2})\subseteq GB(Ai−1,2δ0)⊆G¹⁰，并且直线段Ai−1AiA_{i-1}A_iAi−1Ai及弧段Ai−1AiA_{i-1}A_iAi−1Ai都在这个邻域内，而B(Ai−1,δ02)B(A_{i-1},\frac{\delta_0}{2})B(Ai−1,2δ0)显然是星形区域，从而∫L(Ai−1Ai)Pdx+Qdy=∫Ai−1AiPdx+Qdy\int_{L(A_{i-1}A_i)}Pdx+Qdy=\int_{A_{i-1}A_i}Pdx+Qdy ∫L(Ai−1Ai)Pdx+Qdy=∫Ai−1AiPdx+Qdy因此，弧段L(Ai−1Ai)L(A_{i-1}A_i)L(Ai−1Ai)可用直线段Ai−1AiA_{i-1}A_iAi−1Ai取代，从而曲线段LLL可由闭折线L′:AA1⋯An−1AL^\prime :AA_1\cdots A_{n-1}AL′:AA1⋯An−1A取代，故∫LPdx+Qdy=∫L′Pdx+Qdy=0\int_LPdx+Qdy=\int_{L^\prime}Pdx+Qdy=0 ∫LPdx+Qdy=∫L′Pdx+Qdy=0这就证明了在单连通区域上，积分与路径无关。定理17.13成立。对于R3R^3R3中积分与路径无关的条件，我们同样想到应用斯托克斯公式，所谓空间单连通区域，即GGG内任意闭曲面围成的区域内部都在GGG内；为了应用斯托克斯公式，我们需要引入曲面单连通区域的概念，即GGG内任意逐段光滑的简单闭曲线都是GGG内某片分片光滑的闭曲面的边界曲线，再应用斯托克斯公式，就有

定理17.14 G⊆R3G\subseteq R^3G⊆R3是曲面单连通区域，并且P,Q,RP,Q,RP,Q,R在GGG上连续可微，则曲面积分∫LPdx+Qdy+Rdz\int_L Pdx+Qdy+Rdz∫LPdx+Qdy+Rdz在GGG内积分路径无关的充要条件为∂Q∂z=∂R∂y∂R∂x=∂P∂z∂Q∂x=∂P∂y\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}\\ \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}\\ \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} ∂z∂Q=∂y∂R∂x∂R=∂z∂P∂x∂Q=∂y∂P

该定理的证明同样要引入星形区域的概念，与R2R^2R2情形是类似，这里就不赘述了。

定理17.15 G⊆R3G\subseteq R^3G⊆R3是星形区域，并且P,Q,RP,Q,RP,Q,R在GGG上连续可微，则曲面积分∫LPdx+Qdy+Rdz\int_L Pdx+Qdy+Rdz∫LPdx+Qdy+Rdz在GGG内积分路径无关的充要条件为∂Q∂z=∂R∂y∂R∂x=∂P∂z∂Q∂x=∂P∂y\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}\\ \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}\\ \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} ∂z∂Q=∂y∂R∂x∂R=∂z∂P∂x∂Q=∂y∂P

因为γk\gamma_kγk的分划可以扩张为γ\gammaγ的分划，而γ\gammaγ分划对应的内接折线长是有上确界的，因此，γk\gamma_kγk的任一分划对应的内接折线长也是由上确界的 ↩︎
因为ϕ′(t)≠0\phi^\prime(t)\neq 0ϕ′(t)=0，从而∣∣ϕ′(t)∣∣≠0||\phi^\prime(t)||\neq 0∣∣ϕ′(t)∣∣=0，再由γ\gammaγ是光滑曲线，从而∣∣ϕ′(t)∣∣||\phi^\prime(t)||∣∣ϕ′(t)∣∣是连续函数 ↩︎
λ(Δ′)\lambda(\Delta^\prime)λ(Δ′)表示光滑曲线的最大弧长，λ(Δ)=max⁡1≤i≤n∣ti−ti−1∣\displaystyle\lambda(\Delta)=\max_{1\le i\le n}|t_i-t_{i-1}|λ(Δ)=1≤i≤nmax∣ti−ti−1∣ ↩︎
