Emiya 家今天的饭

题解

挺容易的一道dp，我们可以先考虑容斥。先加上不考虑菜数不超过一半的值，再减去超过一半的部分。

$g_{i,j}$ 表示在前i种中选j个菜的总种类，这个dp很好想， $g_{i,j}=g_{i-1,j}+g_{i-1,j-1}\sum_{i=1}^{m}a_{i,k}$

下面就是最重要的了。

$dp_{i,j,k}$ 表示在前i种烹饪方法中做了j道菜，使用k个某食材。我们发现如果这样打的话很容易就MLE，必须改进一下。我们发现我们可以将j与k的差记录下来，这样就只用二维dp了。

$f_{i,\Delta}=f_{i-1,\Delta}+f_{i-1,\Delta-1}a[i][k]+f_{i-1,\Delta+1}\sum _{s=1,s\neq k}^{m}a_{i,s}$

至于那个求和，很明显可以开始就初始化出来，现在就只需要 $O\left ( n^{2}m \right )$ 了。

源码

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAXN 2005
#define MAXM 2005
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mo=998244353;
LL n,m,a[MAXN][MAXM];
LL sum[MAXN],ans;
LL dp[MAXN][MAXN<<1];
LL g[MAXN][MAXN];
template<typename _T>
void read(_T &x)
{_T f=1;x=0;char s=getchar();while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-') f=-1;s=getchar();}while(s>='0'&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}x*=f;
}
int main()
{read(n);read(m);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++){read(a[i][j]);sum[i]=(sum[i]+a[i][j])%mo;}for(int k=1;k<=m;k++){for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=2*n;j++)dp[i][j]=0;dp[0][n]=1;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=-i+n;j<=i+n;j++){dp[i][j]=dp[i-1][j];dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][j-1]*a[i][k]%mo)%mo;dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][j+1]*(sum[i]-a[i][k])%mo)%mo;}for(int j=1;j<=n;j++)ans=(ans-dp[n][j+n])%mo;}g[0][0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=0;j<=i;j++){g[i][j]=g[i-1][j];for(int k=1;k<=m;k++)g[i][j]=(g[i][j]+g[i-1][j-1]*a[i][k]%mo)%mo;}for(int j=1;j<=n;j++)ans=(ans+g[n][j])%mo;printf("%lld",(ans+mo)%mo);return 0;
}

谢谢！！！

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