近世代数--整环上的唯一分解问题--唯一分解整环有算术分解定理

引出唯一分解整环
构造唯一分解整环UFD
整环是唯一分解整环的充分必要条件
- 整环是唯一分解整环→\rightarrow→每个不可约元都是素元
- 整环是唯一分解整环→\rightarrow→每一个真因子链都是有限的
- 每个不可约元都是素元，每一个真因子链都是有限的→\rightarrow→整环是唯一分解整环

博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：近世代数，方便检索。

DDD是整环
FFF是整环的商域
UUU是整环的单位群，单位群是所有单位（可逆元）关于乘法构成的群

引出唯一分解整环

我们知道，在整数环ZZZ中，有算术分解定理：不考虑因子次序，任何大于1的正整数都可唯一分解为素数的乘积，

整数环有唯一分解的性质，那么能否推广到整环上呢？如果不是，在什么限制条件下，可以推广到整环上呢？

唯一分解整环：unique factorization domain,UFD

几个概念。

因子divisor：DDD是整环，a,b∈D,a,b\in D,a,b∈D,若∃c∈D,\exists c\in D,∃c∈D,使得a=bc,a=bc,a=bc,则bbb是aaa的因子。最大公因子：d=gcd(a,b)d=gcd(a,b)d=gcd(a,b)
真因子proper divisor：显然，单位u∈U,∈D,u,auu\in U,\in D,u,auu∈U,∈D,u,au是aaa的因子(a=u(u−1a),a=(au)u−1a=u(u^{-1}a),a=(au)u^{-1}a=u(u−1a),a=(au)u−1)，称u,auu,auu,au是aaa的平凡因子。aaa的非平凡因子，称为aaa的真因子。
不可约元irreducible element：整环DDD中，非零元，非单位，无真因子的元素称为DDD的不可约元。
素元prime element：p∈D,pp\in D,pp∈D,p非零元，非单位,∀a,b∈D,p∣ab→p∣a,\forall a,b\in D,p\mid ab\rightarrow p\mid a,∀a,b∈D,p∣ab→p∣a或p∣bp\mid bp∣b，则ppp为DDD的素元。
相伴

构造唯一分解整环UFD

DDD为整环，a∈D,a≠0,a∉U,a\in D,a\neq 0,a\notin U,a∈D,a=0,a∈/U,

元素有唯一分解：
- aaa可分解为有限多个不可约元的乘积：a=p1p2…psa=p_1p_2…p_sa=p1p2…ps
- 上述分解在相伴的意义下是唯一的，即如果aaa有两种不可约分解，
  
  a=p1p2…ps=q1q2…qta=p_1p_2…p_s=q_1q_2…q_ta=p1p2…ps=q1q2…qt，则
  s=t,s=t,s=t,交换因子次序会有pi∼qi,i=1,2,…sp_i\sim q_i,i=1,2,…spi∼qi,i=1,2,…s
则称aaa有唯一分解。

唯一分解整环：如果DDD中所有非零非单位元的元素都有唯一分解，则称DDD为唯一分解整环，记作UFD。

整环是唯一分解整环的充分必要条件

整环是唯一分解整环↔1.\leftrightarrow\\1.↔1.每个不可约元都是素元2.\\2.2.每一个真因子链都是有限的

整环是唯一分解整环→\rightarrow→每个不可约元都是素元

在整环中，每个素元都是不可约元

证明：p=ab→p∼a,b∈Up=ab\rightarrow p\sim a,b\in Up=ab→p∼a,b∈U或p∼b,a∈Up\sim b,a\in Up∼b,a∈U
设p∈D,pp\in D,pp∈D,p为素元，
- 如果p=ab→p∣ab→p∣ap=ab\\\rightarrow p\mid ab\\\rightarrow p\mid ap=ab→p∣ab→p∣a或p∣bp\mid bp∣b
  - 假设p∣a→∃c∈D,a=pc,p\mid a\rightarrow \exists c\in D,a=pc,p∣a→∃c∈D,a=pc,又p=ab→p=pcb→bc=1→b∈U,p∼ap=ab\rightarrow p=pcb \rightarrow bc=1\rightarrow b\in U,p\sim ap=ab→p=pcb→bc=1→b∈U,p∼a
  - 假设p∣b→∃c∈D,b=cp,p\mid b\rightarrow \exists c\in D,b=cp,p∣b→∃c∈D,b=cp,又p=ab→p=acp→ac=1→a∈U,p∼bp=ab\rightarrow p=acp \rightarrow ac=1\rightarrow a\in U,p\sim bp=ab→p=acp→ac=1→a∈U,p∼b
那么，在整环中，所有不可约元都是素元吗？如果不是，在什么限制条件下，使得整环中的所有不可约元都是素元呢？

