漫步数学分析三十九—

假设x,yx,y被方程F(x,y)=0F(x,y)=0关联起来，我们会说这定义了一个函数y=f(x)y=f(x)(或者说隐式定义了y=f(x)y=f(x))，然后打算计算dy/dxdy/dx。前面已经提到过，给定这样的FF，一般不能显式求出yy，所以在没有求解之前知道这样的函数存在是非常重要的。

为了更好的理解给出的结论，考虑函数F(x,y)=x2+y2−1F(x,y)=x^2+y^2-1，我们对满足F(x,y)=0F(x,y)=0的x,yx,y感兴趣，该函数中就是单位圆，当且仅当ff定义域中的所有xx均满足F(x,f(x))=0F(x,f(x))=0 时，函数f(x)f(x)有解。显然ff形式肯定为f(x)=±1−x2−−−−−√f(x)=\pm\sqrt{1-x^2}，他们中有一个就是解，因此ff不一定是唯一的。给定(x0,y0)(x_0,y_0)满足F(x0,y0)=0F(x_0,y_0)=0，我们想知道是否我们能找到f(x)f(x)使得F(x,f(x))=0F(x,f(x))=0，ff在(x0,y0)(x_0,y_0)附近是可微且唯一的。如果x0≠±1x_0\neq\pm1，ff取合适的平方根那么就可以。给定的y0y_0确定所选择的平方根，如图1所示，点x=±1x=\pm1比较特殊有几个原因。首先ff在该处不可微，其次在x0=±1x_0=\pm1附近它不是唯一确定的，这些地方就是∂F/∂y=0\partial F/\partial y=0的地方，从而我们想要像∂F/∂y≠0\partial F/\partial y\neq0这样的条件来保证(至少是局部上)我们可以找到一个唯一的可以函数ff使得F(x,f(x))=0F(x,f(x))=0。

图1

一般情况下我们希望有一个函数F:Rn×Rm→RmF:R^n\times R^m\to R^m并且考虑关系F(x,y)=0F(x,y)=0，或者写成

F1(x1,…,xn,y1,…,ym)⋅⋅⋅Fm(x1,…,xn,y1,…,ym)==0⋅⋅⋅0

\begin{matrix} F_1(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m)&=&0\\ \cdot&&\cdot\\ \cdot&&\cdot\\ \cdot&&\cdot\\ F_m(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m)&=&0 \end{matrix}

我们想从这mm个方程中用x1,…,xnx_1,\ldots,x_n的形式求出mm个未知变量y1,…,ymy_1,\ldots,y_m。

定理如下。

定理2\textbf{定理2}(隐函数定理) 令A⊂Rn×RmA\subset R^n\times R^m是一个开集并且F:A→RmF:A\to R^m是CpC^p类函数(即FF有pp 阶连续导数，其中pp是一个正整数)。假设(x0,y0)∈A,F(x0,y0)=0(x_0,y_0)\in A,F(x_0,y_0)=0，

Δ=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂F1∂y1⋅⋅⋅∂Fm∂y1⋯⋯∂F1ym⋅⋅⋅∂Fmym∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

\Delta= \begin{vmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial y_1}&\cdots&\frac{\partial F_1}{y_m}\\ \cdot&&\cdot\\ \cdot&&\cdot\\ \cdot&&\cdot\\ \frac{\partial F_m}{\partial y_1}&\cdots&\frac{\partial F_m}{y_m} \end{vmatrix}

在(x0,y0)(x_0,y_0)处计算，其中F=(F1,…,Fm)F=(F_1,\ldots,F_m)。假设Δ≠0\Delta\neq 0，那么存在一个x0x_0的开邻域U⊂RnU\subset R^n与y0y_0的开邻域VV与唯一的函数f:U→Vf:U\to V，它对所有的x∈Ux\in U，满足

F(x,f(x))=0

更进一步，ff是CpC^p类。

实际上我们应该看出上面的定义可以从逆函数中推出，从上面的例子可以看出该定理的有效性以及限制条件Δ≠0\Delta\neq 0 的必要性，从方程F(x,f(x))=0F(x,f(x))=0中我们可以用链式法则确定DfDf。首先考虑m=1m=1的情况，那么根据链式法则

0=∂∂xiF(x,f(x))=∂F∂xi+∂F∂y∂f∂xi

0=\frac{\partial}{\partial x_i}F(x,f(x))=\frac{\partial F}{\partial x_i}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x_i}

所以我们得到一个重要的方程(注意负号)：

∂f∂xi=−∂F/∂xi∂F/∂y

\frac{\partial f}{\partial x_i}=-\frac{\partial F/\partial x_i}{\partial F/\partial y}

这里需要特别提醒一下，对于

(∂F/∂xi)(∂F/∂y)

\frac{(\partial F/\partial x_i)}{(\partial F/\partial y)}

不能够消去∂F\partial F得出∂y/∂xi\partial y/\partial x_i。

我们可以像上面那样形式化一般的解。

推论1\textbf{推论1} 在定理2中，∂fj/∂xi\partial f_j/\partial x_i形式为

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜∂f1∂x1⋅⋅⋅∂fm∂x1⋯⋯∂f1∂xn⋅⋅⋅∂fm∂xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=−⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜∂F1∂y1⋅⋅⋅∂Fm∂y1⋯⋯∂F1∂ym⋅⋅⋅∂Fm∂ym⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟−1⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜∂F1∂x1⋅⋅⋅∂Fm∂x1⋯⋯∂F1∂xn⋅⋅⋅∂Fm∂xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \cdot&&\cdot\\ \cdot&&\cdot\\ \cdot&&\cdot\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix} =- \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial y_1}&\cdots&\frac{\partial F_1}{\partial y_m}\\ \cdot&&\cdot\\ \cdot&&\cdot\\ \cdot&&\cdot\\ \frac{\partial F_m}{\partial y_1}&\cdots&\frac{\partial F_m}{\partial y_m} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial F_1}{\partial x_n}\\ \cdot&&\cdot\\ \cdot&&\cdot\\ \cdot&&\cdot\\ \frac{\partial F_m}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial F_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}

其中e−1e^{-1}表示逆矩阵。

该推论的证明与上面介绍的m=1m=1情况一样。

例1：\textbf{例1：}考虑方程组

xu+yv2xv3+y2u6=0=0

\begin{align*} xu+yv^2&=0\\ xv^3+y^2u^6&=0 \end{align*}

在x=0,y=1,u=0,v=0x=0,y=1,u=0,v=0附近用x,yx,y表示的u,vu,v解是唯一的吗？如果∂u/∂x\partial u/\partial x在x=0,y=1x=0,y=1处有解，那么求出该解。

解：\textbf{解：}这里我们有F(x,y,u,v)=0F(x,y,u,v)=0，其中FF表示给定方程的左半边，我们想看是否能求解u(x,y),v(x,y)u(x,y),v(x,y)，从而

Δ=∣∣∣∣∣∂F1∂u∂F2∂u∂F1∂v∂F2∂v∣∣∣∣∣=∣∣∣x6y2u52yv3xv2∣∣∣

\Delta= \begin{vmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial u}&\frac{\partial F_1}{\partial v}\\ \frac{\partial F_2}{\partial u}&\frac{\partial F_2}{\partial v} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x&2yv\\ 6y^2u^5&3xv^2 \end{vmatrix}

在给定的点处它等于0，隐函数定理告诉我们我们不能用x,yx,y唯一的求出u,vu,v。

to be continue……

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