漫步数学分析三十五—

我们现在考虑两个非常重要的定理，也就是均值定理与泰勒(Taylor)定理。首先，我们考虑均值定理，我们先回顾一下基本微积分中的均值定理，如果 f:[a,b]→R f:[a,b]\to R是连续的，在 (a,b) (a,b)上可微，那么存在点 c∈(a,b) c\in(a,b)使得 f(b)−f(a)=f′(c)(b−a) f(b)-f(a)=f^\prime(c)(b-a)，其中 f′=df/dx f^\prime=df/dx。

不幸的是，对于 f:A⊂Rn→Rm f:A\subset R^n\to R^m而言，这个均值定理不为真。例如考虑 f:R→R2 f:R\to R^2，其定义为 f(x)=(x2,x3) f(x)=(x^2,x^3)，我们现在试着找出 c c使得0≤c≤10\leq c\leq 1并且 f(1)−f(0)=Df(c)(1−0) f(1)-f(0)=Df(c)(1-0)，这就意味着 (1,1)−(0,0)=(2c,3c2) (1,1)-(0,0)=(2c,3c^2)，从而 2c=1,3c2=1 2c=1,3c^2=1，很显然不存在满足这些等式的 c c。

经验启发我们应该还需要一些限制条件，这样的话为了使得上面的版本正确，ff必须是实值函数，为了得到正确的定理我们首先精确定义对 c,x,y∈Rn c,x,y\in R^n而言 c c在x,yx,y之间是什么意思。

我们说 c c位于连接x,yx,y的线段上或在 x,y x,y之间，如果存在 0≤λ≤1 0\leq\lambda\leq1使得 c=(1−λ)x+λy c=(1-\lambda)x+\lambda y，如图1

图1

定理7 \textbf{定理7}
(i) \textrm{(i)}假设 f:A⊂Rn→R f:A\subset R^n\to R在开集 A A上可微，对于使得x,yx,y之间的线段位于 A A中的任意x,y∈Ax,y\in A，存在点 c c位于那条线段上使得

f(y)−f(x)=Df(c)(y−x)

f(y)-f(x)=Df(c)(y-x)

(ii) \textrm{(ii)}假设 f:A⊂Rn→Rm f:A\subset R^n\to R^m在开集 A A上可微，假设连接x,yx,y的线段位于 A A中并且f=(f1,…,fm)f=(f_1,\ldots,f_m)，那么在那条线段上存在点 c1,…,cm c_1,\ldots,c_m使得

fi(y)−fi(x)=Dfi(ci)(y−x),i=1,…,m

f_i(y)-f_i(x)=Df_i(c_i)(y-x),\quad i=1,\ldots,m

例1： \textbf{例1：}对于集合 A⊂Rn A\subset R^n，如果对每个 x,y∈A x,y\in A，连接他们的线段也位于 A A中，那么该集合称为凸集，如图???\ref{fig:6-12}所示。令 A⊂Rn A\subset R^n是开凸集并且 f:A→Rm f:A\to R^m是可微的，如果 Df=0 Df=0，那么说明 f f是常数。

解：\textbf{解：}对于 x,y∈A x,y\in A，对于每个元素 fi f_i，我们有向量 ci c_i使得

fi(y)−fi(x)=Dfi(ci)(y−x)

f_i(y)-f_i(x)=Df_i(c_i)(y-x)

因为对于每个 i,Df=0,Dfi=0 i,Df=0,Df_i=0所以 fi(y)=fi(x) f_i(y)=f_i(x)，从而 f(y)=f(x) f(y)=f(x)，这就意味着 f f是常数。

图2

例2：\textbf{例2：}假设 f:[0,∞]→R f:[0,\infty]\to R是连续的， f(0)=0 f(0)=0， f f在(0,∞)(0,\infty)上可微且 f′ f^\prime是非减的，证明对于 x>0 x>0而言 g(x)=f(x)/x g(x)=f(x)/x是非减的。

解： \textbf{解：}从均值定理我们可以看出如果函数 h h的h′(x)≥0h^\prime(x)\geq 0，那么 h h是非减的，因为x≤yx\leq y意味着

h(y)−h(x)=h′(c)(y−x)≥0

h(y)-h(x)=h^\prime(c)(y-x)\geq0

接下来

g′(x)=xf′(x)−f(x)x2

g^\prime(x)=\frac{xf^\prime(x)-f(x)}{x^2}

并且

f(x)=f(x)−f(0)−f′(c)⋅x≤xf′(x)

f(x)=f(x)-f(0)-f^\prime(c)\cdot x\leq xf^\prime(x)

因为 0<c<x,f′(x)≥f′(c) 0，从而 xf′(x)−f(x)≥0 xf^\prime(x)-f(x)\geq 0，所以 g′≥0 g^\prime\geq0，这就意味着 g <script type="math/tex" id="MathJax-Element-3542">g</script>是非减的。

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