以下积分计算的难点在于计算∫0a1+x2dx\displaystyle\int_0^a\sqrt{1+x^2}dx∫0a1+x2dx，不定积分∫1+x2dx\displaystyle \int\sqrt{1+x^2}dx∫1+x2dx求解过程如下：
∫1+x2dx=x=tan⁡θ∫sin⁡2θdθcos⁡3θ+∫sec⁡θdθ\displaystyle\int \sqrt{1+x^2}dx\xlongequal{x=\tan \theta}\int\frac{\sin^2\theta d\theta}{\cos^3\theta}+\int \sec \theta d\theta∫1+x2dxx=tanθ∫cos3θsin2θdθ+∫secθdθ
分别求解两个积分
∫sin⁡2θdθcos⁡3θ=∫sin⁡2θcos⁡θdθcos⁡4θ=∫sin⁡2θdsin⁡θ(1−sin⁡2θ)2\displaystyle\int \frac{\sin^2\theta d\theta}{\cos^3\theta}=\int\frac{\sin^2\theta \cos \theta d\theta}{\cos^4\theta}=\int\frac{\sin^2\theta d\sin\theta}{(1-\sin^2\theta)^2}∫cos3θsin2θdθ=∫cos4θsin2θcosθdθ=∫(1−sin2θ)2sin2θdsinθ
作变量替换t=sin⁡θt=\sin\thetat=sinθ，则∫sin⁡2θdθcos⁡3θ=∫t2dt(1−t2)2\int \frac{\sin^2\theta d\theta}{\cos^3\theta}=\int\frac{t^2dt}{(1-t^2)^2} ∫cos3θsin2θdθ=∫(1−t2)2t2dt令t2(1−t2)2=At−1+B(t−1)2+Ct+1+D(t+1)2=At+(B−A)(t−1)2+Ct+(C+D)(1+t)2=(At+(B−A))(1+t)2+(Ct+(C+D))(t−1)2(1−t2)2=(A+C)t3+(B+A−C+D)t2+(2B−A−2D−C)t+B−A+C+D(1−t2)2\begin{aligned} &\frac{t^2}{(1-t^2)^2}=\frac{A}{t-1}+\frac{B}{(t-1)^2}+\frac{C}{t+1}+\frac{D}{(t+1)^2}\\ =&\frac{At+(B-A)}{(t-1)^2}+\frac{Ct+(C+D)}{(1+t)^2}\\ =&\frac{(At+(B-A))(1+t)^2+(Ct+(C+D))(t-1)^2}{(1-t^2)^2}\\ =&\frac{(A+C)t^3+(B+A-C+D)t^2+(2B-A-2D-C)t+B-A+C+D}{(1-t^2)^2} \end{aligned} ===(1−t2)2t2=t−1A+(t−1)2B+t+1C+(t+1)2D(t−1)2At+(B−A)+(1+t)2Ct+(C+D)(1−t2)2(At+(B−A))(1+t)2+(Ct+(C+D))(t−1)2(1−t2)2(A+C)t3+(B+A−C+D)t2+(2B−A−2D−C)t+B−A+C+D待定系数，得到方程组{A+C=0B+A−C+D=12B−A−2D−C=0B−A+C+D\begin{cases} A+C=0\\ B+A-C+D=1\\ 2B-A-2D-C=0\\ B-A+C+D \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧A+C=0B+A−C+D=12B−A−2D−C=0B−A+C+D解之，得A=14,B=14,C=−14,D=14A=\frac{1}{4},B=\frac{1}{4},C=-\frac{1}{4},D=\frac{1}{4}A=41,B=41,C=−41,D=41，则∫t2dt(1−t2)=14∫dtt−1+14∫dt(1−t)2−14∫dtt+1+14∫dt(1+t)2=14ln⁡∣1−t1+t∣−14[1t−1+1t+1]+C=14ln⁡∣1−t1+t∣+t2(1−t2)+C\begin{aligned} \int\frac{t^2dt}{(1-t^2)}=&\frac{1}{4}\int\frac{dt}{t-1}+\frac{1}{4}\int\frac{dt}{(1-t)^2}-\frac{1}{4}\int\frac{dt}{t+1}+\frac{1}{4}\int\frac{dt}{(1+t)^2}\\ =&\frac{1}{4}\ln|\frac{1-t}{1+t}|-\frac{1}{4}[\frac{1}{t-1}+\frac{1}{t+1}]+C\\ =&\frac{1}{4}\ln|\frac{1-t}{1+t}|+\frac{t}{2(1-t^2)}+C \end{aligned} ∫(1−t2)t2dt===41∫t−1dt+41∫(1−t)2dt−41∫t+1dt+41∫(1+t)2dt41ln∣1+t1−t∣−41[t−11+t+11]+C41ln∣1+t1−t∣+2(1−t2)t+C从而∫sin⁡2θdθcos⁡3θ=14ln⁡1−sin⁡θ1+sin⁡θ+sin⁡θ2cos⁡2θ+C\int\frac{\sin^2\theta d\theta}{\cos^3\theta}=\frac{1}{4}\ln\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}+\frac{\sin\theta}{2\cos^2\theta}+C ∫cos3θsin2θdθ=41ln1+sinθ1−sinθ+2cos2θsinθ+C而∫sec⁡θdθ=−12ln⁡1−sin⁡θ1+sin⁡θ+C\int\sec\theta d\theta=-\frac{1}{2}\ln\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}+C ∫secθdθ=−21ln1+sinθ1−sinθ+C故∫1+x2dx=−14ln⁡1−sin⁡θ1+sin⁡θ+sin⁡θ2cos⁡2θ+C\int \sqrt{1+x^2}dx=-\frac{1}{4}\ln\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}+\frac{\sin\theta}{2\cos^2\theta}+C ∫1+x2dx=−41ln1+sinθ1−sinθ+2cos2θsinθ+C由于x=tan⁡θ,sin⁡θ=x1+x2,cos⁡θ=11+x2x=\tan\theta,\sin\theta=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}},\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}x=tanθ,sinθ=1+x2x,cosθ=1+x21，代入，就有∫1+x2dx=12ln⁡(x+1+x2)+x1+x22+C\int \sqrt{1+x^2}dx=\frac{1}{2}\ln(x+\sqrt{1+x^2})+\frac{x\sqrt{1+x^2}}{2}+C ∫1+x2dx=21ln(x+1+x2)+2x1+x2+C ↩︎
逐段光滑曲线的证明也是类似的，只需要把侧面分块即可，证明每块上曲面积分的值都为0 ↩︎
也就是一个人站立保持与该侧的法向量一致，沿着边界曲线移动的过程中，曲面始终在这个人的左侧 ↩︎
因为原有的曲线中，不是自交点的点，在新曲线上也不会是自交点，而其他的原有曲线的自交点可能会因为去掉了这段简单闭曲线后又不是自交点，总之，去掉这段闭曲线后自交点个数会减少。 ↩︎
这是因为闭折线的自交点一定是闭折线某两条线段的交点，如果两条线段恰好共线，则在运动过程中必然方向相反，作曲线积分则正负相消，如果不共线，那么至多只有一个交点，而闭折线只由有限线段拼接而成。 ↩︎
这是可以做到的，因为LLL是逐段光滑曲线，故各分量函数有一致连续性，据此就容易找到一个分划使得其各弧段直径足够小。 ↩︎
Ai−1AiA_{i-1}A_iAi−1Ai的各点可以表示为Zλ=(1−λ)Ai−1+λAiZ_\lambda=(1-\lambda)A_{i-1}+\lambda A_iZλ=(1−λ)Ai−1+λAi，则∣∣Zλ−Ai−1∣∣=(1−λ)∣∣Ai−1−Ai∣∣≤diam(L(Ai−1Ai))<δ02||Z_{\lambda}-A_{i-1}||=(1-\lambda)||A_{i-1}-A_i||\le diam(L(A_{i-1}A_i))<\frac{\delta_0}{2}∣∣Zλ−Ai−1∣∣=(1−λ)∣∣Ai−1−Ai∣∣≤diam(L(Ai−1Ai))<2δ0 ↩︎