一、曲线积分

（一）弧长的计算公式

设曲线 Γ \Gamma Γ的参数方程为 x = x ( t ) , y = y ( t ) , z = z ( t ) x=x(t),y=y(t),z=z(t) x=x(t),y=y(t),z=z(t)。令 r = ( x , y , z ) \bm r=(x,y,z) r=(x,y,z)，则方程为 r = r ( t ) \bm r=\bm r(t) r=r(t)。

定理1 设在 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上 r ˙ ( t ) \dot\bm r(t) r˙(t)连续且 r ˙ ( t ) ≠ 0 \dot\bm r(t)\ne\bm 0 r˙(t)=0，则曲线 r = r ( t ) ( α ≤ t ≤ β ) \bm r=\bm r(t)\:\:(\alpha\le t\le\beta) r=r(t)(α≤t≤β)是可求长的曲线，且 Γ \Gamma Γ的长度为 s = ∫ α β ∥ r ˙ ( t ) ∥ d t s=\int_\alpha^\beta\|\dot\bm r(t)\|\text{d}t s=∫αβ∥r˙(t)∥dt

证明提要：在 Γ \Gamma Γ上取 n − 1 n-1 n−1个点 P i P_i Pi，令 B = P n B=P_n B=Pn， P i P_i Pi对应 t i t_i ti， t 0 = α t_0=\alpha t0=α， t n = β t_n=\beta tn=β。则 s n = ∑ i = 1 n ∥ P i − 1 P i → ∥ s_n=\sum\limits_{i=1}^n\|\overrightarrow{P_{i-1}P_i}\| sn=i=1∑n∥Pi−1Pi ∥而根据拉格朗日中值定理 ∥ P i − 1 P i → ∥ = [ x ˙ ( ξ i ) ] 2 + [ y ˙ ( η i ) ] 2 + [ z ˙ ( ζ i ) ] 2 Δ t i ≈ ∥ r ˙ ( t ξ ) ∥ Δ t i \|\overrightarrow{P_{i-1}P_i}\|=\sqrt{[\dot x(\xi_i)]^2+[\dot y(\eta_i)]^2+[\dot z(\zeta_i)]^2}\Delta t_i\approx\|\dot\bm r(t_\xi)\|\Delta t_i ∥Pi−1Pi ∥=[x˙(ξi)]2+[y˙(ηi)]2+[z˙(ζi)]2 Δti≈∥r˙(tξ)∥Δti，故 s n = ∑ i = 1 n ∥ P i − 1 P i → ∥ = ∑ i = 1 n ∥ r ˙ ( t ξ ) ∥ Δ t i = ∫ α β ∥ r ˙ ( t ) ∥ d t s_n=\sum\limits_{i=1}^n\|\overrightarrow{P_{i-1}P_i}\|=\sum\limits_{i=1}^n\|\dot\bm r(t_\xi)\|\Delta t_i=\int_\alpha^\beta\|\dot\bm r(t)\|\text{d}t sn=i=1∑n∥Pi−1Pi ∥=i=1∑n∥r˙(tξ)∥Δti=∫αβ∥r˙(t)∥dt

（二）第一型曲线积分

定义： ∫ ( C ) f ( x , y , z ) d s = lim ⁡ d → 0 ∑ k = 1 n f ( ξ k , η k , ζ k ) Δ s k \int_{(C)}f(x,y,z)\text{d}s=\lim\limits_{d\to 0}\sum\limits_{k=1}^nf(\xi_k,\eta_k,\zeta_k)\Delta s_k ∫(C)f(x,y,z)ds=d→0limk=1∑nf(ξk,ηk,ζk)Δsk，其中 d d d是分点间距离的最大值。

