在唯一分解整环中，任何两个元素都有最大公因子

我们知道，整数环ZZZ中，任何两个元素的最大公因子可表示为aaa、bbb的线性组合，即d=(a,b)→∃s,t∈Z,d=(a,b)\rightarrow \exists s,t\in Z,d=(a,b)→∃s,t∈Z,使得d=as+btd=as+btd=as+bt

整环中的最大公因子：DDD为整环，a,b,d∈D,da,b,d\in D,da,b,d∈D,d满足以下两个条件，则d=(a,b)d=(a,b)d=(a,b)，记作d=gcd(a,b)d=gcd(a,b)d=gcd(a,b)
- d∣a,d∣b,→dd\mid a,d\mid b,\rightarrow dd∣a,d∣b,→d是a,ba,ba,b的公因子
- ∀c\forall c∀c是a,ba,ba,b的公因子，有c∣dc\mid dc∣d

那么整环中，是否也有这样的性质呢？如果不是，在什么限制条件下，整环有这样的性质呢？

这里是唯一分解整环的概念，唯一分解整环中元素的标准分解式，有：在唯一分解整环中，任何两个元素都有最大公因子

证明：DDD为唯一分解整环，a,b∈D,u∈Ua,b\in D,u\in Ua,b∈D,u∈U

a=αp1k1p2k2…psks,α∈Ua=\alpha p_1^{k_1}p_2^{k_2}…p_s^{k_s},\alpha \in Ua=αp1k1p2k2…psks,α∈U
b=βp1l1p2l2…psls,β∈Ub=\beta p_1^{l_1}p_2^{l_2}…p_s^{l_s},\beta\in Ub=βp1l1p2l2…psls,β∈U
- 令mi=min{ki,li},d=p1m1p2m2…psms,m_i=min\{k_i,l_i\},d=p_1^{m_1}p_2^{m_2}…p_s^{m_s},mi=min{ki,li},d=p1m1p2m2…psms,则有
  - d∣ad\mid ad∣a
  - d∣bd\mid bd∣b
- 证c∣dc\mid dc∣d:
  
  ∀c\forall c∀c是a,ba,ba,b的公因子，c=γp1r1p2r2…psrs,γ∈U→piri∣a,piri∣bc=\gamma p_1^{r_1}p_2^{r_2}…p_s^{r_s},\gamma \in U\rightarrow p_i^{r_i}\mid a,p_i^{r_i}\mid bc=γp1r1p2r2…psrs,γ∈U→piri∣a,piri∣b
  
  因为ri≤ki,ri≤li→ri≤mi→piri≤pimi→c∣dr_i\le k_i,r_i\le l_i\rightarrow r_i\le m_i\rightarrow p_i^{r_i}\le p_i^{m_i}\rightarrow c\mid dri≤ki,ri≤li→ri≤mi→piri≤pimi→c∣d

主理想整环

这里是主理想的概念，

设DDD为整环，如果DDD的每一个理想都是主理想，则称DDD为主理想整环，principle ideal domain，记作PID

每一个主理想整环PID都是唯一分解整环UFD

这里是主理想的组成：有单位元的交换环R,<a>=aR={ar∣r∈R}R,<a>=aR=\{ar|r\in R\}R,<a>=aR={ar∣r∈R}

根据唯一分解整环的充分条件，我们需要证：

主理想整环→\rightarrow→每一个真因子链都有限

设DDD为主理想整环，
a1a2…an…a_1a_2…a_n…a1a2…an…为DDD的一个真因子链，→a1=a2b2,b2∈D→<a1>=a1D=a2b2D⊊a2D=<a2>→<a1>⊊<a2>⊊<a3>…⊊<an>⊊…\\\rightarrow a_1=a_2b_2,b_2\in D\\\rightarrow <a_1>=a_1D=a_2b_2D\subsetneq a_2D=<a_2>\\\rightarrow <a_1>\subsetneq <a_2>\subsetneq <a_3>…\subsetneq <a_n>\subsetneq…→a1=a2b2,b2∈D→<a1>=a1D=a2b2D⊊a2D=<a2>→<a1>⊊<a2>⊊<a3>…⊊<an>⊊…

假设I=∪i<ai>,I=\cup_{i}<a_i>,I=∪i<ai>,则III是理想，→I\rightarrow I→I是主理想→I=<d>,∃d∈D\rightarrow I=<d>,\exists d\in D→I=<d>,∃d∈D

