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预备知识　矢量的叉乘

证明 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{C}} ) = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} $

图 1：把 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} , \boldsymbol{\mathbf{C}} , \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 投影到与 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 垂直的平面上

首先令

\begin{equation}

\boldsymbol{\mathbf{D}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{C}}

\end{equation}

把矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} , \boldsymbol{\mathbf{C}} , \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 在与矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 垂直的平面上投影，分别得到 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} ', \boldsymbol{\mathbf{C}} ', \boldsymbol{\mathbf{D}} '$．显然，$ \boldsymbol{\mathbf{D}} '= \boldsymbol{\mathbf{B}} '+ \boldsymbol{\mathbf{C}} '$．

现在先证明

\begin{equation}

\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} '

\end{equation}

这是叉乘的一个基本的性质．首先，

根据叉乘的几何定义，$ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 与

$ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} '$ 的方向相同．另外

\begin{equation}

\left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert \sin{\theta_{AB}} = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{B}} ' \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ' \right\rvert

\end{equation}

所以二者模长也相等，证毕．

同理有

\begin{equation}

\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} '

\end{equation}

\begin{equation}

\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{D}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{D}} '

\end{equation}

所以，要证明

\begin{equation}

\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{D}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}}

\end{equation}

只需要证明

\begin{equation}

\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{D}} ' = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ' + \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} '

\end{equation}

即可．

由于 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} ', \boldsymbol{\mathbf{C}} ', \boldsymbol{\mathbf{D}} '$ 都与 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 垂直，所以 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 与之叉乘的效果相当于 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} ', \boldsymbol{\mathbf{C}} ', \boldsymbol{\mathbf{D}} '$ 的模长分别乘以 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert $，且绕 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 逆时针分别旋转 $90^\circ$．所以上式就是在说，若已知 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} ' + \boldsymbol{\mathbf{C}} ' = \boldsymbol{\mathbf{D}} '$，那么把它们分别乘以常数并旋转 $90^\circ$ 后这个加法仍然成立．这是显然的．证毕．

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