洛谷P5664 Emiya 家今天的饭

题目描述

Emiya 是个擅长做菜的高中生，他共掌握 nn 种烹饪方法，且会使用 mm 种主要食材做菜。为了方便叙述，我们对烹饪方法从 1 \sim n1∼n 编号，对主要食材从 1 \sim m1∼m 编号。

Emiya 做的每道菜都将使用恰好一种烹饪方法与恰好一种主要食材。更具体地，Emiya 会做 a_{i,j}ai,j 道不同的使用烹饪方法 ii 和主要食材 jj 的菜（1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m1≤i≤n,1≤j≤m），这也意味着 Emiya 总共会做 \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} a_{i,j}i=1∑nj=1∑mai,j 道不同的菜。

Emiya 今天要准备一桌饭招待 Yazid 和 Rin 这对好朋友，然而三个人对菜的搭配有不同的要求，更具体地，对于一种包含 kk 道菜的搭配方案而言：

Emiya 不会让大家饿肚子，所以将做至少一道菜，即 k \geq 1k≥1
Rin 希望品尝不同烹饪方法做出的菜，因此她要求每道菜的烹饪方法互不相同
Yazid 不希望品尝太多同一食材做出的菜，因此他要求每种主要食材至多在一半的菜（即 \lfloor \frac{k}{2} \rfloor⌊2k⌋ 道菜）中被使用

这里的 \lfloor x \rfloor⌊x⌋ 为下取整函数，表示不超过 xx 的最大整数。

这些要求难不倒 Emiya，但他想知道共有多少种不同的符合要求的搭配方案。两种方案不同，当且仅当存在至少一道菜在一种方案中出现，而不在另一种方案中出现。

Emiya 找到了你，请你帮他计算，你只需要告诉他符合所有要求的搭配方案数对质数 998,244,353998,244,353 取模的结果。

输入格式

第 1 行两个用单个空格隔开的整数 n,mn,m。

第 2 行至第 n + 1n+1 行，每行 mm 个用单个空格隔开的整数，其中第 i + 1i+1 行的 mm 个数依次为 a_{i,1}, a_{i,2}, \cdots, a_{i,m}ai,1,ai,2,⋯,ai,m。

输出格式

仅一行一个整数，表示所求方案数对 998,244,353998,244,353 取模的结果。

输入输出样例

输入 #1复制

2 3
1 0 1
0 1 1

输出 #1复制

输入 #2复制

输出 #2复制

输入 #3复制

输出 #3复制

说明/提示

【样例 1 解释】

由于在这个样例中，对于每组 i, ji,j，Emiya 都最多只会做一道菜，因此我们直接通过给出烹饪方法、主要食材的编号来描述一道菜。

符合要求的方案包括：

做一道用烹饪方法 1、主要食材 1 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 2 的菜
做一道用烹饪方法 1、主要食材 1 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 3 的菜
做一道用烹饪方法 1、主要食材 3 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 2 的菜

因此输出结果为 3 \mod 998,244,353 = 33mod998,244,353=3。需要注意的是，所有只包含一道菜的方案都是不符合要求的，因为唯一的主要食材在超过一半的菜中出现，这不满足 Yazid 的要求。

【样例 2 解释】

Emiya 必须至少做 2 道菜。

做 2 道菜的符合要求的方案数为 100。

做 3 道菜的符合要求的方案数为 90。

因此符合要求的方案数为 100 + 90 = 190。

【数据范围】

测试点编号	n=n=	m=m=	a_{i,j}<ai,j<	测试点编号	n=n=	m=m=	a_{i,j}<ai,j<
11	22	22	22	77	1010	22	10^3103
22	22	33	22	88	1010	33	10^3103
33	55	22	22	9\sim 129∼12	4040	22	10^3103
44	55	33	22	13\sim 1613∼16	4040	33	10^3103
55	1010	22	22	17\sim 2117∼21	4040	500500	10^3103
66	1010	33	22	22\sim 2522∼25	100100	2\times 10^32×103	998244353998244353

对于所有测试点，保证 1 \leq n \leq 1001≤n≤100，1 \leq m \leq 20001≤m≤2000，0 \leq a_{i,j} \lt 998,244,3530≤ai,j<998,244,353。

上代码：

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define mod 998244353using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 105, MAXM = 2005;
int n,m,a[MAXN][MAXM],sum[MAXN][MAXM];
ll f[MAXN][MAXN*2],g[MAXN][MAXN];int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i<=n; i++)for(int j = 1; j<=m; j++){scanf("%d",&a[i][j]);sum[i][0] = (sum[i][0]+a[i][j])%mod;}for(int i = 1; i<=n; i++)for(int j = 1; j<=m; j++)sum[i][j] = (sum[i][0]-a[i][j]+mod)%mod;ll ans = 0;for(int col = 1; col<=m; col++){memset(f,0,sizeof(f));f[0][n] = 1;for(int i = 1; i<=n; i++)for(int j = n-i; j<=n+i; j++) f[i][j] = (f[i-1][j]+f[i-1][j-1]*a[i][col]%mod+f[i-1][j+1]*sum[i][col]%mod)%mod;for(int j = 1; j<=n; j++)ans = (ans+f[n][n+j])%mod;}g[0][0] = 1;for(int i = 1; i<=n; i++)for(int j = 0; j<=n; j++) g[i][j] = (g[i-1][j]+(j>0?g[i-1][j-1]*sum[i][0]%mod:0))%mod;for(int j = 1; j<=n; j++)ans = (ans-g[n][j]+mod)%mod;  cout << ans*(mod-1)%mod << endl;return 0;
}