8.3 吝啬SAT问题

8.3 吝啬SAT问题是这样的：给定一组子句（每个子句都是其中文字的析取）和整数k，求一个最多有k个变量为true的满足赋值——如果该赋值存在。证明吝啬SAT是NP-完全问题。

解答：若已知某个与吝啬SAT问题变量对应的真值集合，可在多项式时间内将该集合带入吝啬SAT问题验证是否为解。故吝啬SAT问题为NP问题。而要证明一个问题是NP-完全问题，需要证明以下两点：
1. 它是一个NP问题，且
2. 其他属于NP的问题都可归约成它。

再证明其他所有搜索问题都可以归约到该问题。

因为所有搜索问题都可以被归约为SAT问题。因此上述问题转化为证明SAT问题可以归约为吝啬SAT问题。

设f为SAT的一个实例，令SAT问题中变量个数为k，即f中变量总数为k，则（f,k）为吝啬SAT问题的实例。

证明SAT问题可以归约为吝啬SAT问题从其充分性和必要性证明。

如果f的解存在，则该解中值为true的变量数量小于等于k个。所以该解也是吝啬SAT问题（f，k）的解。

如果（f，k）的解存在，则该吝啬SAT问题的解中值为true的变量数量也小于等于k个，因此它也是SAT问题f的解。

必要性和充分性得证。SAT问题可以归约为吝啬SAT问题。

综上，吝啬SAT问题为NP-完全问题。

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