第一型线积分的计算公式： ∫ ( C ) f ( x , y , z ) d s = ∫ α β f [ x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ] x ˙ ( t ) 2 + y ˙ ( t ) 2 + z ˙ ( t ) 2 d t = ∫ α β f ( r ( t ) ) ∥ r ˙ ( t ) ∥ d t \int_{(C)}f(x,y,z)\text{d}s=\int_\alpha^\beta f[x(t),y(t),z(t)]\sqrt{\dot x(t)^2+\dot y(t)^2+\dot z(t)^2}\text{d}t=\int_\alpha^\beta f(\bm r(t))\|\dot\bm r(t)\|\text dt ∫(C)f(x,y,z)ds=∫αβf[x(t),y(t),z(t)]x˙(t)2+y˙(t)2+z˙(t)2 dt=∫αβf(r(t))∥r˙(t)∥dt。

注： β ≥ α \beta\ge\alpha β≥α，积分结果与曲线方向无关。

（三）第二型曲线积分

定义：设 ( C ) (C) (C)是向量场 A ( M ) \bm A(M) A(M)所在区域的一条以 A A A为起点、 B B B为终点且可求长的有向曲线， A ( M ) \bm A(M) A(M)在 ( C ) (C) (C)上有界。在 C C C上自起点 A A A（记作 M 0 M_0 M0）到终点 B B B（记作 M n M_n Mn）依次插入 n − 1 n-1 n−1个分点 M 1 , M 2 , ⋯ , M n − 1 M_1,M_2,\cdots,M_{n-1} M1,M2,⋯,Mn−1，把 ( C ) (C) (C)分成 n n n个有向小线段。在每一有向小弧段 M k − 1 M k ⌢ \overset{\LARGE\frown}{M_{k-1}M_k} Mk−1Mk⌢上任取一点 M ‾ k \overline{M}_k Mk，作点积 A ( M ‾ k ) ⋅ M k − 1 M k → \bm A(\overline M_k)\cdot\overrightarrow{M_{k-1}M_k} A(Mk)⋅Mk−1Mk ；无论 ( C ) (C) (C)被如何划分， M ‾ k \overline M_k Mk如何选取，当所有弧段的最大长度 d → 0 d\to 0 d→0时上述和式都趋于同一常数，则称此即限值为向量值函数（或向量场） A ( M ) \bm A(M) A(M)沿又向曲线 ( C ) (C) (C)的第二型曲线积分，记作 ∫ ( C ) A ( M ) ⋅ d s = lim ⁡ d → 0 ∑ k = 1 n A ( M ‾ k ) ⋅ M k − 1 M k → \int_{(C)}\bm A(M)\cdot\bm{\bold ds}=\lim\limits_{d\to0}\sum\limits_{k=1}^n\bm A(\overline M_k)\cdot\overrightarrow{M_{k-1}M_k} ∫(C)A(M)⋅ds=d→0limk=1∑nA(Mk)⋅Mk−1Mk
性质：
(1) ( C ) (C) (C)的方向反过来（记作 ( − C ) (-C) (−C)），积分的值变号。
(2) 设 A , B , P A,B,P A,B,P为曲线 ( C ) (C) (C)上任意三点，则 ∫ ( A B ⌢ ) A ( M ) ⋅ d s = ∫ ( A P ⌢ ) A ( M ) ⋅ d s + ∫ ( P B ⌢ ) A ( M ) ⋅ d s \int_{(\overset\frown{AB})}\bm A(M)\cdot\bm{\bold ds}=\int_{(\overset\frown{AP})}\bm A(M)\cdot\bm{\bold ds}+\int_{(\overset\frown{PB})}\bm A(M)\cdot\bm{\bold ds} ∫(AB⌢)A(M)⋅ds=∫(AP⌢)A(M)⋅ds+∫(PB⌢)A(M)⋅ds
计算：设 A = ( P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) ) \bm A=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) A=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，并设曲线 ( C ) (C) (C)有参数方程 x = x ( t ) , y = y ( t ) , z = z ( t ) x=x(t),y=y(t),z=z(t) x=x(t),y=y(t),z=z(t)，则 ∫ ( C ) A ( M ) ⋅ d s = ∫ ( C ) ( P , Q , R ) ⋅ ( d x , d y , d z ) = ∫ ( C ) P ( x , y , z ) d x + Q ( x , y , z ) d y + R ( x , y , z ) d z = ∫ α β { P [ x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ] x ˙ ( t ) + Q [ x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ] y ˙ ( t ) + R [ x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ] z ˙ ( t ) } d t \begin{aligned}\int_{(C)}\bm A(M)\cdot\bm{\bold ds}&=\int_{(C)}(P,Q,R)\cdot(\text dx,\text dy,\text dz)\\&=\int_{(C)}P(x,y,z)\text dx+Q(x,y,z)\text dy+R(x,y,z)\text dz\\&=\int_\alpha^\beta\left\{P\left[x(t),y(t),z(t)\right]\dot x(t)+Q\left[x(t),y(t),z(t)\right]\dot y(t)+R\left[x(t),y(t),z(t)\right]\dot z(t)\right\}\text dt\end{aligned} ∫(C)A(M)⋅ds=∫(C)(P,Q,R)⋅(dx,dy,dz)=∫(C)P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=∫αβ{P[x(t),y(t),z(t)]x˙(t)+Q[x(t),y(t),z(t)]y˙(t)+R[x(t),y(t),z(t)]z˙(t)}dt

