吝啬SAT问题是NP完全问题的证明
算法概论，第八章课后习题8.3
吝啬SAT问题是这样的：给定一组子句（每个子句都是其中文字的析取）和整数k，求一个最多有k个变量为true的满足赋值——如果该赋值存在。证明吝啬SAT问题为NP完全问题。
首先，证明吝啬SAT问题是NP问题：对于吝啬SAT问题的一个可能解，只需要把解中的每个变量的值带入原子句中，化简后判断其是否为true；另外还需要额外的判断这个解中变量为true的个数是否不大于k。根据这两个条件就可以得出结果了，而这两个步骤都可以在多项式时间内完成，所以吝啬SAT问题是NP问题。
接下来，证明吝啬SAT问题是NP完全的。已知SAT问题是NP完全问题，那么如果可以证明SAT问题可以归约为吝啬SAT问题，那么吝啬SAT问题也是NP完全的。
对于一个含有n个变量的SAT问题，构造一个吝啬SAT问题，并令k=n，其中每个子句都相同。这样就从SAT问题转换到了吝啬SAT问题。接下来就是证明这个归约是正确有效的。
如果吝啬SAT问题有解，那么这个解必然也是SAT问题的解，因为两者的子句是一样的。
如果吝啬SAT问题无解，那么SAT问题也必定无解。因为两个子句是一样的，如果SAT问题有解，那么这个解必然也能够成为吝啬SAT问题的解，又因为k=n，所以绝对不会有超过k个变量的值为true，所以如果吝啬SAT问题无解，那么SAT问题也必定无解。
那么，对于两个问题的转化，因为实际上并没有牵扯到具体的变化，所以时间复杂度是O(1)的，满足条件。
所以，SAT问题可以归约为吝啬SAT问题，所以吝啬SAT问题是NP完全的。
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