概述

用MATLAB编程实现，形成m函数文件。输入A，b矩阵，与松弛因子 ω \omega ω，无返回值。设置精度要求 ε = 1 0 − 4 \varepsilon=10^{-4} ε=10−4。所得解向量向量直接显示在命令行窗口，同时绘制出解向量的收敛曲线。
判断迭代方法收敛性时计算高斯塞德尔迭代矩阵谱半径以判断。

代码与运行结果

function [] = sor(A,b,w)
%基于高斯塞德尔的超松弛迭代求解向量
G=-(tril(A))\triu(A,1);
R=max(abs(eig(G)));
if(R>=1)disp('SOR is not work');
elsedisp('SOR is going well');disp('x vector:')l=length(b);x=zeros(size(b));xs=0;xe=0;for k=1:100for i=1:lfor j=1:i-1xs=xs+A(i,j)*x(j,k+1);end for j=i:lxe=xe+A(i,j)*x(j,k);end x(i,k+1)=x(i,k)+(w/A(i,i))*(b(i)-xs-xe);xs=0;xe=0;endif(max(abs(x(:,k+1)-x(:,k)))<10^-4)break;endenddisp(x(:,k+1));e=1:k+1;plot(e,x,'- o');xlabel('generations');ylabel('vector x');
end
end

令：
A = [ 5 1 − 1 − 2 2 8 1 3 1 − 2 − 4 − 1 − 1 3 2 7 ] b = [ − 2 − 6 6 12 ] A=\begin{bmatrix} 5&1&-1&-2\\2&8&1&3\\1&-2&-4&-1\\-1&3&2&7\end{bmatrix} b=\begin{bmatrix} -2\\-6\\6\\12\end{bmatrix}\\ A=⎣⎢⎢⎡521−118−23−11−42−23−17⎦⎥⎥⎤b=⎣⎢⎢⎡−2−6612⎦⎥⎥⎤
ω = 1.15 \omega=1.15 ω=1.15

A=[5 1 -1 -2;2 8 1 3;1 -2 -4 -1;-1 3 2 7];
b=[-2;-6;6;12];
sor(A,b,1.15);
SOR is going well
x vector:1.0000-2.0000-1.00003.0000

与雅可比、高斯塞德尔方法比较

A = [ 5 1 − 1 − 2 2 8 1 3 1 − 2 − 4 − 1 − 1 3 2 7 ] b = [ − 2 − 6 6 12 ] A=\begin{bmatrix} 5&1&-1&-2\\2&8&1&3\\1&-2&-4&-1\\-1&3&2&7\end{bmatrix} b=\begin{bmatrix} -2\\-6\\6\\12\end{bmatrix}\\ A=⎣⎢⎢⎡521−118−23−11−42−23−17⎦⎥⎥⎤b=⎣⎢⎢⎡−2−6612⎦⎥⎥⎤
ω = 1.15 \omega=1.15 ω=1.15

雅可比方法

高斯塞德尔方法

相较之下，SOR方法迭代次数缩短，求解时间减少。但需要选择恰当的松弛因子 ω \omega ω 。

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基于高斯塞德尔方法的超松弛迭代法MATLAB实现

概述

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与雅可比、高斯塞德尔方法比较

雅可比方法

高斯塞德尔方法

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