（四）第二型曲线积分转为第一型曲线积分

比较两个积分的计算公式： ∫ ( C ) f ( x , y , z ) d s = ∫ α β f [ x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ] x ˙ ( t ) 2 + y ˙ ( t ) 2 + z ˙ ( t ) 2 d t \int_{(C)}f(x,y,z)\text{d}s=\int_\alpha^\beta f[x(t),y(t),z(t)]\sqrt{\dot x(t)^2+\dot y(t)^2+\dot z(t)^2}\text{d}t ∫(C)f(x,y,z)ds=∫αβf[x(t),y(t),z(t)]x˙(t)2+y˙(t)2+z˙(t)2 dt ∫ ( C ) ( P , Q , R ) ⋅ d s = ∫ α β [ P x ˙ ( t ) + Q y ˙ ( t ) + R z ˙ ( t ) ] d t \int_{(C)}(P,Q,R)\cdot\bm{\bold ds}=\int_\alpha^\beta[P\dot x(t)+Q\dot y(t)+R\dot z(t)]\text dt ∫(C)(P,Q,R)⋅ds=∫αβ[Px˙(t)+Qy˙(t)+Rz˙(t)]dt比较右端得 f ( x , y , z ) = P x ˙ ( t ) + Q y ˙ ( t ) + R z ˙ ( t ) x ˙ ( t ) 2 + y ˙ ( t ) 2 + z ˙ ( t ) 2 f(x,y,z)=\frac{P\dot x(t)+Q\dot y(t)+R\dot z(t)}{\sqrt{\dot x(t)^2+\dot y(t)^2+\dot z(t)^2}} f(x,y,z)=x˙(t)2+y˙(t)2+z˙(t)2 Px˙(t)+Qy˙(t)+Rz˙(t)
例设 ( C ) (C) (C)为曲线 x = t , y = t 2 , z = t 3 x=t,y=t^2,z=t^3 x=t,y=t2,z=t3上从点 ( 1 , 1 , 1 ) (1,1,1) (1,1,1)到点 ( 0 , 0 , 0 ) (0,0,0) (0,0,0)的一段弧，把第二型线积分 ∫ ( C ) ( P , Q , R ) ⋅ d s \int_{(C)}(P,Q,R)\cdot\bm{\bold ds} ∫(C)(P,Q,R)⋅ds化为第一型线积分。

