近世代数--整环与域--有限的整环是域

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这里是整环和域的概念

整环：乘法半群可交换+含幺+无零因子
除环：乘法群
域：乘法群可交换
有限的整环是域：

第一种证明方法：要证乘法半群是群
整环→\\\rightarrow→无零因子，无零因子的环中↔\leftrightarrow↔两个消去律成立→\\\rightarrow→左右消去律成立+乘法半群+有限，满足左、右消去律的有限半群是群→\\\rightarrow→乘法半群是群

第二种证明方法：证明双射
RRR是有限整环，

构造映射：φ:R→R,∀a,c∈R,c≠0,φ(a)=ac\varphi:R\rightarrow R,\forall a,c\in R,c\neq 0,\varphi(a)=acφ:R→R,∀a,c∈R,c=0,φ(a)=ac
单射：RRR是有限整环→R\\\rightarrow R→R无零因子→\\\rightarrow→ 左右消去律成立→∀x,y,c∈R,c≠0,φ(x)=φ(y)→xc=yc→(x−y)c=0→x−y=0→x=y→\\\rightarrow \forall x,y,c\in R,c\neq 0,\varphi(x)=\varphi(y)\rightarrow xc=yc\rightarrow (x-y)c=0\rightarrow x-y=0\rightarrow x=y\\\rightarrow→∀x,y,c∈R,c=0,φ(x)=φ(y)→xc=yc→(x−y)c=0→x−y=0→x=y→ 函数满足单射
满射：有限的集合映射到自身是单射的，那么这个映射是满射的；无限的集合映射到自身是单射的，这个映射不一定是满射。（这个具体证明我现在还不会，学学集合论再回来补充）
根据上面我们知道，这是一个双射映射φ:R→R,R\varphi:R\rightarrow R,Rφ:R→R,R是有限整环，又因为∀r∈R,R⋅r∈R\forall r\in R,R·r\in R∀r∈R,R⋅r∈R，那么∀r∈R,r≠0,∃c∈R,\forall r\in R,r\neq 0,\exists c\in R,∀r∈R,r=0,∃c∈R,使得r⋅c=1r·c=1r⋅c=1，即有∀r∈R,r\forall r\in R,r∀r∈R,r是可逆元。 所以，有限整环是域。

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