CSP-S2019 D2T1 Emiya 家今天的饭

题目

题目描述

Emiya 是个擅长做菜的高中生，他共掌握 nnn 种烹饪方法，且会使用 mmm 种主要食材做菜。为了方便叙述，我们对烹饪方法从 1∼n1 \sim n1∼n 编号，对主要食材从 1∼m1 \sim m1∼m 编号。

Emiya 做的每道菜都将使用恰好一种烹饪方法与恰好一种主要食材。更具体地，Emiya 会做 ai,ja_{i,j}ai,j 道不同的使用烹饪方法 iii 和主要食材 jjj 的菜（1≤i≤n,1≤j≤m1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m1≤i≤n,1≤j≤m），这也意味着 Emiya 总共会做 ∑i=1n∑j=1mai,j\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} a_{i,j}i=1∑nj=1∑mai,j 道不同的菜。

Emiya 今天要准备一桌饭招待 Yazid 和 Rin 这对好朋友，然而三个人对菜的搭配有不同的要求，更具体地，对于一种包含 kkk 道菜的搭配方案而言：

Emiya 不会让大家饿肚子，所以将做至少一道菜，即 k≥1k \geq 1k≥1
Rin 希望品尝不同烹饪方法做出的菜，因此她要求每道菜的烹饪方法互不相同
Yazid 不希望品尝太多同一食材做出的菜，因此他要求每种主要食材至多在一半的菜（即 ⌊k2⌋\lfloor \frac{k}{2} \rfloor⌊2k⌋ 道菜）中被使用

这里的 ⌊x⌋\lfloor x \rfloor⌊x⌋ 为下取整函数，表示不超过 xxx 的最大整数。

这些要求难不倒 Emiya，但他想知道共有多少种不同的符合要求的搭配方案。两种方案不同，当且仅当存在至少一道菜在一种方案中出现，而不在另一种方案中出现。

Emiya 找到了你，请你帮他计算，你只需要告诉他符合所有要求的搭配方案数对质数 998244353998244353998244353 取模的结果。

分析

考虑用容斥去掉这个 ⌊k2⌋\lfloor \frac{k}{2} \rfloor⌊2k⌋ 限制，即用总方案数减掉不合法的方案数。

如果不考虑 ⌊k2⌋\lfloor \frac{k}{2} \rfloor⌊2k⌋ 的限制的话，总方案数应该是：

∏i=1n(∑j=1mai,j+1)−1\prod\limits_{i=1}^{n}\left ( \sum\limits_{j=1}^{m}a_{i,j}+1\right )-1 i=1∏n(j=1∑mai,j+1)−1

我们减掉那个 111 是为了排除一道菜也不做的方案。

然后我们考虑用 DP 来计算不合法的方案数。我们先枚举哪个主要食材超过了限制。

记 si=∑j=1mai,js_i=\sum\limits_{j=1}^{m}a_{i,j}si=j=1∑mai,j ，记状态 f(i,j,k)f(i,j,k)f(i,j,k)为当前考虑到了第 iii 种的做菜方式，已经做了 jjj 道菜，其中 kkk 道菜用了我们枚举的主要食材。

转移显然，但这个做一次是 O(n3)O(n^3)O(n3) 的，再加上枚举的食材数量，总时间复杂度达到了 O(mn3)O(mn^3)O(mn3) 。显然超时。

考虑优化。我们开一开脑洞，不难发现只有 ⌊k2⌋≥j\lfloor \frac{k}{2} \rfloor \geq j⌊2k⌋≥j 的方案是不合法的，于是变一下这个不等式得到： 2j−k>02j - k > 02j−k>0 ，于是我们可以令新的 j′=2j−kj' = 2j - kj′=2j−k，定义新的状态 f(i,j′)f(i, j')f(i,j′) 为选了前 iii 种做法，其中 2j−k2j-k2j−k 为 j′j'j′ 的方案数。

记我们选择的主食为 ttt ，则有如下转移方式：

当 j′j'j′ 不为 −n-n−n 时，f(i,j′)f(i,j')f(i,j′) 对 f(i+1,j′−1)f(i+1,j'-1)f(i+1,j′−1) 产生 f(i,j′)×(si−ai,t)f(i,j') \times (s_i - a_{i, t})f(i,j′)×(si−ai,t) 的贡献；
不选择第 iii 种做菜方式，则 f(i,j′)f(i, j')f(i,j′) 对 f(i+1,j′)f(i+1, j')f(i+1,j′) 产生 f(i,j′)f(i, j')f(i,j′) 的贡献；
选择第 iii 种做菜方式，则 f(i,j′)f(i, j')f(i,j′) 对 f(i+1,j′+1)f(i+1, j'+1)f(i+1,j′+1) 产生 f(i,j′)×ai,tf(i, j') \times a_{i, t}f(i,j′)×ai,t 的贡献。

最后不合法的方案数就是 j′>0j' > 0j′>0 的 f(i,j′)f(i, j')f(i,j′) 的总和。

注意 j′j'j′ 可能是个负数，我们必须将坐标平移 nnn 个单位。

本质上来说就是一个背包。

参考代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;typedef long long ll;
const int Maxn = 100;
const int Maxm = 2000;
const int Mod = 998244353;int N, M;
int A[Maxn + 5][Maxm + 5];
int sum[Maxn + 5];ll f[Maxn + 5][Maxn * 2 + 5];
ll Solve(int typ) {for(int i = 0; i <= N; i++)for(int j = 0; j <= N * 2; j++)f[i][j] = 0;f[0][N] = 1;for(register int i = 0; i < N; i++)for(register int j = 0; j <= N * 2; j++) {if(j) f[i + 1][j - 1] = (f[i + 1][j - 1] + f[i][j]* (sum[i + 1] - A[i + 1][typ]) % Mod) % Mod;f[i + 1][j] = (f[i + 1][j] + f[i][j]) % Mod;f[i + 1][j + 1] = (f[i + 1][j + 1] + f[i][j]* A[i + 1][typ] % Mod) % Mod;}ll ret = 0;for(int i = N + 1; i <= N * 2; i++)ret = (ret + f[N][i]) % Mod;return ret;
}int main() {#ifdef LOACLfreopen("in.txt", "r", stdin);freopen("out.txt", "w", stdout);
#endifscanf("%d %d", &N, &M);for(int i = 1; i <= N; i++)for(int j = 1; j <= M; j++)scanf("%d", &A[i][j]);ll ans = 1;for(int i = 1; i <= N; i++) {for(int j = 1; j <= M; j++)sum[i] = (sum[i] + A[i][j]) % Mod;ans = ans * (sum[i] + 1) % Mod;}ans = (ans - 1 + Mod) % Mod;for(register int i = 1; i <= M; i++)ans = (ans - Solve(i) + Mod) % Mod;printf("%lld\n", ans);return 0;
}