漫步微积分三十五—

弧是介于曲线上两个特定点AA和点BB之间的一部分，如图1 左边所示。物理上，弧长是一个非常简单的概念。数学上，它是稍微有点复杂。从物理观点看，我们只是折弯了一根绳子来拟合从AA到BB的曲线，标记下对应的点AA和BB，将绳子伸直然后用尺子量出长度。

这一过程可以用如下的逼近过程(适合于数学处理)来解决。弧ABAB用点P0=A,P1,P−2,…,Pn=BP_0=A,P_1,P-2,\ldots,P_n=B分成nn部分；将针放在这些点上；让该线段沿着这些一个个短针得到的路径延伸。我们在图1右边用n=3n=3的情况说明了这个想法。A,BA,B之间的长度明显短于弧长，因为两个点之间直线最短。然而，如果我们采取更大的nn值，同时要求针之间放置的足够近，那么线的长度应该接近弧的长度。我们现在用数学语言表达它并推导出用积分计算弧长的实用方法。

图1

假设下面讨论的弧是连续函数y=f(x)y=f(x)的在区间a≤x≤ba\leq x\leq b上的图像。我们将区间[a,b][a,b]分成nn个子区间，用点x0=a,x1,…,xk−1,xk,…,xn=bx_0=a,x_1,\ldots,x_{k-1},x_k,\ldots,x_n=b标记出来如图2所示。令PkP_k 表示点(xk,yk)(x_k,y_k)，其中yk=f(xk)y_k=f(x_k)。多边路径P0P1⋯Pk−1Pk⋯PnP_0P_1\cdots P_{k-1}P{k}\cdots P_{n}的总长度是每个点之间弦长的长度和。如果我们写成

Δxk=xk−xk−1andΔyk=yk−yk−1k=1,2,…,n

\Delta x_k=x_k-x_{k-1}\quad and\quad \Delta y_k=y_k-y_{k-1}\quad k=1,2,\ldots,n

那么利用毕达哥拉斯定理得

length of kth chord=(Δxk)2+(Δyk)2−−−−−−−−−−−−−√=[1+(Δyk)2(Δxk)2](Δxk)2−−−−−−−−−−−−−−−−−⎷=1+(ΔykΔxk)2−−−−−−−−−−−√Δxk(1)

\begin{align} {\rm{length\ of\ kth\ chord}} &=\sqrt{(\Delta x_k)^2+(\Delta y_k)^2}\nonumber\\ &=\sqrt{\left[1+\frac{(\Delta y_k)^2}{(\Delta x_k)^2}\right](\Delta x_k)^2}\nonumber\\ &=\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_k}{\Delta x_k}\right)^2}\Delta x_k\tag1 \end{align}

现在我们假设函数y=f(x)y=f(x)不仅连续而且可导。那么我们就能用xk−1,xkx_{k-1},x_k 之间某点x∗kx_k^*处的导数值代替根号下的比值(也就是连接Pk−1,PkP_{k-1},P_k之间弦长的斜率)

ΔykΔxk=f′(x∗k)xk−1<x∗k<xk

\frac{\Delta y_k}{\Delta x_k}=f'(x_k^*)\quad x_{k-1}

这一步是基于这个事实：弦平行于曲线Pk−1,PkP_{k-1},P_k之间某点的切线。所以我们能将(1)写成

length of kth chord=1+[f′(x∗k)]2−−−−−−−−−−√Δxk

{\rm{length\ of\ kth\ chord}} =\sqrt{1+[f'(x_k^*)]^2}\Delta x_k

所以总长度为

∑k=1n1+[f′(x∗k)]2−−−−−−−−−−√Δxk(2)

\begin{equation} \sum_{k=1}^n\sqrt{1+[f'(x_k^*)]^2}\Delta x_k\tag2 \end{equation}

现在我们用这些和的极限形式得出了结论，当nn趋于无穷大时，最长子区间的长度接近零：

length of arc AB=limmaxΔxk→0∑k=1n1+[f′(x∗k)]2−−−−−−−−−−√Δxk=∫ba1+[f′(x)]2−−−−−−−−−√dx(3)

\begin{align} {\rm length\ of\ arc\ AB} &=\lim_{{\rm max\Delta x_k\to 0}}\sum_{k=1}^n\sqrt{1+[f'(x_k^*)]^2}\Delta x_k\nonumber\\ &=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx\tag3 \end{align}

