漫步数学分析三十—

对单变量函数f:(a,b)→Rf:(a,b)\to R，我们称ff在x0∈(a,b)x_0\in(a,b)处可微，如果极限

f′(x0)=limh→0f(x0+h)−f(x0)h

f^\prime(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

存在。我们也将f′(x)f^\prime(x)写成df/dxdf/dx。等价地，我们可以将上面的公式写成

limh→0f(x0+h)−f(x0)−f′(x0)hh=0

\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-f^\prime(x_0)h}{h}=0

即

limx→x0f(x)−f(x0)−f′(x0)(x−x0)x−x0=0

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-f^\prime(x_0)(x-x_0)}{x-x_0}=0

或者

limx→x0|f(x)−f(x0)−f′(x0)(x−x0))||x−x0|=0

\lim_{x\to x_0}\frac{|f(x)-f(x_0)-f^\prime(x_0)(x-x_0))|}{|x-x_0|}=0

f′(x)f^\prime(x)表示ff图像在点(x0,f(x0))(x_0,f(x_0))处切线的斜率，如图1

图1

为了将这概念推广到映射f:A⊂Rn→Rmf:A\subset R^n\to R^m上，我们做出下面的定义。

定义1\textbf{定义1} 映射f:A⊂Rn→Rmf:A\subset R^n\to R^m在x0∈Ax_0\in A处可微，如果存在一个线性函数，我们用Df(x0):Rn→RmDf(x_0):R^n\to R^m表示并称为ff在x0x_0处的导数，使得

limx→x0∥f(x)−f(x0)−Df(x0)(x−x0)∥∥x−x0∥=0

\lim_{x\to x_0}\frac{\Vert f(x)-f(x_0)-Df(x_0)(x-x_0)\Vert}{\Vert x-x_0\Vert}=0

这里，Df(x0)(x−x0)Df(x_0)(x-x_0)表示线性映射Df(x0)Df(x_0)与向量x−x0∈Rnx-x_0\in R^n得到的值，所以Df(x0)(x−x0)∈RmDf(x_0)(x-x_0)\in R^m。以后对于Df(x0)(h)Df(x_0)(h)我们写成Df(x0)⋅hDf(x_0)\cdot h。(因为我们用∥x−x0∥\Vert x-x_0\Vert去除，所以我们取极限的时候排除x=x0x=x_0)

更明确一点就是，对于每个ε>0\varepsilon>0，存在一个δ>0\delta>0使得x∈A,∥x−x0∥<δx\in A,\Vert x-x_0\Vert意味着

∥f(x)−f(x0)−Df(x0)(x−x0)∥≤ε∥x−x0∥

\Vert f(x)-f(x_0)-Df(x_0)(x-x_0)\Vert\leq\varepsilon\Vert x-x_0\Vert

在这个公式中我们可以取x=x0x=x_0，这时候两边都化简为零。

直观上，x↦f(x0)+Df(x0)(x−x0)x\mapsto f(x_0)+Df(x_0)(x-x_0)是ff在点x0x_0 附近最佳的仿射近似(仿射映射是线性映射加常数)，如图2。在图中我们标明了ff图像的切线或切平面方程。

图2

如果ff在AA的各点均可微，我们就说ff在AA上可微。直观上来说就是只有一个最佳线性近似(如图???\ref{fig:6-2})，如果AA是一个开集，那么这个事实就是真的，如果我们比较Df(x),df/dx=f′(x)Df(x),df/dx=f^\prime(x)的定义，那么我们可以看到Df(x)(h)=f′(x)⋅hDf(x)(h)=f^\prime(x)\cdot h。

定理1\textbf{定理1} 令AA是RnR^n中的开集并且假设f:A→Rmf:A\to R^m在x0x_0处可微，那么Df(x0)Df(x_0)是由ff唯一确定。

例1：\textbf{例1：}令f:R→R,f(x)=x3f:R\to R,f(x)=x^3，计算Df(x),df/dxDf(x),df/dx。

解：\textbf{解：}从基本微积分只是可知dx3/dx=3x2dx^3/dx=3x^2，那么在这个例子中Df(x)Df(x)是线性映射

h↦Df(x)⋅h=3x2h

h\mapsto Df(x)\cdot h=3x^2h

例2：\textbf{例2：}说明一般而言，DfDf不是唯一确定的。

解：\textbf{解：}例如，如果A={x0}A=\{x_0\}是单点，那么任何Df(x0)Df(x_0)都满足条件，因为x∈Ax\in A，那么只有x=x0x=x_0时∥x−x0∥<δ\Vert x-x_0\Vert才成立，而这时表达式

