漫步数学分析三十二——可微映射的连续性

对于单变量实值函数而言，f:(a,b)→Rf:(a,b)\to R在x0x_0处可微，那么

limx→x0(f(x)−f(x0))=limx→x0(f(x)−f(x0)x−x0)⋅(x−x0)=f′(x0)⋅limx→x0(x−x0)=f′(x0)⋅0=0

\begin{align*} \lim_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0)) &=\lim_{x\to x_0}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)\cdot(x-x_0)\\ &=f^\prime(x_0)\cdot\lim_{x\to x_0}(x-x_0)=f^\prime(x_0)\cdot0=0 \end{align*}

所以limx→x0(f(x)−f(x0))=0\lim_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0))=0，这就意味着ff在x0x_0处连续。

这些想法可以推广到更一般的情况：f:A⊂Rn→Rmf:A\subset R^n\to R^m，从而引出下面的定理。

定理3\textbf{定理3} 假设A⊂RnA\subset R^n是开集且f:A→Rmf:A\to R^m在AA上可微，那么ff是连续的。事实上，对于每个x0∈Ax_0\in A存在一个常数M>0,δ0>0M>0,\delta_0>0使得∥x−x0∥<δ0\Vert x-x_0\Vert意味着∥f(x)−f(x0)∥≤M∥x−x0∥\Vert f(x)-f(x_0)\Vert\leq M\Vert x-x_0\Vert。(这就是利普希茨(Lipschitz)性质)

前面我们讨论的都是实值函数的特殊情况，f:Rn→Rf:R^n\to R，函数c:R→Rmc:R\to R^m也是重要的，这里的cc表示RmR^m中的曲线或路径，这种情况下Dc(t):R→RmDc(t):R\to R^m 用向量

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜dc1dt⋅⋅⋅dcmdt⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

\begin{pmatrix} \frac{dc_1}{dt}\\ \cdot\\ \cdot\\ \cdot\\ \frac{dc_m}{dt} \end{pmatrix}

表示，其中c(t)=(c1(t),…,cm(t))c(t)=(c_1(t),\ldots,c_m(t))。这个向量用c′(t)c^\prime(t)表示并称为曲线的切向量或速度向量，如果注意到c′(t)=limh→0(c(t+h)−c(t))/hc^\prime(t)=\lim_{h\to 0}(c(t+h)-c(t))/h并利用事实：[c(t+h)−c(t)]/h[c(t+h)-c(t)]/h是近似曲线切线的一条弦，那么我们将看到c′(t)c^\prime(t)应该表示精确的且向量(如图1)。用移动的质点来说的话，(c(t+h)−c(t))/h(c(t+h)-c(t))/h 是速度的近似，因为它是位移/时间，所以c′(t)c^\prime(t)是瞬时速度。

严格来讲我们应该讲c′(t)c^\prime(t)表示成列向量，因为矩阵Dc(t)Dc(t)矩阵是一个3×13\times 1矩阵。然而这样的话排版比较麻烦，所以我们以后写c′(t)c^\prime(t)时表示行向量。

例1：\textbf{例1：}证明f:R→R,x↦|x|f:R\to R,x\mapsto|x|是连续的但在0处不可微。

解：\textbf{解：}对于x≥0,f(x)=xx\geq0,f(x)=x，对于x<0,f(x)=−xx，所以ff在(0,∞),(−∞,0)(0,\infty),(-\infty,0)上是连续的。因为limx→0f(x)=0=f(0)\lim_{x\to 0}f(x)=0=f(0)，那么ff在0处也是连续的，所以ff在所有点处均连续。最后，ff在0处不可微，因为如果可微的话，那么

limx→0f(x)−f(0)x−0=limx→0f(x)x

\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}

将会存在，但是当x>0x>0时，f(x)/xf(x)/x为+1，当x<0x时，f(x)/xf(x)/x为-1，从而极限不可能存在。

图1

例2：\textbf{例2：}函数的导数一定连续吗？

解：\textbf{解：}答案为否，但是实例不是很明显。也许最简单的例子是

f(x)={x2sin(1x),0,x≠0x=0

f(x)= \begin{cases} x^2\sin(\frac{1}{x}),&x\neq 0\\ 0,&x=0 \end{cases}

如图2所示。

为了证明零处不可微，我们需要说明

当x→0时,f(x)x→0

\text{当}x\to 0\text{时},\frac{f(x)}{x}\to 0

事实上，当x→0x\to 0时|f(x)/x|=|xsin(1/x)|≤|x|→0|f(x)/x|=|x\sin(1/x)|\leq|x|\to 0，从而f′(0)f^\prime(0)存在且是零，故ff在0处可微。接下来，根据基本微积分内容

f′(x)=2xsin(1x)−cos(1x),x≠0

f^\prime(x)=2x\sin\left(\frac{1}{x}\right)-\cos\left(\frac{1}{x}\right),\quad x\neq 0