因为f′(x)f'(x)是连续的，所以它的积分存在。

首先，公式(3)不太好记。然而，如果我们用莱布尼兹符号dy/dxdy/dx代替f′(x)f'(x)，那么下面直觉的方法将令这个公式更加掌握和记忆。让ss表示从AA 到曲线上某个变化点的弧长，如图3所示。ss可以由一个很小的增量dsds使得dsds是弧长的微分元素，dx,dydx,dy分别是x,yx,y对应的变化量。我们将dsds看做非常小，小到这段曲线几乎是直的，因此dsds是直角三角形(称为微分三角形)的斜边。根据毕达哥拉斯定理得

ds2=dx2+dy2(4)

\begin{equation} ds^2=dx^2+dy^2\tag4 \end{equation}

这个简单的方程是计算弧长所有智慧的根源。如果我们求解(4)，因子dx2dx^2提出来并移到根号外得

ds=dx2+dy2−−−−−−−−√=(1+dy2dx2)dx2−−−−−−−−−−−−−√=(1+dy2dx2)−−−−−−−−−√dx(5)

\begin{align} ds &=\sqrt{dx^2+dy^2}\nonumber\\ &=\sqrt{\left(1+\frac{dy^2}{dx^2}\right)dx^2}=\sqrt{\left(1+\frac{dy^2}{dx^2}\right)}dx\tag5 \end{align}

图2

弧ABAB的总长度可以看做所有弧元素dsds从AA到BB的总和- 或积分。利用(5) 可以得出

length of arc AB=∫ds=∫ba(1+dy2dx2)−−−−−−−−−√dx(6)

\begin{equation} {\rm length\ of\ arc\ }AB=\int ds=\int_a^b\sqrt{\left(1+\frac{dy^2}{dx^2}\right)}dx\tag6 \end{equation}

也就是(3)。这个公式告诉我们xx是积分变量，yy可以看做xx的函数。然而，有时候用yy表示积分变量，将xx看做yy 的函数会更加方便。在这种情况下(5) 可以换为

ds=dx2+dy2−−−−−−−−√=(dx2dy2+1)dy2−−−−−−−−−−−−√=(dx2dy2+1)−−−−−−−−−√dy(7)

\begin{align} ds &=\sqrt{dx^2+dy^2}\nonumber\\ &=\sqrt{\left(\frac{dx^2}{dy^2}+1\right)dy^2}=\sqrt{\left(\frac{dx^2}{dy^2}+1\right)}dy\tag7 \end{align}

因为yy是积分变量，弧长ABAB的积分是

∫ds=∫dc(dx2dy2+1)−−−−−−−−−√dy(8)

\begin{equation} \int ds=\int_c^d\sqrt{\left(\frac{dx^2}{dy^2}+1\right)}dy\tag8 \end{equation}

有时候它比(6)计算更加简单。

例：求出曲线y2=4x3y^2=4x^3在点(0,0) 和(2,42√)(2,4\sqrt{2}) 之间的弧长。

解：曲线如图4所示

图3

图4

问题中的弧指的是第一象限的曲线，如果我们求解yy，那么得到

y=2x3/2sodydx=3x1/2

y=2x^{3/2}\quad so\quad \frac{dy}{dx}=3x^{1/2}

那么公式(6)变为

length of arc =∫201+9x−−−−−√=dx=19∫20(1+9x)1/29dx=19⋅23(1+9x)3/2∣∣20=227(1919−−√−1)

\begin{align*} {\rm length\ of\ arc\ } &=\int_0^2\sqrt{1+9x}=dx=\frac{1}{9}\int_0^2(1+9x)^{1/2}9dx\\ &=\frac{1}{9}\cdot \frac{2}{3}(1+9x)^{3/2}\Big|_0^2=\frac{2}{27}(19\sqrt{19}-1) \end{align*}

对这种计算应该提出一个警告，当我们尝试求解任何熟悉曲线的弧长时，因为(6)中有平方根，所以我们可以无法求出积分。目前，我们是为了能够计算出积分，仔细选择了我们的问题。但这也同时让我们意识到我们迫切需要更多的积分方法。我会在下三篇文章中说明。

注解1：存在这样的例子，在a≤x≤ba\leq x\leq b 上曲线y=f(x)y=f(x) 连续，但是没有长度。这个令人吃惊的事实表明弧长的基本理论比我们想象的要复杂得多。我们的讨论都需要假定函数y=f(x)y=f(x)有连续的导数。这种曲线称为光滑曲线，并且”弧”一词通常意味着限制曲线有这种属性。一条光滑曲线在几何上通常描述为”连续的转向切线”。

注解2：一些学生对方程(4)和(5)可能存在这样的印象(他们互相等效)他们是近似解，大概正确，因为微分三角形只是“准三角”，实际所谓的斜边不是一条真正的直线段。可事实不是这样的，这些方程完全正确。我们知道(3)是有效的，所以图3中的弧长ss可以写成

s=∫xa1+[f′(t)]2−−−−−−−−−√dt

s=\int_a^x\sqrt{1+[f'(t)]^2}dt

用tt表示积分变量。很明显ss是积分上限为xx的函数，我们计算它的导数得

dsdx=1+[f′(x)]2−−−−−−−−−√=1+(dydx)2−−−−−−−−−√

\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+[f'(x)]^2}=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}

和等式(5)等价。

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