背景简介

在学习数论相关知识的时候，对最大公因数计算相关规律有些不熟悉，在做题的时候一些看似明显的定理或规律没有办法进行明确的应用。在做一道证明题的过程中，思路受到math.stackexchange上相关问题及讨论的启发，在此记录证明的思路以及关于最大公因数GCD的两个重要规律。

题目为：证明如果a,b,c是互素且非零的整数，那么(ab,c)=(a,c)(b,c)
这里认为题目中的互素应该指的是三个数互素，即(a,b,c)=1，而非两两互素，两两互素易证

【注：(a,b)为gcd(a,b)的简写】

在此提前说明，以下两条规律考虑的对象是非零整数。

分配律 Distributive Law

(am,bm)=(a,b)m

证明：设d=(a,b)，则存在整数 s、t 使得 sa+tb=d对上式两边同乘m，得到：s(am)+t(bm)=dm令d'=(am,bm)，则有：d'|dm又由d=(a,b)知d|a且d|b，故有dm|am.dm|bm，此时有：dm|d'因此d'=dm，得证

结合律 Associative Law

(a,b,c)=((a,b),c)

证明：设d=(a,b)，有d|a且d|b，同时对任何其他整数f满足f|a、f|b的，都有f|d记x=(a,b,c)，那么x|a、x|b、x|c，满足上述条件，故有x|d又因x|c，所以有x|(d,c)，即x|((a,b),c)类似地，记y=((a,b),c)，可得y|(a,b)且y|c，即满足：y|a、y|b、y|c那么有y|(a,b,c)x=(a,b,c) | ((a,b),c)，y=((a,b),c) | (a,b,c)，得证

简单应用（完成题目证明）

基于以上两条规律，进行题设的证明：

证明：(a,c)(b,c)=(a(b,c),c(b,c))            -- via Distributive Law=((ab,ac),(bc,cc))      -- via Distributive Law=(ab,ac,bc,cc)          -- via Associative Law=(ab,(ac,bc,cc))         -- via Associative Law=(ab,c(a,b,c))           -- via Distributive Law由题设知(a,b,c)=1，故：原式=(ab,c)得证

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