漫步数学分析三十五——乘法法则与梯度

微分中另一个有名的法则是乘法法则或莱布尼兹法则。

定理6\textbf{定理6} 令A⊂RnA\subset R^n是开集，f:A→Rm,g:A→Rf:A\to R^m,g:A\to R是可微函数，那么gfgf是可微的并且对于x∈A,D(gf)(x):Rn→Rmx\in A,D(gf)(x):R^n\to R^m为D(gf)(x)⋅e=g(x)(Df(x)⋅e)+(Dg(x)⋅e)f(x)D(gf)(x)\cdot e=g(x)(Df(x)\cdot e)+(Dg(x)\cdot e)f(x)，对所有的e∈Rne\in R^n均如此。(注意因为g(x)∈R,Dg(x)⋅e∈Rg(x)\in R,Dg(x)\cdot e\in R，所以这是可行的)

有时我们将上面的结果缩写成

D(gf)=gDf+(Dg)f

但是准确的含义与定理描述的一致。

大家对基本微积分中的乘法法则应该非常熟悉，用元素的角度看待，定理简化为

∂∂xi(gfk)=g(∂fk∂xi)+(∂g∂xi)fk

\frac{\partial}{\partial x_i}(gf_k)=g\left(\frac{\partial f_k}{\partial x_i}\right)+\left(\frac{\partial g}{\partial x_i}\right)f_k

对于除法而言，我们有相同的结果。如果g≠0g\neq 0，那么

D(fg)=(g⋅Df−f⋅Dg)g2

D\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{(g\cdot Df-f\cdot Dg)}{g^2}

为了证明这个公式，我们可以将定理6中的gg换成1/g1/g，这里证明从略。

其他的微分法则围绕着DD是线性展开；即D(f+g)=Df+Df,D(λf)=λDfD(f+g)=Df+Df,D(\lambda f)=\lambda Df，其中λ∈R\lambda\in R是一个常数。

现在我们考虑一下梯度的几何意义，令f:A⊂Rn→Rf:A\subset R^n\to R是可微的，那么我们得到梯度

grad f(x)=(∂f∂x1,…,∂f∂xn)

\text{grad}\ f(x)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)

从而在hh方向上的方向导数是

Df(x)⋅h=⟨grad f(x),h⟩=f在点x处h方向上的变化率

\begin{align*} Df(x)\cdot h &=\langle\text{grad}\ f(x),h\rangle\\ &=f\text{在点}x\text{处}h\text{方向上的变化率} \end{align*}

现在考虑定义为f(x)=f(x)=常数的面SS，我们断言grad f(x)\text{grad}\ f(x)与这个面正交(orthogonal)(这是直观上的理解，因为我们对面还没有给出准确的定义——之后会详细介绍)，为了证明这个，考虑SS中切向量为c′(0)c^\prime(0)的曲线c(t)c(t)，其中c(0)=x0c(0)=x_0，我们断言

⟨grad f(x0,c′(0))⟩=0

\langle\text{grad}\ f(x_0,c^\prime(0))\rangle=0

接下里因为c(t)∈S,f(c(t))=c(t)\in S,f(c(t))=常数。求微分并利用链式法则可得

Df(c(t)⋅c′(t))=0

Df(c(t)\cdot c^\prime(t))=0

令t=0t=0并利用Df(x)⋅h=⟨grad f(x),h⟩Df(x)\cdot h=\langle\text{grad}\ f(x),h\rangle可得出我们所要的结果，如图???\ref{fig:6-9}所示。

图1

注意我们可以将 SS的切平面描述为：在x0x_0处，因为 ⟨grad f(x0),x−x0⟩=0\langle\text{grad}\ f(x_0),x-x_0\rangle=0，(这是由于 grad f(x0)\text{grad}\ f(x_0)与 SS正交)所以f(x)=f(x)=常数。

从等式

⟨grad f(x0),h⟩=∥grad f(x0)∥cosθ

\langle\text{grad}\ f(x_0),h\rangle=\Vert\text{grad}\ f(x_0)\Vert\cos\theta

(其中∥h∥=1,θ\Vert h\Vert=1,\theta是grad f(x0)\text{grad}\ f(x_0)与hh的角度) 中可以很明显的看出grad f(x0)\text{grad}\ f(x_0) 是ff 变化最快的方向。如果我们将ff看成山丘的高度函数，那么f=f=常数就是水平轮廓，为了尽快上坡或下坡，我们应该沿着垂直于水平轮廓的方向走。(如图2)

这些事实就是实际优化控制问题中的值，在这些问题中给定一个函数f(x1,…,xn)f(x_1,\ldots,x_n)，问题就是最大化或最优化ff。常用的方法是取一个点x0x_0然后沿着ff的梯度方向进行到一个使得ff更大的点然后不断重复。

例1：\textbf{例1：}找出x2+y2+z2=3x^2+y^2+z^2=3在(1,1,1)(1,1,1)处的法向量

解：\textbf{解：}这里f(x,y,z)=x2+y2+z2f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2在(1,1,1)(1,1,1)的梯度grad f=(2x,2y,2z)\text{grad}\ f=(2x,2y,2z)是(2,2,2)(2,2,2)，归一化得到单位法向量是(1/3√,1/3√,1/3√)(1/\sqrt3,1/\sqrt3,1/\sqrt3)。

例2：\textbf{例2：}找出f(x,y,z)=x2ysinzf(x,y,z)=x^2y\sin z在(3,2,0)(3,2,0)处增长速度最快的方向。

例3：\textbf{例3：}求x2−y2+xz=2x^2-y^2+xz=2在(1,0,1)(1,0,1)处的切平面。

解：\textbf{解：}这里grad f(1,0,1)=(3,0,1)\text{grad}\ f(1,0,1)=(3,0,1)，所以切平面是⟨(x−1,y,z−1),(3,0,1)⟩=0\langle(x-1,y,z-1),(3,0,1)\rangle=0即3x+z=43x+z=4。

图2

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