唯一分解整环中，所有不可约元都是素元

证明：要证p∣ab→p∣ap\mid ab\rightarrow p\mid ap∣ab→p∣a或p∣bp\mid bp∣b

唯一分解整环D,p∈DD,p\in DD,p∈D为DDD的不可约元，设p∣ab,∃c∈D,p\mid ab,\\\exists c\in D,p∣ab,∃c∈D,使pc=abpc=abpc=ab
- a,b,ca,b,ca,b,c有一个为可逆元/单位，则
  - aaa为单位→pca−1=b→p∣b\rightarrow pca^{-1}=b\rightarrow p\mid b→pca−1=b→p∣b
  - bbb为单位→pcb−1=a→p∣a\rightarrow pcb^{-1}=a\rightarrow p\mid a→pcb−1=a→p∣a
  - ccc为单位→p=abc−1→p∼ab\rightarrow p=abc^{-1}\rightarrow p\sim ab→p=abc−1→p∼ab，又ppp是不可约元，→p∼a\rightarrow p\sim a→p∼a或p∼b→p∣ap\sim b\rightarrow p\mid ap∼b→p∣a或p∣bp\mid bp∣b
- a,b,ca,b,ca,b,c都不是可逆元/单位，因为乘以可逆元不会改变相伴关系a∼b↔a=bua\sim b\leftrightarrow a=bua∼b↔a=bu，所以分解式通常不考虑单位，a,b,ca,b,ca,b,c有分解式：a=q1q2……qsb=qs+1qs+2……qs+tc=p1p2……pr,pi,qj\\a=q_1q_2……q_s\\b=q_{s+1}q_{s+2}……q_{s+t}\\c=p_1p_2……p_r,\\p_i,q_ja=q1q2……qsb=qs+1qs+2……qs+tc=p1p2……pr,pi,qj都是不可约元，则pp1p2……pr=q1q2……qs+t→p∼qi(1≤i≤s+t)\\pp_1p_2……p_r=q_1q_2……q_{s+t}\rightarrow p\sim q_i(1\le i\le s+t)pp1p2……pr=q1q2……qs+t→p∼qi(1≤i≤s+t)
  - 1≤i≤s→p∣a1\le i\le s\rightarrow p\mid a1≤i≤s→p∣a
  - s+1≤i≤s+t→p∣bs+1\le i\le s+t\rightarrow p\mid bs+1≤i≤s+t→p∣b

整环是唯一分解整环→\rightarrow→每一个真因子链都是有限的

真因子链chain of proper divisors：DDD是整环，DDD中一列元素a1a2……an……a_1a_2……a_n……a1a2……an……（有限或无限），如果∀i>1,ai\forall i>1,a_i∀i>1,ai为ai−1a_{i-1}ai−1的真因子，则称元素列为DDD的真因子链。
证明真因子链有限：a∈D,l(a)a\in D,l(a)a∈D,l(a)为aaa的长度，定义如下：
- a∈U→l(a)=0a\in U\rightarrow l(a)=0a∈U→l(a)=0
- a∉U,→a=p1p2……ps→l(a)=sa\notin U,\rightarrow a=p_1p_2……p_s\rightarrow l(a)=sa∈/U,→a=p1p2……ps→l(a)=s
如果bbb是aaa的真因子，那么l(b)<l(a)l(b)<l(a)l(b)<l(a)，

即真因子链a1a2……an……a_1a_2……a_n……a1a2……an……，有l(a1)>l(a2)>……>l(an)>……l(a_1)>l(a_2)>……>l(a_n)>……l(a1)>l(a2)>……>l(an)>……

因为l(a1)l(a_1)l(a1)是有限数，每个l(ai)l(a_i)l(ai)都是正整数，所以l(a1)>l(a2)>……>l(an)>……l(a_1)>l(a_2)>……>l(a_n)>……l(a1)>l(a2)>……>l(an)>……不可能是无限的