∥f(x)−f(x0)−Df(x0)(x−x0)∥

\Vert f(x)-f(x_0)-Df(x_0)(x-x_0)\Vert

的值是零。

注意：如果有人看定理1证明的话，将会看出Df(x)Df(x)在大于开集的集合中依然是唯一的(假设它存在)，例如该定理对于RR上的闭区间或RnR^n中的邻域均有效。

接下来我们回顾一下单变量函数微分的一些基本事实，尤其是逻辑上是如何导出重要的均值定理的，之后我们会将这些想法推广到多变量函数上。

事实1\textbf{事实1} 如果f:(a,b)→Rf:(a,b)\to R在点c∈(a,b)c\in(a,b)处可微且ff在cc点有最大值(或者最小值)，那么f′(c)=0f^\prime(c)=0。

证明：\textbf{证明：}令ff在cc处有最大值，那么对于h≥0,[f(c+h)−f(c)]/h≤0h\geq0,[f(c+h)-f(c)]/h\leq 0，因此令h→0,h≥0h\to 0,h\geq0，我们可以得出f′(c)≤0f^\prime(c)\leq0。同样地对于h≤0h\leq0，我们可以得出f′(c)≥0f^\prime(c)\geq0，因此f′(c)=0f^\prime(c)=0。||||

上面这个结论几何上非常直观。

事实2\textbf{事实2}(罗尔定理) 如果f:[a,b]→Rf:[a,b]\to R是连续的，ff在(a,b)(a,b)上可导并且f(a)=f(b)=0f(a)=f(b)=0，那么存在一个数c∈(a,b)c\in(a,b)使得f′(c)=0f^\prime(c)=0。

证明：\textbf{证明：}如果对于所有的x∈[a,b],f(x)=0x\in[a,b],f(x)=0，那么我们可以任意选择一个数做为cc，所以我们假设ff不恒等于令，根据前面学到的内容可知，存在点c1c_1使得ff得到最大值，存在点c2c_2使得ff得到最小值。根据我们的假设以及事实f(a)=f(b)=0,c1,c2f(a)=f(b)=0,c_1,c_2中至少存在一个点位于(a,b)(a,b) 中。如果c1∈(a,b)c_1\in(a,b)，那么我们利用事实1可得f′(c1)=0f^\prime(c_1)=0；c2c_2同样如此。||||

事实3\textbf{事实3}(均值定理) 如果f:[a,b]→Rf:[a,b]\to R是连续的且在(a,b)(a,b)上可导，那么存在点c∈(a,b)c\in(a,b)使得f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)f(b)-f(a)=f^\prime(c)(b-a)。

证明：\textbf{证明：}令φ(x)=f(x)−f(a)−(x−a)[f(b)−f(a)]/(b−a)\varphi(x)=f(x)-f(a)-(x-a)[f(b)-f(a)]/(b-a)(如图???\ref{fig:6-3}) 并应用罗尔定理。||||

推论\textbf{推论} 如果(a,b)(a,b)上f′=0f^\prime=0，那么ff是常数。

证明：\textbf{证明：}应用事实3到[a,x][a,x]的ff上可以得到f(x)−f(a)=f′(c)(x−a)=0f(x)-f(a)=f^\prime(c)(x-a)=0，所以对于所有的x∈[a,b],f(x)=f(a)x\in[a,b],f(x)=f(a)，因此ff是常数。

例3：\textbf{例3：}令f:(a,b)→Rf:(a,b)\to R是可微的且|f′(x)|≤M|f^\prime(x)|\leq M，证明对所有的x,y∈(a,b),|f(x)−f(y)|≤M|x−y|x,y\in(a,b),|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|。

解：\textbf{解：}根据均值定理，存在某个c∈(x,y)c\in(x,y)使得

f(x)−f(y)=f′(c)(x−y)

f(x)-f(y)=f^\prime(c)(x-y)

然后取绝对值就得出所要的结论。

图3

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