解： x ˙ ( t ) = 1 , y ˙ ( t ) = 2 t , z ˙ ( t ) = 3 t 2 \dot x(t)=1,\dot y(t)=2t,\dot z(t)=3t^2 x˙(t)=1,y˙(t)=2t,z˙(t)=3t2。 t : 1 → 0 t:1\to0 t:1→0，不满足 β ≥ α \beta\ge\alpha β≥α，要加负号。则 f ( x , y , z ) = − P + 2 t Q + 3 t 2 R 1 + 4 t 2 + 9 t 4 f(x,y,z)=-\frac{P+2tQ+3t^2R}{\sqrt{1+4t^2+9t^4}} f(x,y,z)=−1+4t2+9t4 P+2tQ+3t2R一般第一型线积分的式子中不含 t t t，所以要把 t t t化成 x , y , z x,y,z x,y,z： f ( x , y , z ) = − P + 2 x Q + 3 y R 1 + 4 x 2 + 9 y 2 f(x,y,z)=-\frac{P+2xQ+3yR}{\sqrt{1+4x^2+9y^2}} f(x,y,z)=−1+4x2+9y2 P+2xQ+3yR

二、曲面积分

（一）第一型面积分

定义： ∬ ( S ) f ( x , y , z ) d S = lim ⁡ d → 0 ∑ k = 1 n f ( ξ k , η k , ζ k ) Δ S k \iint\limits_{(S)}f(x,y,z)\text dS=\lim\limits_{d\to0}\sum\limits_{k=1}^nf(\xi_k,\eta_k,\zeta_k)\Delta S_k (S)∬f(x,y,z)dS=d→0limk=1∑nf(ξk,ηk,ζk)ΔSk。

计算公式：
(1) 参数方程 r = r ( u , v ) = x ( u , v ) i + y ( u , v ) j + z ( u , v ) k \bm r=\bm r(u,v)=x(u,v)\bm i+y(u,v)\bm j+z(u,v)\bm k r=r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k： ∬ ( S ) f ( x , y , z ) d S = ∬ ( σ ) f [ x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ] ∥ r u × r v ∥ d u d v \iint\limits_{(S)}f(x,y,z)\text dS=\iint\limits_{(\sigma)}f[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]\|\bm r_u\times\bm r_v\|\text du\text dv (S)∬f(x,y,z)dS=(σ)∬f[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]∥ru×rv∥dudv(2)直角坐标方程 z = z ( x , y ) z=z(x,y) z=z(x,y)： ∬ ( S ) f ( x , y , z ) d S = ∬ ( σ ) f [ x , y , z ( x , y ) ] 1 + z x 2 + z y 2 d x d y \iint\limits_{(S)}f(x,y,z)\text dS=\iint\limits_{(\sigma)}f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\text dx\text dy (S)∬f(x,y,z)dS=(σ)∬f[x,y,z(x,y)]1+zx2+zy2 dxdy
注：第一型面积分的结果与曲面的内外方向无关。

（二）第二型面积分

定义：设在向量场 A ( M ) \bm A(M) A(M)的场域中有一可求面积的有向曲面 ( S ) (S) (S)，指定它的一侧。把曲面 ( S ) (S) (S)任意划分成 n n n小片 ( Δ S 1 ) , ( Δ S 2 ) , ⋯ , ( Δ S n ) (\Delta S_1),(\Delta S_2),\cdots,(\Delta S_n) (ΔS1),(ΔS2),⋯,(ΔSn)。任取一点 M k ∈ ( Δ S k ) M_k\in(\Delta S_k) Mk∈(ΔSk)，作点积 A ( M k ) ⋅ e n Δ s k ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ) \bm A(M_k)\cdot\bm e_n\Delta s_k\quad(k=1,2,\cdots,n) A(Mk)⋅enΔsk(k=1,2,⋯,n)，其中 e n ( M k ) \bm e_n(M_k) en(Mk)是曲面在点 M k M_k Mk处指向给定侧的单位法向量， Δ S k \Delta S_k ΔSk表示 ( Δ S k ) (\Delta S_k) (ΔSk)的面积。作和式 ∑ k = 1 n A ( M k ) ⋅ e n ( M k ) Δ s k \sum\limits_{k=1}^{n}\bm A(M_k)\cdot\bm e_n(M_k)\Delta s_k k=1∑nA(Mk)⋅en(Mk)Δsk，如果不论曲面 ( S ) (S) (S)怎样划分，点 M k M_k Mk在 ( Δ S k ) (\Delta S_k) (ΔSk)上怎样选取，当各小曲面 ( Δ S k ) (\Delta S_k) (ΔSk)直径的最大值 d → 0 d\to0 d→0时上述和式都趋于同一常数，则称此极限值为向量场 A ( M ) \bm A(M) A(M)沿有向曲面 ( S ) (S) (S)的第二型曲面积分，记作 ∬ ( S ) A ( M ) ⋅ d S = lim ⁡ d → 0 ∑ k = 1 n A ( M k ) ⋅ e n ( M k ) Δ S k \iint\limits_{(S)}\bm A(M)\cdot\bold d\bm S=\lim\limits_{d\to0}\sum\limits_{k=1}^n\bm A(M_k)\cdot\bm e_n(M_k)\Delta S_k (S)∬A(M)⋅dS=d→0limk=1∑nA(Mk)⋅en(Mk)ΔSk其中 d S = e n d S \bold d\bm S=\bm e_n\text dS dS=endS称为曲面面积微元向量。

