[计算机数值分析]高斯-塞德尔迭代公式解线性方程组

在雅可比迭代公式的基础上，对于收敛的迭代过程，所求出的“新值”常比“老值”更准确些，因此可以用它替代老值作进一步的计算，这样的思想就是著名的高斯-塞德尔迭代公式。
如下图叙述：

运行示例：

源码：

#include<iostream>
#include<iomanip>
#define MAX 10
using namespace std;int main(void)
{double a[MAX][MAX];   //二维数组存储原始方程组的增广矩阵int row, col;cout << "请输入增广矩阵行数:";   //行数，即方程个数cin >> row;cout << "请输入增广矩阵列数:";   //列数，包含常数项cin >> col;cout << endl;//增广矩阵输入提示，按行输入for (int i = 1; i <= row; i++){cout << "请输入增广矩阵第" << i << "行的元素：";for (int j = 1; j <= col; j++){cin >> a[i][j];}cout << endl;}//对元素进行处理for (int i = 1; i <= row; i++){for (int j = 1; j <= col; j++){if (i != j && j != col){a[i][j] /= -a[i][i];   //非行列坐标相等的元素除以负行列坐标相等的元素}if (j == col){a[i][j] /= a[i][i];   //常数项除以行列相等的元素}}}//对a[1][1]、a[2][2]......赋值为0for (int i = 1; i <= row; i++){a[i][i] = 0;}double b[MAX]; //记录每次迭代后的值//迭代初值cout << "请输入迭代初值:";for (int i = 1; i < col; i++)   //用数组b记录每次迭代后的x的值，用于下次迭代{cin >> b[i];}int N;   //允许的最大迭代次数cout << "请输入最大迭代次数:";cin >> N;double accuracy;   //精度double error = 0;   //相邻两次迭代结果的误差cout << "请输入精度：";cin >> accuracy;for (int i = 1; i <= N; i++)   //最多允许迭代N次{cout << "第" << i << "次迭代:";int count = 1;   //用count控制迭代值按每行col-1个输出，即自变量个数输出for (int j = 1; j <= row; j++)   //每一次迭代(i)，求取每一行的行列坐标相等的值即a[j][j]{double item;   //中间变量for (int k = 1; k <= col; k++)   //j循环一次，j循环col次，求得a[j][j]{if (j == k)   //如果j=k，继续{continue;}if (k != col)   //如果j不等于k且不等于常数项的下标{item = a[j][k] * b[k];   //则每一项等于系数与对应迭代初值的乘积}else{item = a[j][col];   //j=col即常数项下标时，直接加上常数项，不对常数项处理}a[j][j] += item;   //累加item，求的a[1][1],a[2][2]......}cout << "\t\t" << a[j][j] << "\t\t";  //输出a[1][1],a[2][2]......error = abs(a[count][count] - b[count]);  //相邻两次迭代结果的偏差b[count] = a[count][count];  //更新b[]里的值为本次迭代结束的值a[count][count] = 0;   //赋a[1][1],a[2][2]......值为0，避免拥有初值影响下一次迭代结果if (count % (col - 1) == 0)   //控制元素输出个数cout << endl;count++;}if (error <= accuracy)   //解符合精度要求,直接结束迭代过程{break;}if (error > accuracy && i <= N)     //解不符合精度要求但未超过最大迭代次数，继续迭代{ continue;}else   //超过最大迭代次数，输出提示{cout << "达到允许的最大迭代次数，未找到符合精度要求的根！" << endl;}        }
}

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