概述

用MATLAB编程实现，形成m函数文件。输入A，b矩阵，无返回值，解得x向量直接显示在命令行窗口，同时绘制出x向量的收敛曲线。
A = [ 2 − 1 1 1 1 1 1 1 − 2 ] b = [ 1 1 1 ] A=\begin{bmatrix} 2&-1&1\\1&1&1\\1&1&-2\end{bmatrix} b=\begin{bmatrix} 1\\1\\1\end{bmatrix} A=⎣⎡211−11111−2⎦⎤b=⎣⎡111⎦⎤

高斯塞德尔方法

代码

function [] = gaussseidel(A,b)
%高斯塞德尔迭代法
G=-(diag(diag(A))+tril(A,-1))\triu(A,1);
R=max(abs(eig(G)));
if(R>=1)disp('Gauss-Seidel is not work');
elsedisp('Gauss-Seidel is going well');disp('x vector:')d1=(diag(diag(A))+tril(A,-1))\b;x=zeros(size(b));for k=1:100x(:,k+1)=G*x(:,k)+d1;if(max(abs(x(:,k+1)-x(:,k)))<10^-4)break;endenddisp(x(:,k+1));e=1:k+1;plot(e,x,'- o');xlabel('generations');ylabel('vector_x');
end
end

结果

A=[2 -1 1;1 1 1;1 1 -2];b=[1;1;1];
gaussseidel(A,b);
Gauss-Seidel is going well
x vector:
0.6667
0.3333
0

可见，高斯塞德尔方法收敛且成功求出结果。

雅可比方法

代码

function [] = jacobi(A,b)
%雅可比迭代法
B=-(diag(diag(A)))\(tril(A,-1)+triu(A,1));
R=max(abs(eig(B)));
if(R>=1)disp('Jacobi is not work');
elsedisp('Jacobi is going well');disp('x vector:')d1=diag(diag(A))\b;x=zeros(size(b));for k=1:100x(:,k+1)=B*x(:,k)+d1;if(max(abs(x(:,k+1)-x(:,k)))<10^-4)break;endenddisp(x(:,k+1));e=1:k+1;plot(e,x,'- o');xlabel('generations');ylabel('vector_x');
end
end

结果

A=[2 -1 1;1 1 1;1 1 -2];b=[1;1;1];
jacobi(A,b)
Jacobi is not work
可见，雅可比方法不收敛。

代码思路

首先判断收敛性

判断迭代矩阵的谱半径的上界是否小于1。
若大于1则结束程序。

迭代求解

高斯塞德尔迭代矩阵

G = − D − 1 ( L + U ) G=-D^{-1}(L+U) G=−D−1(L+U)
x ( k + 1 ) = G x ( k ) + d 1 x^{(k+1)}=Gx^{(k)}+d_{1} x(k+1)=Gx(k)+d1

雅可比迭代矩阵

B = − ( D + L ) − 1 U B=-(D+L)^{-1}U B=−(D+L)−1U
x ( k + 1 ) = B x ( k ) + d 1 x^{(k+1)}=Bx^{(k)}+d_ {1} x(k+1)=Bx(k)+d1
每次迭代后判断
∣ x k + 1 − x k ∣ < 1 0 − 4 |x^{k+1}-x^k|<10^{-4} ∣xk+1−xk∣<10−4
结果为“真”跳出迭代循环，输出迭代末尾x向量。并绘出收敛曲线。

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