在直角坐标系中，令 A ( M ) = ( P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) ) \bm A(M)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) A(M)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))， e n ( M ) = ( cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ ) \bm e_n(M)=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) en(M)=(cosα,cosβ,cosγ)，则有 ∬ ( S ) A ( M ) ⋅ d S = ∬ ( S ) P ( x , y , z ) cos ⁡ α d S + Q ( x , y , z ) cos ⁡ β d S + R ( x , y , z ) cos ⁡ γ d S \iint\limits_{(S)}\bm A(M)\cdot\bold d\bm S=\iint\limits_{(S)}P(x,y,z)\cos\alpha\text dS+Q(x,y,z)\cos\beta\text dS+R(x,y,z)\cos\gamma\text dS (S)∬A(M)⋅dS=(S)∬P(x,y,z)cosαdS+Q(x,y,z)cosβdS+R(x,y,z)cosγdS其中 d S = ∥ d S ∥ \text dS=\|\bold d\bm S\| dS=∥dS∥。而 cos ⁡ α d S , cos ⁡ β d S , cos ⁡ γ d S \cos\alpha\text dS,\cos\beta\text dS,\cos\gamma\text dS cosαdS,cosβdS,cosγdS是曲面面积微元向量 d S \bold d\bm S dS在 y O z , z O x , x O y yOz,zOx,xOy yOz,zOx,xOy坐标平面上的有向投影，把它们分别记作 d y d z , d z d x , d x d y \text dy\text dz,\text dz\text dx,\text dx\text dy dydz,dzdx,dxdy，则 ∬ ( S ) A ( M ) ⋅ d S = ∬ ( S ) P d y d z + Q d z d x + R d x d y \iint\limits_{(S)}\bm A(M)\cdot\bold d\bm S=\iint\limits_{(S)}P\text dy\text dz+Q\text dz\text dx+R\text dx\text dy (S)∬A(M)⋅dS=(S)∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
上图表示了 d S cos ⁡ γ \text dS\cos\gamma dScosγ是 d S \text dS dS在 x O y xOy xOy坐标面的有向投影。可以假设 d S \text dS dS为正方形，大小为 ξ × η \xi\times\eta ξ×η，则 d S cos ⁡ γ \text dS\cos\gamma dScosγ的大小为 ξ × η cos ⁡ γ \xi\times\eta\cos\gamma ξ×ηcosγ，所以投影关系成立。

计算：设有向曲面 ( S ) (S) (S)的方程为 z = z ( x , y ) z=z(x,y) z=z(x,y)， ( S ) (S) (S)在 x O y xOy xOy坐标面上的投影区域为 ( σ x y ) (\sigma_{xy}) (σxy)，则 ∬ ( S ) R ( x , y , z ) d x d y = ± ∬ ( σ x y ) R [ x , y , z ( x , y ) ] d σ x y \iint\limits_{(S)}R(x,y,z)\text dx\text dy=\pm\iint\limits_{(\sigma_{xy})}R[x,y,z(x,y)]\text d\sigma_{xy} (S)∬R(x,y,z)dxdy=±(σxy)∬R[x,y,z(x,y)]dσxy其中 e n \bm e_n en与 z z z轴夹角为锐角取正，为钝角时取负。 P , Q P,Q P,Q同理。

