无理数存在性的几何证明

大家知道毕达哥拉斯的名字，是由于那个尽人皆知的定理，这个定理在中国被叫做勾股定理，但很多人不知道以他命名的学派，更不知道这个学派中曾经发生的一个重要事件，这个事件就是无理数的发现。无理数的发现引发了数学上的异常重要风波，它被称为第一次数学危机，而它的发现者也因为破坏了学派创始人的信仰，被残酷的抛入大海。本文准备用图形化的方式，介绍一个例子，来说明无理数存在的合理性。

由于受到当时哲学的影响，毕达哥拉斯学派认为世界的物质是由"原子”构成的，这里的原子并不是我们现代意义上的原子，基于这一看法，它们提出了一条公设.,这个公设断言：

任意两条直线段均有公度

更具体的说，若 $a$ 与 $b$ 为任意两条直线段的长度，则存在一条直线，其长度为 $d$ ,使得

$a=md$

$b= nd$

所以:

$a=\frac{m}{n}b$

通过公倍操作，总可以有办法，使m,n是正整数，如下图所示：

如果把

$\frac{1}{n}b$

看作单位长度,它就是我们要找到公度长度，n个单位长度就是b,而m个单位长度就是a.

这个过程怎么看怎么像用辗转相除法取最大公约数的过程。注意，这里的整数条件很重要，后面几何证明的时候，要用到这个条件推出矛盾。

也就是说，毕达哥拉斯学派认为：对于任何两个直线段长度，都存在一个长度，在两个线段上都可以放置整数次，所以线段之比可以用整数之比来表示，但是无理数发现者说不，存在不可通约的量，在这种情况下，你找不到一个公度长度量，使两个长度都是公度量的整数倍。

无理数存在的例子：

看下面的等腰直角三角形 $\Delta ABC$ ,当然我们现在知道 $AB=\sqrt{2}BC$ ,因为 $\sqrt{2}$ 是无理数，所以 $\frac{AB}{BC}$ 是不可通约量，不能由有理数分式表示，但是现在，我们假设不知道这个前提，也不知道勾股定理，看能推导出什么。

$a,b,c$ 分别表示角对应对边的长度，证明 $\frac{AB}{BC}$ 不可通约，也就是证明 $\frac{c}{a}$ 不可通约，用反证法，假设存在一个通约量 $d$ ，使

$\\c=md \\ a=nd$

则

$\frac{AB}{BC}=\frac{md}{nd}=\frac{m}{n}$

如果存在通约量d,不管它是整数还是小数，我们总能找到m,n是正整数，这是一个很重要的条件，后面将用它推导出矛盾。

我们绘制辅助线，以A为圆心，AC为半径做圆，交AB于D点，然后再过D点做AB的垂线，交BC于E.容易证明：

$BD=DE=EC$

$BD=AB-AD=c-a=md-nd=(m-n)d$

$BE=BC-EC=BC-BD=a-(m-n)d=nd-(m-n)d=(2n-m)d$

也就是说，如果d是等腰直角三角形 $\Delta ABC$ 的斜边和直角边的通约量，那么它同样也是等腰直角三角形 $\Delta BDE$ 的斜边和直角边的通约量。

同样的辅助线我们可以继续往下画，继续往下推导，由于m,n是正整数，而计算出来的下级等腰直角三角形的边长始终是d的整数被的和差，基于这个原因，会得到一个结论，那就是，如果一直画下去，任意子级的等腰直角三角形的斜边和直角边都有同一个可通约量d.d是所有这些等腰直角三角形的公度。

咦，这个结论肯定是错误的嘛，三角形越来越小，必然会出现三个边都小于d的情况，怎么可能公度一直都是d呢。

而这个结论是我们承认“存在可通约量d"的必然结论，所以，只能说明我们的前提一开始就错了，也就是说，根据排中律，不存在这样的d，使得

$\\c=md \\ a=nd$

所以，通过绘制等腰直角三角形，我们得到了两条无法通约的线段!

