初等数论--同余--WILSON定理

a对模m的逆a−1a对模m的逆a^{-1}a对模m的逆a−1
WILSON定理

博主是初学初等数论（整除+同余+原根），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：初等数论，方便检索。

a对模m的逆a−1a对模m的逆a^{-1}a对模m的逆a−1

设m∈N+,若a∈Z,(a,m)=1,则在模m的意义下存在唯一的整数a−1。设m\in N^{+},若a\in Z,(a,m)=1,则在模m的意义下存在唯一的整数a^{-1}。设m∈N+,若a∈Z,(a,m)=1,则在模m的意义下存在唯一的整数a−1。

存在性：(a,m)=1→ax+my=1,∃x,y∈Z→ax≡1(modm),即a−1就是这里的x，是存在的存在性：(a,m)=1\rightarrow ax+my=1,{\exists}x,y\in Z\rightarrow ax\equiv 1(mod m),即a^{-1}就是这里的x，是存在的存在性：(a,m)=1→ax+my=1,∃x,y∈Z→ax≡1(modm),即a−1就是这里的x，是存在的
唯一性：反证法，假设∃x1,x2∈Z,x1≠x2,使得ax1≡x1a≡1(modm),ax2≡x2a≡1(modm),那么x1≡x1(ax2)≡(x1a)x2≡x2(modm)唯一性：反证法，假设{\exists}x_1,x_2\in Z,x_1\neq x_2,使得\\ ax_1\equiv x_1a\equiv 1(mod m),\\ ax_2\equiv x_2a\equiv 1(mod m),\\ 那么x_1\equiv x_1(ax_2)\equiv (x_1a)x_2\equiv x_2(mod m)唯一性：反证法，假设∃x1,x2∈Z,x1=x2,使得ax1≡x1a≡1(modm),ax2≡x2a≡1(modm),那么x1≡x1(ax2)≡(x1a)x2≡x2(modm)

WILSON定理

若p为素数，则(p−1)!≡−1(modp)若p为素数，则(p-1)!\equiv -1(mod p)若p为素数，则(p−1)!≡−1(modp)
分情况考虑，从p=2开始：分情况考虑，从p=2开始：分情况考虑，从p=2开始：

p=2,则(p−1)!=1!=1≡−1(mod2)p=2,则(p-1)!=1!=1\equiv -1(mod 2)p=2,则(p−1)!=1!=1≡−1(mod2)
p≥3,对于整数a,1≤a≤p−1,有(a,p)=1,存在唯一整数a−1使得aa−1≡a−1a≡1(modp)现在考虑在1p\ge3,对于整数a,1\le a\le p-1,有(a,p)=1,存在唯一整数a^{-1}使得aa^{-1}\equiv a^{-1}a\equiv 1(mod p)\\ 现在考虑在1p≥3,对于整数a,1≤a≤p−1,有(a,p)=1,存在唯一整数a−1使得aa−1≡a−1a≡1(modp)现在考虑在1 ~ p−1之间有几对互为逆元,有哪些数的逆元是其本身,即a≡a−1(modp),a≡a−1(modp)a2≡1(modp)a2−1≡0(modp)(a+1)(a−1)≡0(modp)a≡−1(modp)或a≡+1(modp)a=p−1,或a=1所以我们得到只有p−1和1的逆元是其本身，其余的数皆可写成逆元对形式，即(p−1)!≡(p−1)⋅1≡p−1≡−1(modp)p-1之间有几对互为逆元,有哪些数的逆元是其本身,即a\equiv a^{-1}(mod p),\\ a\equiv a^{-1}(mod p)\\ a^{2}\equiv 1(mod p)\\ a^{2}-1\equiv 0(mod p)\\ (a+1)(a-1)\equiv 0(mod p)\\ a\equiv -1(mod p)或a\equiv +1(mod p)\\ a=p-1,或a=1\\ 所以我们得到只有p-1和1的逆元是其本身，其余的数皆可写成逆元对形式，即\\ (p-1)!\equiv (p-1)·1\equiv p-1\equiv -1(mod p)p−1之间有几对互为逆元,有哪些数的逆元是其本身,即a≡a−1(modp),a≡a−1(modp)a2≡1(modp)a2−1≡0(modp)(a+1)(a−1)≡0(modp)a≡−1(modp)或a≡+1(modp)a=p−1,或a=1所以我们得到只有p−1和1的逆元是其本身，其余的数皆可写成逆元对形式，即(p−1)!≡(p−1)⋅1≡p−1≡−1(modp)

综上，(p−1)!≡−1(modp)综上，(p-1)!\equiv -1(mod p)综上，(p−1)!≡−1(modp)

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