（三）第二型曲面积分转为第一型曲面积分

∬ ( S ) A ( M ) ⋅ d S = ∬ ( S ) ( P cos ⁡ α + Q cos ⁡ β + R cos ⁡ γ ) d S \iint\limits_{(S)}\bm A(M)\cdot\bold d\bm S=\iint\limits_{(S)}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\text dS (S)∬A(M)⋅dS=(S)∬(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS
注意曲面 F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0的法向量为 n = ( F x , F y , F z ) \bm n=(F_x,F_y,F_z) n=(Fx,Fy,Fz)，曲面 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)的法向量为 ( − f x , − f y , 1 ) (-f_x,-f_y,1) (−fx,−fy,1)。有时可以通过 d y d z = cos ⁡ α cos ⁡ β d x d y \text dy\text dz=\frac{\cos\alpha}{\cos\beta}\text dx\text dy dydz=cosβcosαdxdy， d z d x = cos ⁡ β cos ⁡ γ d x d y \text dz\text dx=\frac{\cos\beta}{\cos\gamma}\text dx\text dy dzdx=cosγcosβdxdy将积分化为 x O y xOy xOy面上的二重积分。

例把第二型面积分 ∬ ( S ) P d y d z + Q d z d x + R d x d y \iint\limits_{(S)}P\text dy\text dz+Q\text dz\text dx+R\text dx\text dy (S)∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy化为第一型面积分，其中
(1) ( S ) (S) (S)是平面 3 x + 2 y + 2 3 z = 6 3x+2y+2\sqrt3z=6 3x+2y+23 z=6在第一卦限部分的上侧；
(2) ( S ) (S) (S)是抛物面 z = 8 − ( x 2 + y 2 ) z=8-(x^2+y^2) z=8−(x2+y2)在 x O y xOy xOy平面上方部分的下侧。

解：
(1) 法向量为 n = ( 3 , 2 , 2 3 ) \bm n=(3,2,2\sqrt3) n=(3,2,23 )，单位法向量为 e n = 1 5 ( 3 , 2 , 2 3 ) \bm e_n=\frac15(3,2,2\sqrt3) en=51(3,2,23 )，故原式 = ∬ ( S ) ( P , Q , R ) ⋅ e n d S = 1 5 ∬ ( S ) ( 3 P + 2 Q + 2 3 R ) d S \text{原式}=\iint\limits_{(S)}(P,Q,R)\cdot\bm e_n\text dS=\frac15\iint\limits_{(S)}(3P+2Q+2\sqrt3R)\text dS 原式=(S)∬(P,Q,R)⋅endS=51(S)∬(3P+2Q+23 R)dS(2) 法向量为 n = ( − 2 x , − 2 y , − 1 ) \bm n=(-2x,-2y,-1) n=(−2x,−2y,−1)，单位法向量 e n = 1 4 ( x 2 + y 2 ) + 1 ( − 2 x , − 2 y , − 1 ) \bm e_n=\frac1{\sqrt{4(x^2+y^2)+1}}(-2x,-2y,-1) en=4(x2+y2)+1 1(−2x,−2y,−1)，故原式 = ∬ ( S ) ( P , Q , R ) ⋅ e n d S = ∬ ( S ) − 1 4 ( x 2 + y 2 ) + 1 ( 2 x P + 2 y Q + R ) d S \text{原式}=\iint\limits_{(S)}(P,Q,R)\cdot\bm e_n\text dS=\iint\limits_{(S)}\frac{-1}{\sqrt{4(x^2+y^2)+1}}(2xP+2yQ+R)\text dS 原式=(S)∬(P,Q,R)⋅endS=(S)∬4(x2+y2)+1 −1(2xP+2yQ+R)dS

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