证明的过程很自然，也找不到任何破绽，但是总觉得还是缺乏一点东西，比如，为了证明命题不可通约成立，我们用了反证法，用几何方式构造出矛盾，从而证明了原命题。但是直角三角形有很多种，比如通常用来说明勾股定理成立的直角边3，4，斜边5的直角三角形，它的斜边与直角边之比分别为 $\frac{5}{3},\frac{5}{4}$ .，就是可以同约的，至少存在通约量1。那问题就来了，同样的证明过程是否能够使用3,4,5边长构成的三角形上，如果同样的证明过程适用于后者，那就是说同一个证明逻辑既可以证明通约，又可以证明不可通约，那证明就有问题。

当然，这个证明没有问题，有问题的是我们对后者的逻辑，现在就看看对于3,4,5的三角形，上面的证明逻辑那里不适用

同样，对于边长比例为3,4,5的三角形，假设通约量d.

$\\c=5d \\ a=4d \\ b=3d$

同样的方式，我们绘制辅助线和辅助圆，得到以下结论：

$\Delta ABC$

$\frac{AB}{BC}=\frac{5d}{3d}=\frac{5}{3}$

$\Delta ADE$

$\frac{AE}{ED}=\frac{AC-EC}{ED}=\frac{AC-ED}{ED}=\frac{AC}{ED}-1$

根据相似性：

$\frac{ED}{CB}=\frac{AD}{AC}=\frac{AB-BD}{AC}=\frac{5d-3d}{4d}$

所以，

$ED=\frac{1}{2}\cdot CB=\frac{3d}{2}$

所以，看出来了吗？虽然我们仍然可以像等腰直角三角形那样一直进行下去，可是从第二个直角三角形开始，d的系数已经是不是整数，就是这个根本差异，导致了同样的过程推到不出同样的结论，等腰直角三角形的情况下，在假设成立必然推出腰线始终被控制在d的整数倍，所以矛盾不可避免。

但是对于第二种可以通约的情况，则没有这种限制，边长系数出现了小数，说明我们可以通过对d再抽取一层和系数相乘划归为整数继续进行下去，斜边和直角边仍然是可规约的，只不过这时候通约量变成了 $\frac{d}{\lambda}$ ,而不是原来的d了，这样就绕开了矛盾，可以一直画下去而保持通约。

所以，我们消除了疑虑，通过几何图形化方式证明无理数的存在是可行的。

无理数与有理数有一个重大差别：无理数不可能有一个由整数和四则运算组成的表达式表达。有理数有一个有限的表达式，就是整数分式，但无理数没有。无理数与无穷有千丝万缕的联系，当用小数表示时，它是无限不循环的，需要无穷多个位数，包含无穷多的信息，用连分数表示式，是一个无穷的连分式，用级数表示，是无穷多项级数的累加。它与有理数有着本质的不同。

就拿圆周率 $\pi$ 来说，在超级计算机的帮助下，现在已经计算出了 $\pi$ 的前一百万亿位，即便如此，我们甚至都不能说“差不多”计算出了 $\pi$ ，因为还有“无穷多”的位我们还不知道。

看另一个更漂亮的几何证明：

如果存在最小的整数p,q（约化之后的).

$\frac{p}{q}=\sqrt{2}$

则

$p^2=2q^2$

我们用一个边长为p的大正方形内部套着两个边长为q的小正方形为例来说明，注意内部的两个正方形一定有重叠（假如没有重叠，肯定 $p^2=2q^2$ 不成立），重叠的深色部分也是一个正方形。

则根据初等几何知识，如果 $p^2=2q^2$ ，我们可以得出：

中间深色部分正方形的面积=左下角小正方形面积+右上角小正方形面积=2*两个小正方形任意一个面积

假如中间正方形边长是s,小正方形面积是m.

则

$s^2=2m^2$ 成立。并且s=2q-p, m=p-q都是整数。

等等，刚刚不是说了，p,q是最小的满足 $p^2=2q^2$ 的整数吗？s,m哪里来的？矛盾！

这个证明太完美了！

总结：

也许，这就是我们为数学的美所付出的代价，我们创造了这个虚拟世界（只有在这里，度量才是真正可能的），现在我们必须去面对它所带来的问题，不能够用分数表示的数，就是无理数，英文叫做irrational，不成比例的意思，它们很自然的出现在几何学中，我们必须学会去适应它，正发行的对角线恰好是其边长的根号2倍，这就是我们所知道的关于它的全部，我们只知道这个数的平方是2，我们并不能说出这个值到底是多少，虽然可以粗略的估计它，但是除此之外，我们一无所知。

结束！