上面两点下面一个三角形_一个调和线束的证明
网友“Ifwjo”在2020年7月19号在一个QQ群里发了如下问题.
问题:给定
本文就这个问题展开讨论,并给出其证明.(顺便给出2020.08.02《我们爱几何》问题的命题思路)
1.Prasolov点及其等角共轭点
Prasolov点时常作为
定义1.1:
顺便为了接下来叙述方便,我们再定义出Euler线与外接圆的两个交点.
定义1.2:设外心为
定义1.3:对Euler线上的点
本文中将用到
定理1.1:
证明参见 位似专题小剧场——例 5.1(v) 的解答 .为证明第二个定理,先叙述一个引理.
引理1.1:给定
引理1.1的证明:考虑
定理1.2:
定理1.2的证明:设垂三角形为
2.主要引理以及问题的转化
引理2.1:对于任意双曲线
引理2.1的证明:任取
回忆等轴双曲线的充要条件,我们有如下定理.
定理2.1:给定等轴双曲线
证明不再赘述.这二者结合可以得到如下引理.
引理2.2:考虑
引理2.2的证明: 注意到
我们下面就可以处理原问题中的
定义2.1:定义Euler线上的射影变换
容易验证
注意到
问题2.1:证明
下一节我们给出其证明.
3.问题2.1的证明
回忆对于任意一点
定理3.1:设
定理3.1的证明:设
注3.1:这个定理也可以利用一点的Ceva三角形的中点三角形与原三角形的透视中心为其等截共轭点的补点这个事实来证明.
注3.2:利用引理2.2的简单变体也可以直接证明由我命制的《我们爱几何》公众号在2020.08.02推送的问题:“
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