当x→0x\to 0时第一项→0\to 0但是第二项在+1,−1+1,-1之间震荡，所以limx→0f′(x)\lim_{x\to 0}f^\prime(x)不存在，从而f′f^\prime存在但是不连续。

图2

例3：\textbf{例3：}令 c(t)=(t2,t,sint)c(t)=(t^2,t,\sin t)，找出 c(t)c(t)在点 c(0)=(0,0,0)c(0)=(0,0,0)处的切向量。

解：\textbf{解：}c′(t)=(2t,1,cost)c^\prime(t)=(2t,1,\cos t)，令t=0,c′(0)=(0,1,1)t=0,c^\prime(0)=(0,1,1)，即c(t)c(t)在点(0,0,0)(0,0,0)处的切向量。

漫步数学分析三十二——可微映射的连续性相关推荐

漫步数学分析三十八——反函数定理
注意Jf(x)≠0Jf(x)\neq0意味着Df(x):Rn→RnDf(x):R^n\to R^n是线性同构(即它的矩阵是可逆的),从而根据事实:最佳线性近似是可逆的,我们想得出函数本身是可逆的. 然 ...
漫步数学分析三十——导数的定义
对单变量函数f:(a,b)→Rf:(a,b)\to R,我们称ff在x0∈(a,b)x_0\in(a,b)处可微,如果极限 f′(x0)=limh→0f(x0+h)−f(x0)h f^\prime(x ...
漫步最优化三十二——最速下降法
爱需要勇气,\textbf{爱需要勇气,} 但是也许是天意,\textbf{但是也许是天意,} 让我爱上你,\textbf{让我爱上你,} 也许轮回里早已注定,\textbf{也许轮回里早已注定,} ...
漫步数学分析三十五——乘法法则与梯度
微分中另一个有名的法则是乘法法则或莱布尼兹法则. 定理6\textbf{定理6} 令A⊂RnA\subset R^n是开集,f:A→Rm,g:A→Rf:A\to R^m,g:A\to R是可微函数,那 ...
漫步数学分析三十四——链式法则
求导中最重要的一个方法是链式法则,例如为了求(x3+3)6(x^3+3)^6的导数,我们令y=x3+3y=x^3+3,首先求y6y^6的导数,得到6y56y^5,然后乘以x3+3x^3+3的导数得到最 ...
漫步数学分析三十九——隐函数定理
假设x,yx,y被方程F(x,y)=0F(x,y)=0关联起来,我们会说这定义了一个函数y=f(x)y=f(x)(或者说隐式定义了y=f(x)y=f(x)),然后打算计算dy/dxdy/dx.前面已经 ...
漫步数学分析三十五——均值定理
我们现在考虑两个非常重要的定理,也就是均值定理与泰勒(Taylor)定理.首先,我们考虑均值定理,我们先回顾一下基本微积分中的均值定理,如果 f:[a,b]→R f:[a,b]\to R是连续的,在 ...
漫步数理统计三十二——中心极限定理
如果X1,X2,-,XnX_1,X_2,\ldots,X_n是均值为μ\mu,方差为σ2\sigma^2正态分布的随机样本,那么对任意正整数nn,随机变量 ∑n1Xi−nμσn‾‾√=n‾‾√(X¯n ...
axi dma 寄存器配置_FPGA Xilinx Zynq 系列（三十二）AXI 接口
大侠好,欢迎来到FPGA技术江湖,江湖偌大,相见即是缘分.大侠可以关注FPGA技术江湖,在"闯荡江湖"."行侠仗义"栏里获取其他感兴趣的资源,或者一起煮酒言欢. ...

漫步数学分析三十二——可微映射的连续性

漫步数学分析三十二——可微映射的连续性相关推荐

最新文章

热门文章