I=<d>→d∈I→d∈<ak>,k∈N→<d>⊆<ak>→I⊆<ak>I=<d>\rightarrow d\in I\rightarrow d\in<a_k>,k\in N\rightarrow <d>\subseteq <a_k>\rightarrow I\subseteq<a_k>I=<d>→d∈I→d∈<ak>,k∈N→<d>⊆<ak>→I⊆<ak>
又I=∪i<ai>→<ak>⊆II=\cup_i<a_i>\rightarrow <a_k>\subseteq II=∪i<ai>→<ak>⊆I
故I=<ak>I=<a_k>I=<ak>，真因子链共kkk项，k∈Nk\in Nk∈N
主理想整环→\rightarrow→每一个不可约元都是素元

DDD为主理想整环PID，UUU是单位/可逆元u(u∈D)u(u\in D)u(u∈D)组成的乘法群，a∈D,a≠0,a∉U,(a\in D,a\neq 0,a\notin U,(a∈D,a=0,a∈/U,(即aaa非零非单位)以下4个条件等价：
- (1) aaa是素元
- (2) aaa是不可约元
- (3) <a><a><a>是极大理想
- (4) <a><a><a>是素理想
证明：
- (1)→\rightarrow→(2) 整环中的素元是不可约元
- (2)→\rightarrow→(3) 证明aaa是不可约元→<a>\rightarrow <a>→<a>是极大理想
 - 因为理想有吸收性，I◃R，∀r∈R,s∈I,rs,sr∈I→I\triangleleft R，\forall r\in R,s\in I,rs,sr\in I\\\rightarrowI◃R，∀r∈R,s∈I,rs,sr∈I→如果e∈I,e\in I,e∈I,或者u∈I,→u−1∈I→uu−1∈I→∀r∈R,er=re=r∈I→I=R,Iu\in I,\rightarrow u^{-1}\in I\rightarrow uu^{-1}\in I\\\rightarrow \forall r\in R,er=re=r\in I\\\rightarrow I=R,Iu∈I,→u−1∈I→uu−1∈I→∀r∈R,er=re=r∈I→I=R,I是RRR的平凡理想
 - a∉U,<a>≠Da\notin U,<a>\neq Da∈/U,<a>=D，即<a><a><a>是真理想，现在要证<a><a><a>是极大理想，即∀I◃D,<a>⊊I→I=D\forall I\triangleleft D,<a>\subsetneq I\rightarrow I=D∀I◃D,<a>⊊I→I=D
 - 设<a>⊊I◃D,<a>\subsetneq I\triangleleft D,<a>⊊I◃D,因为DDD是主理想整环UFD，所有理想I◃I\triangleleftI◃都是主理想，可以写成I=,b∈DI=,b\in DI=,b∈D的形式，→<a>⊊→a∈→∃c∈D,\\\rightarrow <a>\subsetneq \\\rightarrow a\in \\\rightarrow \exists c\in D,→<a>⊊→a∈→∃c∈D,使a=bca=bca=bc，又aaa是不可约元，→a∼b,c∈U\\\rightarrow a\sim b,c\in U→a∼b,c∈U或a∼c,b∈Ua\sim c,b\in Ua∼c,b∈U，因为<a>≠→a∼c,b∈U→=D,<a>\neq \\\rightarrow a\sim c,b\in U\\\rightarrow =D,<a>=→a∼c,b∈U→=D,即I=DI=DI=D
- (3)→\rightarrow→(4) 整环中的极大理想是素理想
- (4)→\rightarrow→(2) 证明<a><a><a>是素理想→a\rightarrow a→a是素元
 
 设a∣bc→bc∈<a>a\mid bc\\\rightarrow bc\in<a>a∣bc→bc∈<a>，又<a><a><a>是素理想→b∈<a>\\\rightarrow b\in <a>→b∈<a>或c∈<a>→a∣bc\in <a>\\\rightarrow a\mid bc∈<a>→a∣b或a∣ca\mid ca∣c

主理想整环中最大公因子的存在表示定理

DDD为主理想整环PID，∀a,b∈D,∃u,v∈D,\forall a,b\in D,\exists u,v\in D,∀a,b∈D,∃u,v∈D,使gcd(a,b)=au+bvgcd(a,b)=au+bvgcd(a,b)=au+bv

证明：

找到ddd：<d>=<a,b>→d∈<a,b>→∃u,v∈D,<d>=<a,b>\rightarrow d\in<a,b>\rightarrow \exists u,v\in D,<d>=<a,b>→d∈<a,b>→∃u,v∈D,使au+bv=dau+bv=dau+bv=d
证明ddd：
- a,b∈<a,b>=<d>→d∣a,d∣ba,b\in<a,b>=<d>\rightarrow d\mid a,d\mid ba,b∈<a,b>=<d>→d∣a,d∣b
- ∀c,c∣a,c∣b,→c∣au+bv→c∣d\forall c,c\mid a,c\mid b,\rightarrow c\mid au+bv\rightarrow c\mid d∀c,c∣a,c∣b,→c∣au+bv→c∣d

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