近世代数--有限交换群--存在子群的阶是群阶的因子

设GGG为有限交换群，∣G∣=n,∀m∣n,∃H≤G,|G|=n,\forall m\mid n,{\exists}H\le G,∣G∣=n,∀m∣n,∃H≤G,使得∣H∣=m|H|=m∣H∣=m

博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：近世代数，方便检索。

设GGG为有限交换群，∣G∣=n,∀m∣n,∃H≤G,|G|=n,\forall m\mid n,{\exists}H\le G,∣G∣=n,∀m∣n,∃H≤G,使得∣H∣=m|H|=m∣H∣=m

证明：数学归纳法
（1） 当m=1m=1m=1时，H={e}≤G，∣H∣=∣{e}∣=1H=\{e\}\le G，|H|=|\{e\}|=1H={e}≤G，∣H∣=∣{e}∣=1

（2） 假设在小于mmm时结论成立；

（3）

由设GGG为有限交换群，∣G∣=n=pm,p|G|=n=pm,p∣G∣=n=pm,p为素数，∃a∈G,{\exists}a\in G,∃a∈G,使得∣a∣=p|a|=p∣a∣=p成立得：∃a∈G,{\exists}a\in G,∃a∈G,使得∣a∣=p|a|=p∣a∣=p。选择这样的a,a,a,得到商群Gˉ=G/<a>，∣Gˉ∣=G<a>=np\bar{G}={G}/{<a>}，|\bar{G}|=\frac{G}{<a>}=\frac{n}{p}Gˉ=G/<a>，∣Gˉ∣=<a>G=pn；
由第（2）条得：∣Gˉ∣|\bar{G}|∣Gˉ∣为有限交换群，∣Gˉ∣=np,∀mp∣np|\bar{G}|=\frac{n}{p},\forall \frac{m}{p}\mid \frac{n}{p}∣Gˉ∣=pn,∀pm∣pn，∃Hˉ≤Gˉ,{\exists}{\bar{H}}\le \bar{G},∃Hˉ≤Gˉ,使得∣Hˉ∣=mp|\bar{H}|=\frac{m}{p}∣Hˉ∣=pm
记HHH为Hˉ\bar{H}Hˉ在GGG到Gˉ\bar{G}Gˉ自然满同态下的原象，H≤GH\le GH≤G。f:H→Hˉf:H\rightarrow \bar{H}f:H→Hˉ是满同态，Ker(f)=<a>Ker(f)=<a>Ker(f)=<a>。
Hˉ=H/<a>→∣H∣=∣<a>∣⋅[H:<a>]→∣H∣=∣<a>∣⋅∣Hˉ∣=p⋅mp=m\bar{H}=H/<a>\rightarrow |H|=|<a>|·[H:<a>]\rightarrow |H|=|<a>|·|\bar{H}|=p·\frac{m}{p}=mHˉ=H/<a>→∣H∣=∣<a>∣⋅[H:<a>]→∣H∣=∣<a>∣⋅∣Hˉ∣=p⋅pm=m

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