高等数学：第五章 定积分（2） 定积分的性质、中值定理
§5.2 定积分的性质、中值定理
规定：
1、
时，
2、
时，
这两条规定的意义较直观。
当时，曲边梯形退缩成一段线， 故其面积
应该为零；
当时，区间
所对应的分点成为
相应的小区间的长度 
。
此时，相对于，
的符号应相反。
声明：在下面的讨论中， 对积分上下限的大小均不加以限制，并假定各性质中所列出的定积分均存在。
【性质一】函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)。
即： 
证明：
显然，性质一对于任意有限个函数也是成立的。
【性质二】被积函数的常数因子可以提到积分号外面。
即：
( 
是常数因子 )
证明：
【性质三】如果将积分区间分成两部分， 则在整个区间上定积分等于这两个区间上定积分之和。
即：
( * )
这一性质的几何意义十分明显。如图，曲边梯形的面积有：
此性质表明，定积分对于积分区间具有可加性。其实，无论三个数
的相对位置如何，等式( * )总是成立的。
例如：当
时， 有
【性质四】如果在区间
上，
，则
。
【性质五】如果在区间上，
，则 
。
据定积分几何意义，它是一个曲边梯形真正的面积值，故它应为非负的。
【推论一】如果在区间上，
，则
事实上， 由 
， 据 性质五 与 性质一 有
【推论二】
证明：
由推论一有： 
即： 
【性质六】设
及
分别是函数
在区间上的最大值及最小值，
则 
证明：
则 
这一性质可用来估计定积分值的范围，它也具有鲜明的几何意义。
【性质七】( 定积分的中值定理 )
如果函数在闭区间上连续， 则在上至少存在一点
，
使得 
证明：据性质六有
数值
介于连续函数在上的最小值与最大值之间， 再由闭区间上连续函数的介值定理， 在 上至少存在一点 ，使得
。
积分中值公式的几何解释
利用计算机编写程序gs0502.m，对定积分
进行数值计算试验，我们可验证定积分中值定理的正确性。运行该程序时，注意建立被积函数的函数文件f.m
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