每个不可约元都是素元，每一个真因子链都是有限的→\rightarrow→整环是唯一分解整环

证明分解的存在性（每一个真因子链都是有限的）

反证法：假设DDD不是唯一分解整环，即∃a∈D,a\exists a\in D,a∃a∈D,a非零非单位，aaa没有分解→a\rightarrow a→a是可约元

注：因为如果aaa是不可约元，则aaa没有真因子，不能写成有限多个不可约元的乘积，直接是a=pa=pa=p，ppp是不可约元，而a=pa=pa=p本身已经是一种分解。

aaa是可约元→a=a1b1,a1,b1\\\rightarrow a=a_1b_1,a_1,b_1→a=a1b1,a1,b1是aaa的真因子→a1,b1\\\rightarrow a_1,b_1→a1,b1至少有一个没有分解，否则a=a1b1a=a_1b_1a=a1b1就是aaa的分解→\\\rightarrow→假设a1a_1a1没有分解，a1=a2b2→……→a_1=a_2b_2\\\rightarrow ……\\\rightarrowa1=a2b2→……→以此类推，aaa不可分解→a\rightarrow a→a的真因子a1a_1a1不可分解,→a1\rightarrow a_1→a1的真因子a2a_2a2不可分解→\\\rightarrow→有一个无限的真因子链a,a1,a2,…an…a,a_1,a_2,…a_n…a,a1,a2,…an…，产生矛盾
证明分解的唯一性（每个不可约元都是素元）

a∈D,aa\in D,aa∈D,a非零非单位，aaa有两个分解式，
a=p1p2…ps=q1q2…qt,(pi,qja=p_1p_2…p_s=q_1q_2…q_t,(p_i,q_ja=p1p2…ps=q1q2…qt,(pi,qj是DDD的不可约元)

对sss用数学归纳法：
- (1)s=1,a=p1s=1,a=p_1s=1,a=p1不可约，→t=1,p1=q1\rightarrow t=1,p_1=q_1→t=1,p1=q1
- (2)假设结论对s−1s-1s−1成立，
- (3)考虑sss
  
  已知p1∣a,→p1∣q1q2…qtp_1\mid a,\\\rightarrow p_1\mid q_1q_2…q_tp1∣a,→p1∣q1q2…qt
  
  因为p1p_1p1是不可约元→p1\\\rightarrow p_1→p1是素元，又p1∣q1q2…qt→p1∣qi,1≤i≤tp_1\mid q_1q_2…q_t\\\rightarrow p_1\mid q_i,1\le i\le tp1∣q1q2…qt→p1∣qi,1≤i≤t
  
  调整顺序，使p1∣q1,p_1\mid q_1,p1∣q1,则∃c∈D,\exists c\in D,∃c∈D,使得q1=cp1q_1=cp_1q1=cp1；又q1q_1q1不可约，→c\rightarrow c→c为单位，p1∼q1p_1\sim q_1p1∼q1
  
  p1p2…ps=q1q2…qt→p1p2…ps=(cp1)q2…qt→p1p2…ps=p1(cq2)…qt,Dp_1p_2…p_s=q_1q_2…q_t\\\rightarrow p_1p_2…p_s=(cp_1)q_2…q_t\\\rightarrow p_1p_2…p_s=p_1(cq_2)…q_t,Dp1p2…ps=q1q2…qt→p1p2…ps=(cp1)q2…qt→p1p2…ps=p1(cq2)…qt,D是整环，用消去律，→p2…ps=(cq2)…qt\\\rightarrow p_2…p_s=(cq_2)…q_t→p2…ps=(cq2)…qt
  
  因为结论在s−1s-1s−1时成立，→s−1=t−1→s=t→pi∼qi,i=2,3,…s\rightarrow s-1=t-1\rightarrow s=t\rightarrow p_i\sim q_i,i=2,3,…s→s−1=t−1→s=t→pi∼qi,i=2,3,…s,
  又p1∼q1p_1\sim q_1p1∼q1，所以p1p2…ps=q1q2…qtp_1p_2…p_s=q_1q_2…q_tp1p2…ps=q1q2…qt

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